江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（本试题共4页满分150分考试时间120分钟）一､单项选择题（共8小题满分40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.“”是“成等比数列”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A B. C. D.6.已知，则（）A.0 B. C.1 D.20257.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（）A. B. C. D.8.设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（）A B. C. D.二､多项选择题（共3小题满分18分）9.设O为坐标原点，已知抛物线焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（）A. B.直线l的斜率的取值范围为C. D.10.已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.的前项和D.的前项和11.定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）A. B.C. D.三､填空题（共3小题满分15分）12.已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.13.已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______.14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.四､解答题（共5大题满分77分）15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．16.已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求．17.已知递增数列满足，点在函数的图象上.（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求数列的前项和.18.如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点.（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ii）求面积的最大值.19已知函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，证明：．2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（本试题共4页满分150分考试时间120分钟）一､单项选择题（共8小题满分40分）1已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合交集运算求解即可．【详解】因为集合，所以故选：A．2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.【详解】因为，所以.故选：A3.“”是“成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用推出关系来判断即可.【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立，当成等比数列，可以推出，故必要性成立，所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选：B.4.过点且与直线垂直的直线方程为（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案.【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为，将的坐标代入所求直线的方程，得，解得，故过点且与直线垂直的直线方程为.故选：A.5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解.【详解】椭圆方程，上式表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故选：D.6.已知，则（）A.0 B. C.1 D.2025【答案】B【解析】【分析】求导，令，即可得解.【详解】由，得，，得.故选：B.7.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用对称性，结合直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率.【详解】令双曲线的半焦距为c，由关于轴对称，且为等边三角形，得，由，得，则，所以双曲线的离心率.故选：B8.设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围.【详解】由方程变形为，所以或，当时，，所以当时，；当时，.所以函数在上有极大值也是最大值，此时.画出图像如下：由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点.所以，解得.故选：B二､多项选择题（共3小题满分18分）9.设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（）A. B.直线l的斜率的取值范围为C. D.【答案】AC【解析】【分析】由题设求参数判断A，再令且，联立抛物线，应用判别式求参数范围，进而确定斜率范围判断B，由向量数量积的坐标表示及韦达公式求判断C，由抛物线的定义及韦达公式求判断D.【详解】由题设，则，故，A对，由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得，所以，则，可得或，所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错，由，而，，所以，所以，C对，由，，则，而，则，D错.故选：AC10.已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.的前项和D.的前项和【答案】BCD【解析】【分析】运用构造法求出数列解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题.【详解】由题可得，可构造为，又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列.，得.对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误；对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确；对于C：，其前项和.故C正确；对于D：设.又注意到，.因此因此的前项和.故D正确.故选：BCD.11.定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】通过构造辅助函数、利用导数符号判断单调性，并结合给定条件分析各选项.【详解】选项A：由且，得，由可得在单调递增，于是，A选项正确；选项B：令，则单调递增，故，取对数得：，B选项错误；选项C，单调递增，等价于，又，则，矛盾，故，C选项错误；由B选项单调递增，，需证，设，则证，因为，故，又，故，即，D选项正确.故选：AD三､填空题（共3小题满分15分）12.已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量.【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养.由，得，解得，所以，则向量在向量上的投影向量为.故答案为：13.已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，可得圆与圆外切，再列式求解.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切，则，即，而，所以故答案为：14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】令，可得，原不等式可化为，令，要使对所有恒成立，需满足，进而求出的取值范围.【详解】由不等式可知，令，对，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，所以.又，所以原不等式可化为，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，所以要使对任意成立，则区间不能取得使的值，由函数性质可知当时会出现负值，故须满足，解得，又，所以，即实数的取值范围为，故答案为：.四､解答题（共5大题满分77分）15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简结合，利用两角和差公式化简，再利用正切值结合角的范围即可求得；（2）由面积公式结合角平分线得出，应用余弦定理联立方程得出，最后应用面积公式计算求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可化为：，，又因为即，即，因为，解得：，且，即；【小问2详解】因为及为的角平分线，所以，由三角形面积公式得，代入得：，因为，由余弦定理，化简得：，即得解得：或舍去，即，所以的面积为.16.已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据点在圆上，点到圆心的距离相等建立关于的方程并求解即可；（2）根据点到直线的距离公式和弦心距建立关于的方程，求解即可.【小问1详解】设，因为圆心在直线上，所以．①因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等，所以，展开并化简得．②联立①②，解得，，所以圆心．因为圆心和点均在直线上，所以半径，所以圆的方程为．【小问2详解】设圆心到的距离为，则，即，得．由点到直线的距离公式得．所以，两边平方，整理得，解得或．17.已知递增数列满足，点在函数的图象上.（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果；（2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为，所以当时，又因为点在函数的图象上，所以，所以，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列【小问2详解】由（1）可知，，所以，所以所以所以，即18.如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点.（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）（2）（i）定值，4；（ii）8【解析】【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程；（2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可.【小问1详解】由题意可知：，则，可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以曲线的方程为.【小问2详解】（i）联立方程，消去可得，因为直线与曲线相切，则，整理可得，则原方程，解得，将代入直线，可得，可知，且，则，为定值；（ii）由题意可知：圆的圆心为，半径，因为到直线的距离，可得，因为，则，可得，则面积，可知当，即时，取到最大值8.方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，证明：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）