人教版八年级数学上册期中复习训练讲义

人教版八年级数学上册期中复习训练讲义同学们，期中考试的脚步日益临近，这是检验我们半学期学习成果的重要契机。一份好的复习计划和扎实的知识梳理，是取得理想成绩的关键。这份讲义旨在帮助大家系统回顾本学期已学的核心内容，明确重点难点，掌握解题方法，提升应试能力。希望同学们能结合自身情况，合理利用这份资料，查漏补缺，争取在期中考试中发挥出最佳水平。第一单元：三角形三角形是我们进入平面几何世界的基础，也是后续学习更复杂图形的基石。本单元的知识点贯穿整个初中几何，务必扎实掌握。一、核心知识梳理1.三角形的定义与相关概念：*由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的边、顶点、内角、外角。*三角形的表示方法。2.三角形的三边关系：*三角形任意两边之和大于第三边。*三角形任意两边之差小于第三边。*（注：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边之和是否大于最长边即可。）3.三角形的内角和与外角：*三角形三个内角的和等于180°。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。*三角形外角的性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形的外角和等于360°。4.三角形的分类：*按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。*按边分：不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。5.多边形及其内角和：*n边形内角和公式：(n-2)×180°。*n边形外角和等于360°（与边数无关）。*从n边形一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。n边形共有n(n-3)/2条对角线。二、重点、难点与易错点剖析1.重点：三角形三边关系的应用；三角形内角和定理及外角性质的应用；多边形内角和与外角和公式的应用。2.难点：利用三角形内角和定理及外角性质进行角的计算与证明；多边形内角和公式的推导及灵活应用。3.易错点：*在判断三条线段能否组成三角形时，容易忽略“任意”两边之和大于第三边，或仅计算一组就下结论。*运用三角形外角性质时，容易混淆“相邻”与“不相邻”的内角。*多边形内角和公式中，n代表边数，计算时易出错；外角和是固定的360°，与边数无关，此点易误解。三、典例精析例1：已知一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长x的取值范围是________。思路点拨：直接运用三角形三边关系：两边之差<第三边<两边之和。解答：7-4<x<7+4，即3<x<11。例2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A、∠B、∠C的度数。思路点拨：设每份为k，根据三角形内角和为180°列方程求解。解答：设∠A=2k，∠B=3k，∠C=4k。则2k+3k+4k=180°，解得k=20°。所以∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。四、针对性训练1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，2，5D.3，4，82.一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角是______度，它是______三角形。3.正多边形的一个外角是30°，则这个多边形是______边形，其内角和是______度。4.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD=______度。（此处应有图，假设为标准的三角形外角图）第二单元：全等三角形全等三角形是平面几何证明与计算的重要工具，其判定和性质是本单元的核心。一、核心知识梳理1.全等形与全等三角形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等。*全等三角形的面积相等。4.全等三角形的判定方法：*SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）5.证明三角形全等的基本思路：*已知两边：找夹角（SAS）或第三边（SSS）。*已知一边一角：*边为角的对边：找任一角（AAS）。*边为角的邻边：找夹角的另一边（SAS）或找夹边的另一角（ASA）或找边的对角（AAS）。*已知两角：找夹边（ASA）或找任一角的对边（AAS）。二、重点、难点与易错点剖析1.重点：全等三角形的性质；全等三角形的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）及其应用。2.难点：根据已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等；辅助线的添加；利用全等解决实际问题。3.易错点：*对“对应”二字理解不清，找错对应边、对应角。*SAS判定中，误用“SSA”（边边角），注意必须是“夹角”。*证明过程不规范，条件书写不全或理由不充分。*忽略图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等。三、典例精析例3：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。思路点拨：已知两组边对应相等（AB=DE，BC=EF），AF=DC，可通过AF+FC=DC+FC得到AC=DF，从而利用SSS判定全等。证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。在△ABC和△DEF中，AB=DE(已知)BC=EF(已知)AC=DF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)。例4：如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE。求证：∠B=∠C。思路点拨：要证∠B=∠C，可证△ABD≌△ACE。已知AB=AC，AD=AE，需证夹角∠BAD=∠CAE。因为AB⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAC=∠DAE=90°，从而∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°。∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC(已知)∠BAD=∠CAE(已证)AD=AE(已知)∴△ABD≌△ACE(SAS)。∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)。四、针对性训练1.如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为（）A.4B.5C.6D.不确定（此处应有图，显示两个全等三角形对应关系）2.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EFB.AB=DE，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，BC=EF，AC=DFD.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E3.如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件是________（只需写出一个）。（此处应有图，显示包含∠1、∠2及AB、AD的图形）4.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求证：AC=DF。（此处应有图）第三单元：轴对称轴对称是一种重要的几何变换，利用轴对称的性质可以解决许多几何问题，同时也是学习等腰三角形的基础。一、核心知识梳理1.轴对称图形与轴对称：*轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。*区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言；轴对称是对两个图形而言。联系是都沿某直线折叠后能够重合。2.轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*成轴对称的两个图形全等。3.线段的垂直平分线：*定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。*性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。*判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4.角的平分线（与轴对称相关）：*性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。*判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。5.等腰三角形：*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。*判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。6.等边三角形：*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。*判定：*三条边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。二、重点、难点与易错点剖析1.重点：轴对称的性质；线段垂直平分线的性质与判定；等腰三角形的性质与判定；等边三角形的性质与判定。2.难点：利用轴对称的性质解决最短路径问题；等腰三角形“三线合一”性质的灵活应用；综合运用所学知识进行证明和计算。3.易错点：*对称轴是直线，而非线段或射线。*“三线合一”性质仅适用于等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线才互相重合。*等腰三角形的判定和性质易混淆条件和结论。*在解决最短路径问题时，找对称点是关键，容易找错。三、典例精析例5：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=50°，求∠BAD的度数。思路点拨：因为AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是顶角∠BAC的平分线和底边BC上的高。先由等边对等角求出∠C，再由三角形内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD。解答：∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°（等边对等角）。∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°。∵AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。∴∠BAD=∠BAC/2=80°/2=40°。例6：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，BD=4cm。求AC的长。思路点拨：连接AD，因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD=4cm。在Rt△ACD中，∠CAD=∠CAB-∠DAB。∠CAB=60°，∠DAB=∠B=30°（等边对等角，AD=BD），所以∠CAD=30°，则CD=AD/2=2cm，再由勾股定理求AC。解答：连接AD。∵DE是AB的垂直平分线，BD=4cm，∴AD=BD=4cm（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。∴∠DAB=∠B=30°（等边对等角）。∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°。∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=60°-30°=30°。在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=AD/2=4/2=2cm（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。∴AC=√(AD²-CD²)=√(4²-2²)=√(16