2026年数学建模基础数据分析和预测技能考核

2026年数学建模基础：数据分析和预测技能考核一、数据处理与分析（共3题，每题10分）1.1数据清洗与缺失值处理题目（10分）：某电商平台收集了2020年至2023年某地区家电产品的月度销售数据（单位：台），部分数据存在缺失。以下为部分样本数据：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|120|135|150|NaN||3月|145|NaN|160|175||6月|180|195|NaN|210||9月|NaN|155|170|185||12月|160|170|185|200|假设缺失值用该月前后月份的平均值填充，请完成以下任务：（1）计算填充后的完整数据表；（2）分析2020年至2023年该地区家电产品销售的季节性特征；（3）若2024年1月预计销售150台，请用简单移动平均法（最近3个月）预测全年总销量。1.2数据可视化与趋势分析题目（10分）：某城市2020年至2023年空气质量监测数据如下表（单位：PM2.5浓度，μg/m³）：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|58|62|65|70||4月|45|50|55|60||7月|35|38|40|42||10月|52|55|58|62|请完成以下任务：（1）绘制折线图，展示各年份PM2.5浓度的季节性变化；（2）计算各年份PM2.5浓度的年增长率，并分析变化趋势；（3）若2024年政策实施后PM2.5浓度预计下降15%，请预测2024年全年平均PM2.5浓度。1.3异常值检测与处理题目（10分）：某银行2023年信用卡月度交易额数据如下（单位：万元）：|月份|数据|||--||1月|1200||2月|1300||3月|1250||4月|1280||5月|1350||6月|1400||7月|1500||8月|1450||9月|1600||10月|1550||11月|1700||12月|1800|假设交易额超过1500万元的月份为异常值，请完成以下任务：（1）识别并剔除异常值；（2）用均值法填充剔除后的数据；（3）计算填充后数据的方差，并与原始数据对比分析异常值的影响。二、预测建模与应用（共4题，每题12分）2.1线性回归预测题目（12分）：某旅游景点2020年至2023年的游客数量（单位：万人次）与人均消费（单位：元）数据如下表：|年份|游客数量|人均消费|||-|-||2020|120|800||2021|150|850||2022|180|900||2023|200|950|请完成以下任务：（1）建立游客数量与人均消费的线性回归模型；（2）预测2024年若游客数量达到250万人次，人均消费可能达到多少；（3）分析模型的决定系数R²，并解释其含义。2.2时间序列预测题目（12分）：某城市2020年至2023年每月新能源汽车销量数据如下表（单位：辆）：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|200|250|300|350||4月|180|220|270|320||7月|150|190|230|280||10月|170|210|250|300|请完成以下任务：（1）用指数平滑法（α=0.3）预测2024年1月的销量；（2）若销量环比增长率保持2023年同期水平，请预测2024年全年总销量；（3）分析销量增长的趋势，并提出可能的解释（如政策、经济因素等）。2.3逻辑回归预测题目（12分）：某电商平台的用户购买行为数据如下表（单位：是/否，1表示购买，0表示未购买）：|特征1（年龄）|特征2（收入）|是否购买||||-||25|高|1||30|中|0||35|高|1||40|低|0||45|中|1||50|高|0||55|中|1|请完成以下任务：（1）建立逻辑回归模型预测用户购买概率；（2）若某用户年龄40岁，收入中等，预测其购买概率；（3）分析收入对购买行为的影响程度。2.4ARIMA模型预测题目（12分）：某地区2020年至2023年每月咖啡店订单量数据如下表（单位：单）：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|300|350|400|450||4月|280|330|380|430||7月|250|300|350|400||10月|270|320|370|420|请完成以下任务：（1）建立ARIMA（1,1,1）模型预测2024年1月的订单量；（2）若订单量季度环比增长率稳定在10%，请预测2024年全年总订单量；（3）分析模型的残差序列是否为白噪声。三、综合应用与决策（共2题，每题15分）3.1多元线性回归与政策分析题目（15分）：某地区2020年至2023年新能源汽车销量（y）受以下因素影响：政府补贴（x₁，万元）、油价（x₂，元/升）、环保政策严格程度（x₃，评分1-10）。数据如下表：|年份|销量（y）|补贴（x₁）|油价（x₂）|政策评分（x₃）|||-|||-||2020|500|10|8.5|4||2021|650|12|7.8|5||2022|800|15|6.5|6||2023|950|18|5.8|7|请完成以下任务：（1）建立多元线性回归模型；（2）若2024年政府补贴提高至20万元，油价降至5.5元/升，政策评分提升至8分，预测销量；（3）分析各因素的影响程度，并提出政策建议。3.2时间序列与季节性调整题目（15分）：某城市2020年至2023年每月地铁客流量数据如下表（单位：万人次）：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|300|350|400|450||4月|280|330|380|430||7月|250|300|350|400||10月|270|320|370|420|请完成以下任务：（1）用季节性指数法分解时间序列，并绘制季节性变化图；（2）若2024年全年客流量预计增长12%，请预测各季节的客流量；（3）分析节假日对客流量的影响，并提出运营建议。答案与解析一、数据处理与分析1.1数据清洗与缺失值处理（1）填充后的完整数据表：|月份|2020年|2021年|2022年|2023年|||--|--|--|--||1月|120|135|150|175||3月|145|145|160|175||6月|180|195|172.5|210||9月|172.5|155|170|185||12月|160|170|185|200|（2）季节性特征分析：-1月、12月销售较高，可能与春节消费有关；-3月、10月次高，可能与促销季（如双十一）相关；-6月、9月最低，可能与暑期出行减少有关。（3）简单移动平均法预测：2024年1月销量=(150+175+200)/3=181.67台。全年总销量≈181.67×12=2180.04台。1.2数据可视化与趋势分析（1）折线图：PM2.5浓度在1月、10月最高，4月、7月最低。（2）年增长率：2020→2021：[(62-58)/58]×100%=6.9%；2021→2022：[(65-62)/62]×100%=4.8%；2022→2023：[(70-65)/65]×100%=7.7%。趋势：2021年增长放缓，2023年反弹。（3）2024年预测：70×(1-15%)=59.5μg/m³。1.3异常值检测与处理（1）异常值：9月（1600）、12月（1800）。（2）剔除后数据：120,130,125,128,135,140,145,150,155,160,170。（3）方差对比：原始方差=6125；剔除后方差=822.5。异常值导致方差增大。二、预测建模与应用2.1线性回归预测（1）模型：y=50+0.5x，R²=0.98。（2）2024年人均消费=50+0.5×250=200元。（3）R²=0.98表示98%的波动可由模型解释。2.2时间序列预测（1）指数平滑：S₁₄=0.3×350+0.7×320=332辆。（2）全年预测：332×12×(1+10%)=4430.4辆。（3）趋势：逐年递增，可能与新能源汽车补贴政策有关。2.3逻辑回归预测（1）模型：P=1/(1+e^(-0.8x₁-0.5x₂+1.2x₃))。（2）用户购买概率=1/(1+e^(-0.8×40-0.5×2+1.2×6))≈0.74。（3）收入（x₂）影响较小，年龄（x₁）更重要。2.4ARIMA模型预测（1）预测：S₁₄=450×1.1=495单。（2）全年预测：495×1