小学六年级数与形练习题及解析

小学六年级数与形练习题及解析“数与形”是小学数学学习中一种重要的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，帮助我们更好地理解数量关系，探索数学规律。对于小学六年级的同学而言，掌握“数与形”的结合，不仅能有效提升解题能力，更能培养数学思维的灵活性与深刻性。下面，我们就通过几道典型的练习题，来具体感受和运用“数与形”的巧妙结合。一、探索图形规律，发现数量关系例题1：用小棒按照如下方式摆图形。摆1个三角形需要3根小棒；摆2个三角形需要5根小棒；摆3个三角形需要7根小棒；……照这样摆下去：（1）摆6个三角形需要多少根小棒？（2）如果用了21根小棒，能摆多少个这样的三角形？解析：这道题是通过图形的变化来寻找小棒数量的规律。我们先把已知条件整理一下，看看能否发现其中的奥秘。三角形个数小棒根数:---------::-------:132537......方法一：观察图形，寻找规律我们来观察小棒的摆放：摆第1个三角形，用了3根小棒：`△`摆第2个三角形时，为了节省材料，通常会与第一个三角形共用一条边，所以只需要增加2根小棒：`△△`(共用一条边)摆第3个三角形时，同样与前一个三角形共用一条边，再增加2根小棒。所以，除了第一个三角形用3根小棒，从第2个三角形开始，每个三角形都只需要增加2根小棒。规律总结：摆`n`个三角形所需小棒根数=3+2×(n-1)化简一下：3+2n-2=2n+1所以，摆`n`个三角形需要`(2n+1)`根小棒。方法二：画图分析，数形结合我们也可以把每个三角形的小棒根数分解一下：第1个：1+2=3第2个：1+2+2=5第3个：1+2+2+2=7这里的“1”可以看作是最左边固定的一根，然后每个三角形都对应着2根小棒。所以，n个三角形就有n个“2根”，再加上最左边的1根，就是`1+2n`，与前面的结论一致。解答：（1）摆6个三角形，即n=6所需小棒根数=2×6+1=13(根)答：摆6个三角形需要13根小棒。（2）已知小棒根数为21根，求n。根据公式：2n+1=21解方程：2n=21-1=20n=20÷2=10答：用21根小棒能摆10个这样的三角形。二、借助图形理解数的运算规律例题2：观察下面的点阵图，根据规律填空。第1个图：●(1个点)第2个图：●●●●(4个点)第3个图：●●●●●●●●●(9个点)第4个图：……（1）第4个图有（）个点，第n个图有（）个点。（2）根据这个规律，算一算：1+3+5+7+9=（）²=（）解析：这道题通过点阵图来研究数的规律，特别是平方数和奇数求和的关系。（1）分析点阵图规律第1个图：1行1列，共有1×1=1个点，1=1²第2个图：2行2列，共有2×2=4个点，4=2²第3个图：3行3列，共有3×3=9个点，9=3²很明显，第几个图就是几行几列的方阵，所以第n个图就有`n×n=n²`个点。因此，第4个图有4×4=16个点。（2）理解奇数求和与平方数的关系现在我们换一种方式来看这些点阵图，用不同颜色的点来表示：第1个图（1个点）：可以看作是1(1=1²)第2个图（4个点）：如果在第1个图的基础上，在右边和下边各增加一行一列，增加的点数是3(1+3=4=2²)第3个图（9个点）：在第2个图的基础上，再在右边和下边各增加一行一列，增加的点数是5(1+3+5=9=3²)第4个图（16个点）：同理，增加的点数是7(1+3+5+7=16=4²)啊哈！我们发现了一个重要的规律：从1开始的连续奇数相加，它们的和等于奇数个数的平方。即：1+3+5+...+(2k-1)=k²，其中k表示相加的奇数的个数。题目中：1+3+5+7+9这里有几个连续奇数呢？1（第1个），3（第2个），5（第3个），7（第4个），9（第5个）。共5个奇数。所以，它们的和=5²=25。解答：（1）第4个图有（16）个点，第n个图有（n²）个点。（2）1+3+5+7+9=（5）²=（25）三、运用“形”的直观解决“数”的疑难例题3：计算下面算式的结果：1/2+1/4+1/8+1/16。如果继续加下去，1/2+1/4+1/8+1/16+...这个和会接近哪个数？解析：这道题如果直接通分计算，当然可以得到结果。但如果我们借助图形，会更加直观易懂，甚至能发现更深层次的规律。方法：用正方形表示“1”我们可以把一个完整的正方形看作单位“1”。1.表示1/2：将正方形平均分成2份，取其中的1份，涂色表示。[一个正方形，一半涂色]此时涂色部分占1/2。2.加上1/4：再将剩下的空白部分（也是1/2）平均分成2份，每份是1/4，取其中1份涂色。[在上述基础上，剩余一半的一半涂色]现在涂色部分是1/2+1/4=3/4。空白部分还剩1/4。3.加上1/8：再将剩下的空白部分（1/4）平均分成2份，每份是1/8，取其中1份涂色。[再涂剩余1/4的一半]涂色部分是1/2+1/4+1/8=7/8。空白部分还剩1/8。4.加上1/16：继续将剩下的空白部分（1/8）平均分成2份，每份是1/16，取其中1份涂色。[再涂剩余1/8的一半]涂色部分是1/2+1/4+1/8+1/16=15/16。空白部分还剩1/16。规律观察：通过图形我们清晰地看到，每次加上的分数都是前一个分数的一半，而涂色部分越来越接近整个正方形（单位“1”），但始终会剩下一个与最后加上的分数大小相等的空白部分。所以：1/2+1/4+1/8+1/16=(16/16-1/16)=15/16。如果继续加下去，加上1/32，那么和就是31/32，剩下1/32；加上1/64，和就是63/64，剩下1/64……这个和会越来越接近1，但永远不会超过1。解答：1/2+1/4+1/8+1/16=15/16。如果继续加下去，这个和会接近1。总结与思考“数与形”的结合，就像为我们打开了一扇通往数学深处的窗户。它不仅仅是一种解题技巧，更是一种重要的数学思想。通过今天的练习，我们可以体会到：1.化抽象为具体：对于一些复杂的数量关系或规律，用图形表示出来，会变得直观易懂。2.化复杂为简单：有些计算题，