安徽合肥市蜀山区区域联盟校2025-2026学年上学期期末考试高一年级数学试卷（试卷+解析）

2025年秋季学期期末考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分命题教师：徐老师审题教师：邓老师一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.要得到函数的图象，需要把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.6.函数在区间上的图像可能是（）A. B.C D.7.若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）9.下列函数定义域和值域相同的是（）A. B.C. D.10.不等式解集为，下列结论正确的有（）A.B.C.不等式的解集是D.不等式的解集是11.已知函数的部分图象如图所示，则（）AB.C.的最小正周期为D.将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________.14.定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合，集合.（1）求；（2）求.16.已知幂函数过点.（1）求解析式，判断的奇偶性并证明；（2）判断函数在上的单调性并证明.17.已知函数.（1）求函数的值域；（2）设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围.18.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：时间/分钟012345水温/℃95.0088.0081.7076.03709366.33（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式.（2）根据（1）中所求模型，（ⅰ）请推测实验室室温；（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.（参考数据：，）19.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.2025年秋季学期期末考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分命题教师：徐老师审题教师：邓老师一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先找出两个集合的构成元素，再找出它们的公共元素即可.【详解】因为，即所有大于且小于的实数；，即所有形如的整数，也就是所有奇数；所以，就是所有大于且小于的奇数；则在区间内的奇数有：和，因此，.故选：D.2.已知，则“”是“”（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断.【详解】若，且或，则或无意义，此时条件“”无法推出结论“”，故充分性不成立；若，因为在上单调递增，可知，因此结论“”可以推出条件“”，故必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：C.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数连续性，再计算各选项区间端点的函数值，最后利用零点存在定理确定零点所在区间.【详解】由题知函数在其定义域上连续且在上递增，又，函数的零点所在区间是；故选：D.4.要得到函数的图象，需要把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】直接利用函数图象变换规律，可得结论．【详解】要得到函数的图象，要得到函数的图象，需要把函数的图象向左平移个单位长度；故选：C5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小.【详解】在上是单调递减函数，，，，在上是单调递增函数，，，，在上是单调递减函数，，，，.故选：C.6.函数在区间上的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的函数，探讨其奇偶性及的大小排除选项并得解.【详解】函数的定义域为，，则函数为偶函数，排除选项AB；又，则，排除选项D，选项C符合题意.故选：C.7.若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解.【详解】正实数、满足，，当且仅当时，即，即时，等号成立，的最小值为，恒成立，，，，，实数的取值范围是.故选：C.8.已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，将原方程有4个根转化为与有1个交点，与有3个交点；或者与有2个交点，与有2个交点，再结合函数的单调性及值域判断可得.【详解】由函数，当时，单调递增，值域为；当时，，当时，单调递减，值域为当时，单调递增，值域为.所以当时，.如图：又由，令，则，解得.要使原方程有4个不同实根，①与有1个交点，与有3个交点；所以且，即，符合题意；②与有2个交点，与有2个交点.当且，即，符合题意；当且，因为，故不存在，不符合题意；综上所述，或故选：B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）9.下列函数定义域和值域相同的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断.【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是；对于B，函数的定义域为R，当时，，当时，，因此的值域为R，B是；对于C，函数的定义域为，值域为，C不是；对于D，函数的定义域、值域均为R，D是.故选：BD10.不等式解集为，下列结论正确的有（）A.B.C.不等式的解集是D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】利用“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可.【详解】因为解集为，所以，解得，因为，所以，，故选项A、B正确；选项C：不等式可化为，即，解得，不等式解集，选项C错误；选项D：不等式可化为，即，解得或，不等式的解集为，选项D正确.故选：ABD.11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的最小正周期为D.将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断.【详解】对于A：依题意，，解得，又函数的最小正周期，解得，则，由，得，而，则，所以，解得，故A正确；对于B：由A可知，所以，故B错误；对于C：如下图：的最小正周期为，故C正确；对于D：将的图象向右平移个单位长度得到，则，由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，故D正确；故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】角的终边过点,所以.故答案为：13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调递减的性质，分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，进而确定实数的取值范围.【详解】当时，：令，在上是减函数，因为在上单调递减，所以是增函数，则，且在恒成立，当时，，当时，，二次函数，二次项系数，对称轴，要使在上单调递减，则，即，在时，需满足，因为，所以，移项得，解得，综上，取，，的交集，得，故实数的取值范围是.故答案：14.定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________.【答案】【解析】【分析】由题中所给的条件可得函数的一个周期为4的偶函数，且，进而可得及，从而可得所求值.【详解】因为函数为偶函数，所以——①，又因为，所以，即——②.因为，所以——③.将②③代入①得，，所以，即，所以，两式相减得，所以4是函数的一个周期.由，得，所以，再由②，得，且.所以，即，，所以函数是偶函数.所以，且，所以.所以.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合，利用交集的运算求解；（2）利用补集和并集的运算求解.【小问1详解】不等式可化为，解得或，则，则.【小问2详解】因为所以=.16.已知幂函数过点.（1）求的解析式，判断的奇偶性并证明；（2）判断函数在上的单调性并证明.【答案】（1），奇函数，证明见解析（2）在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得；（2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得.【小问1详解】因为为幂函数，且过点，所以，解得所以，所以该函数为奇函数.理由：定义域为，因为都有，且，所以该函数为奇函数.【小问2详解】函数在上单调递减.证明：，且，则，，又因为，，即.，即在上单调递减.17.已知函数.（1）求函数的值域；（2）设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）换元，转化成求二次函数的值域；（2）换元，利用基本不等式求函数的最值即可.【小问1详解】令，因为，所以，则可转化为：，所以当时，的最小值，此时，所以故的值域为.【小问2详解】将代入得：，令，因为，所以，所以对，不等式恒成立等价于：恒成立，等价于恒成立，因，由基本不等式得：当且仅当，即时，等号成立，所以要使恒成立，只要使左边的最小值满足，解得.故正实数的取值范围为.18.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：时间/分钟012345水温/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式.（2）根据（1）中所求模型，（ⅰ）请推测实验室室温；（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.（参考数据：，）【答案】（1）选模型②，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可．【小问1详解】由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，模型③为单调递增的函数，不符合，模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，所以选模型②，则，解得，所以；【小问2详解】（i）因为，所以当趋于无穷大时，无限接近于，所以推测实验室室温为；（ii）令，则，所以，即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．19.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）