沪教版七年级数学知识点总结

沪教版七年级数学知识点总结亲爱的同学们，七年级的数学学习是中学阶段打好数学基础的关键时期。这个阶段的知识不仅是后续学习更复杂数学内容的基石，也与我们的日常生活息息相关。这份总结旨在帮助大家系统梳理本学期所学的重点知识，巩固基础，查漏补缺，希望能为大家的学习提供一些帮助。第一章有理数有理数是我们进入中学后接触的第一个重要数学概念，它将我们对数的认识从小学的非负有理数扩展到了包含负数的更广阔范围。1.1有理数的意义*正数与负数：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。引入负数是为了表示具有相反意义的量，例如收入与支出、上升与下降等。*有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。1.2数轴*数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度，这三者缺一不可。*数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。反之，数轴上的点并不都表示有理数（以后会学到无理数）。利用数轴可以直观地比较有理数的大小：数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。1.3相反数*相反数的定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。*相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。*表示方法：数a的相反数是-a。1.4绝对值*绝对值的定义：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。数a的绝对值记作|a|。*绝对值的性质：*正数的绝对值是它本身；*负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。即：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=-a。*任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。1.5有理数的大小比较*利用数轴比较：数轴上右边的数总比左边的数大。*利用绝对值比较：*正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。*两个正数比较大小，绝对值大的数大。*两个负数比较大小，绝对值大的反而小。1.6有理数的加法*加法法则：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*一个数同0相加，仍得这个数。*加法运算律：*交换律：a+b=b+a*结合律：(a+b)+c=a+(b+c)灵活运用运算律可以使运算简便。1.7有理数的减法*减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*有理数的减法可以统一转化为加法进行计算。1.8有理数的乘法*乘法法则：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数同0相乘，都得0。*几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。*乘法运算律：*交换律：a×b=b×a*结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*分配律：a×(b+c)=a×b+a×c1.9有理数的除法*除法法则：*除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*0不能作除数。1.10有理数的乘方*乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。*乘方运算的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。*注意：(-a)ⁿ与-aⁿ的区别。1.11有理数的混合运算*运算顺序：*先算乘方，再算乘除，最后算加减。*同级运算，按照从左到右的顺序进行。*如果有括号，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。*在进行混合运算时，要认真审题，看清运算符号和数字，选择合理的运算方法，灵活运用运算律简化计算。第二章整式的加减整式是代数的基本语言，学好整式是进一步学习方程、函数等知识的基础。2.1代数式与整式*代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*整式：单项式和多项式统称为整式。*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。2.2整式的加减*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。第三章一元一次方程方程是解决实际问题的重要工具，一元一次方程是最简单也是最基础的方程。3.1一元一次方程的概念*方程：含有未知数的等式叫做方程。*方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。*一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。其标准形式为ax+b=0(a≠0)。3.2等式的性质*性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。3.3解一元一次方程*解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号。3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。移项要变号。4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。*解完方程后，要养成检验的习惯，将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。3.4一元一次方程的应用*列方程解应用题的一般步骤：1.审：审题，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系。2.设：设未知数，一般有直接设元（设要求的量为x）和间接设元两种方法。3.列：根据题目中的等量关系列出方程。4.解：解所列的方程。5.验：检验方程的解是否符合实际意义。6.答：写出答案，包括单位名称。*常见的应用题类型：行程问题（相遇、追及）、工程问题、利润问题、数字问题、和差倍分问题、等积变形问题等。关键在于找到题目中的等量关系。第四章图形的初步认识本章将带领我们进入丰富多彩的几何世界，认识基本的平面图形。4.1几何图形*几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形分为立体图形和平面图形。*立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。*平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。*展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。4.2点、线、面、体*点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。*点动成线，线动成面，面动成体。4.3直线、射线、线段*直线：*概念：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（简述为：两点确定一条直线）*表示方法：可以用一个小写字母表示，如直线l；也可以用这条直线上的两个点来表示，如直线AB（或直线BA）。*性质：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量。*射线：*概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。*表示方法：用射线的端点和射线上另一点来表示，端点字母写在前面，如射线OA。*性质：射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不可度量。*线段：*概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。*表示方法：可以用一个小写字母表示，如线段a；也可以用表示端点的两个字母表示，如线段AB（或线段BA）。*性质：线段有两个端点，不能延伸，可以度量长度。*线段的基本事实：两点之间，线段最短。*两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。*线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。若点M是线段AB的中点，则AM=MB=1/2AB。4.4角*角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。*角的表示方法：*用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB。*用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时），如∠O。*用一个数字表示，如∠1。*用一个希腊字母表示，如∠α。*角的度量：度量角的单位是度、分、秒。把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角，记作1°。1°=60'，1'=60''。*角的比较与运算：*叠合法：把两个角的顶点和一边重合，通过另一边的位置关系比较大小。*度量法：用量角器量出角的度数，再比较大小。*角的和、差、倍、分的运算与代数运算类似。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB。*余角和补角：*余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。*补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。*性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。*对顶角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角叫做对顶角。对顶角相等。4.5相交线*相交线：两条直线有唯一公共点时，它们的位置关系叫做相交，这两条直线叫做相交线。*邻补角：两条直线相交，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。邻补角互补。*垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。*性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。*性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。*点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。4.6平行线*平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符