江苏南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

2025~2026学年度第一学期九年级期末学业质量监测数学试题考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.的值为（）A. B. C.1 D.2.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头呈梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（）A. B.C. D.3.如图，直线，直线和被所截，，则的长为（）A.5 B.6 C.7 D.84.在中，已知点，以原点为位似中心把缩小到原来的，则点的对应点的坐标是（）A. B. C.或 D.或5.如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（）A. B. C. D.6.直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（）A. B. C. D.7.抛物线与轴只有一个交点，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.8.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（）A. B.3.14 C.3.13 D.39.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（）A. B. C. D.10.如图，为直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.已知两个相似三角形相似比为，那么这两个三角形的周长比为________．12.如图，开口向上抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______．13.已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______．14.如图，四边形是的外切四边形，若，则四边形的周长为___________．15.如图，在四边形中，，，，则______．16.如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______．三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．（1）根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；（2）请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积．18.如图，中，是边上的高，且．（1）求证；（2）求的大小．19.已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若点在此抛物线上，试比较的大小；（3）平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．20.某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上．（1）根据图中信息，求丁班级的优秀率；（2）学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果．21.如图，正方形中，，为边上一点，，连接并延长交延长线于点．（1）求长；（2）过点作交于点，求的长．22.如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长．23.如图，中，，，，．（1）求的度数；（2）求的度数．24.如图，在矩形中，，，过两点．（1）如图1，过边上的点，若，求此时的半径；（2）若与边相切，请用无刻度直尺和圆规在图2中确定圆心的位置，并作出（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若与射线的另一交点为，当为等腰三角形时，求此时的半径．25.如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的抛物线经过原点，与直线交于点为抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点．（1）求点的坐标；（2）当时，求的最大值；（3）过点作轴的垂线交直线于点，当时，长的最大值与最小值的差大于4，求的取值范围．2025~2026学年度第一学期九年级期末学业质量监测数学试题考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.的值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】∵tan45°=1，所以C选项正确．故选：C．本题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头呈梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图的识别，解决本题的关键是掌握主视图是从前向后观察得到．根据该几何体的主视图观察并分析选项即可．【详解】解：该几何体的主视图是．故选：A

．3.如图，直线，直线和被所截，，则的长为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得，故选：B．4.在中，已知点，以原点为位似中心把缩小到原来的，则点的对应点的坐标是（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了位似变换的坐标规律，掌握以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标比为或是解题的关键．根据位似变换的性质计算，判断即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小到原来的，即相似比为，又∵点A的坐标为，∴点A的对应点的坐标为或，即或．故选：D．5.如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．【详解】解：∵河坝横断面迎水坡坡比为，坝高为，∴，即，解得，，由勾股定理得：，故选：C．6.直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，联立方程组、正确计算是解题的关键．先求出反比例函数解析式，再联立两个函数的方程求解交点坐标即可.【详解】解：∵点在双曲线上，∴将，代入得，解得，∴双曲线的解析式为，联立两个函数的方程：，消去，得，解得或，当时，，∴点的坐标为．故答案为：A．7.抛物线与轴只有一个交点，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴只有一个交点，得到抛物线的顶点在轴上，即可得出结果．【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，∴抛物线的顶点在轴上，∴；故选C．8.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（）A. B.3.14 C.3.13 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可．【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M，∴，在中，，，∴，∴，∴正十二边形的面积为，即的面积为3，此时．故选：D．9.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，把，，代入得，，解得：，∴，∵,∴当时，P有最大值为，∴最佳的洒水量，故选：．10.如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，三角形中线的性质，连接，设与交于点，证明，所以，又为中点，则有，然后求得，所以，故，则要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，再由三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，连接，设与交于点，∵，，，∴，∴，∵为中点，∴，∴，∴，∴，∴，要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图，∴，∴的面积的最大值为，故选：．二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比的平方进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形的周长比为，故答案为：．12.如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和，∴方程的根为，，∴当时，，即，∴不等式解集为，故答案为：．13.已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：设塔高为米，由题意得，解得，故答案为：．14.如图，四边形是的外切四边形，若，则四边形的周长为___________．【答案】48【解析】【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：如图，设与边的切点分别为E，F，G，H，∵四边形是的外切四边形，∴，∴∴，∴四边形的周长为．故答案为：48．15.如图，在四边形中，，，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，通过，可得点四点共圆，所以，由，设，则，所以，得，再证明，所以，故有，从而求得，，所以，，代入，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴点四点共圆，如图，∴，∵，∴设，则，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，故答案为：．16.如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点，求出，同理可得，所以，则，从而可得垂直平分，所以，得点的横坐标与横坐标相同，且为，又点在函数图像上，然后代入即可求出的坐标；分别过作轴于点，轴于点，设，则，联立，得到，则，证明，得，故有，要使最大，则需最小，当时，有最小值，此时有最大值，然后代入即可求解．【详解】解：如图，设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点，由可得，当时，；当时，，∴，，∴，∴，同理可得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴点的横坐标与横坐标相同，且为，∵点在函数图像上，∴；如图，分别过作轴于点，轴于点，设，则，∵点图像上，∴，∴，∴，联立，解得，∴；∴，∵，∴，∴，∴，∴要使最大，则需最小，∴当时，有最小值，此时有最大值，∴，∴，∴的最大值为，故答案为：，．本题考查了反比例函数、一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，垂直平分线的性质等知识，利用数形结合的思想是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．（1）根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；（2）请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷表面积．【答案】（1）圆柱，圆锥；（2）每顶帐篷的表面积为．【解析】【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积，掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据三视图即可判断几何体；（）根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，然后分别求出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，最后相加即可．【小问1详解】解：根据三视图确定此款帐篷可以看作由圆柱和圆锥组合而成的几何体，故答案为：圆柱，圆锥；【小问2详解】解：根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，∴圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，∴每顶帐篷的表面积，答：每顶帐篷的表面积为．18.如图，中，是边上的高，且．（1）求证；（2）求的大小．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；（2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即．【小问1详解】证明：∵是边上的高，∴，∵，∴；【小问2详解】解：∵，∴，在中，，∴，∴，即．19.已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若点在此抛物线上，试比较的大小；（3）平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．【答案】（1）（2）（3）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键：（1）将一般式化为顶点式，即可得出结果；（2）根据二次函数的增减性进行判断即可；（3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可．【小问1详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为；【小问2详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上，∴当时，随着的增大而增大，∵点在此抛物线上，，∴；【小问3详解】解：∵抛物线平移后得到抛物线，∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到．20.某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上．（1）根据图中信息，求丁班级的优秀率；（2）学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果．【答案】（1）（2）甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式的求解，解决本题的关键是熟练掌握反比例系数的含义．（1）设出函数解析式，再将点代入函数解析式求解出k的值，将代入求解优秀率即可；（2）根据函数图象可知，甲的y值最大，由此可得优秀率最高；再由反比例系数的意义判断优秀人数即可．【小问1详解】解：设该反比例函数解析式为，由图象可知，点在函数图象上，∴，解得，∴该函数解析式为，由图象可知，丁班级参加竞赛人数为30人，∴，∴丁班级的优秀率为；【小问2详解】解：根据图象可知，甲班级的优秀率最高，∴给甲班级颁发“卓越先锋奖”；由图象可知，丙位于该函数图象上方，∴丙所在的函数解析式的反比例系数大于乙、丁所在的函数解析式的反比例系数，∵优秀率为该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值，即该班优秀人数即为对应函数的反比例系数，∴丙班级的优秀人数最多，∴给丙班级颁发“群星闪耀奖”；综上，甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”．21.如图，正方形中，，为边上一点，，连接并延长交的延长线于点．（1）求的长；（2）过点作交于点，求长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，正方形的性质．（1）证明，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）证明，再利用相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：∵正方形中，，∴，，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴．【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴．22.如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）的长为．【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键．（）连接，根据为的直径，可得，由角平分线定义可得，然后通过圆周角定理得，，则，再由平行线的判定得出，所以由平行线的性质得，即，最后通过切线的判定即可求证；（）由为的直径，则，由（）得，，所以通过角度和差得，所以，然后由圆周角定理可得，最后由弧长公式即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵为直径，∴，∵平分，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：如图，连接，∵为的直径，∴，由（）得，，∴，∴，∴，∴的长为．23.如图，中，，，，．（1）求的度数；（2）求的度数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键．（1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可；（2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案．【小问1详解】解：∵中，，，，∴，∴；【小问2详解】解：过点A作于点E，如图所示：则，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．24.如图，在矩形中，，，过两点．（1）如图1，过边上的点，若，求此时的半径；（2）若与边相切，请用无刻度直尺和圆规在图2中确定圆心的位置，并作出（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若与射线的另一交点为，当为等腰三角形时，求此时的半径．【答案】（1）5（2）见解析（3）5或或【解析】【分析】本题考查了圆的相关知识，包括90度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，圆心的确定，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关知识并会分类讨论．（1）90度的圆周角所对的弦是直径，可知是圆的直径，再由勾股定理求解即可；（2）先画出的垂直平分线，再连接，作出垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；（3）分别作图，讨论点F的位置，应用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可．【小问1详解】解：连接，如图1①，在矩形中，，∴是的直径，∵，，在中，，∴的直径为10，∴的半径为5；【小问2详解】解：以点D为圆心，大于长度的一半为半径画弧，再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点E，点F，连接交于点P，再连接，以点P为圆心，大于长度的一半为半径画弧，再以点D为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点M，点N，连接交于点O，则如图2①所示，【小问3详解】解：连接，过点O作，过点O作，如图3①，设的半径为r，∵为等腰三角形则，在矩形中，，，∴，∵，，由垂径定理可得，，在中，，即，整理可得，即，解得，，∵半径，∴，∴当为等腰三角形时，此时的半径为5；连接，过点O作，过点O作，如图3②，同理可得，设的半