5.2 导数的运算(3知识点+10考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

5.2导数的运算内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：基础初等函数的导数基本初等函数的导数公式原函数导函数原函数导函数fff(ffffffffff(a>0fff根据导数的定义求函数y=f(x)的导数，就是求出当下面求几个常用函数的导数.（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（

）A．cosx'=-C．ex'=x【答案】A【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.【详解】对于A，cosx'=-对于B，x3'=3对于C，ex'=对于D，2'=0，故故选：A知识点2：导数运算法则(1)fx拓展：fx记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；(2)fx记忆：两函数积的导数等于“前导后不导+后导前不导”；特别：C∙fx'=C∙证明[cf(x)](3)fx记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”.（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（

）A．3x'=C．sinxx'【答案】B【分析】利用求导法则进行判断【详解】A选项，3x'=B选项，(ln5)C选项，sinxx'D选项，(xsinx)'故选：B知识点3：复合函数的导数对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，若通过变量u,y可以表示成x的函数，则称这个函数为函数y=f(u)和u=f(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=f(x)的导数间的关系是yEg若fx=ln⁡(x则f'（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数fx=e2x的导函数A．2xe2x-1 B．e2x C．2【答案】C【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可.【详解】函数fx=e故选：C题型一：基本初等函数的导数例1.1（24-25高二下·北京海淀·期中）下列求导运算正确的是（

）A．x3'=x2 B．ex【答案】C【分析】利用基本初等函数的导数公式可逐项判断各选项中导数运算的正误.【详解】对于A，x3'=3对于B，ex对于C，(lgx)对于D，(cosx)'故选：C.例1.2（24-25高二下·北京·期中）已知函数fx=x，则fA．2 B．2 C．24 D．【答案】C【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】由题意可得f'所以f'故选：C【变式1-1】（22-23高二下·四川成都·期中）下列导数运算正确的是（

）A．cosx'=C．log3x'【答案】C【分析】根据导数公式判断各项正误即可.【详解】由(cosx)'=-sinx所以A、B、D错，C对.故选：C【变式1-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知fx=x4，若f'A．1 B．12 C．13 D【答案】B【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案.【详解】∵fx∵f'x故选：B.【变式1-3】（24-25高二下·河北·期末）已知函数fx=xα（α为常数），若f'A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求得f'x=αx【详解】因为fx=x则f'1=α⋅故选：C.【变式1-4】（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数fx=cosx，则A．4sin1 B．-4sin1 C．【答案】B【分析】根据求导公式及导数的定义求解.【详解】由题意得，f'则limΔ故选：B题型二：导数的加减法例2.1（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数f(x)=1x+x2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】直接求导求值即可．【详解】∵f(x)=1∴f∴f故选：C．【变式2-1】（23-24高二下·天津·期中）已知函数fx=cosx+sinA．-3 B．0 C．1 D．-1【答案】D【分析】求导，再令x=π即可得解【详解】f'所以f'故选：D.【变式2-2】（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线y=x2-lnxA．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】C【分析】先对给定的函数求导，然后将x=1带入即可.【详解】由题意得y=x2-lnx故选：C.【变式2-3】（24-25高二下·河南·期中）若物体的运动方程是S=t3+t2A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】直接求导计算S'2【详解】S't=3则其t=2时物体的瞬时速度是16.故选：C.题型三：导数的乘法例3.（24-25高二下·广西北海·期末）已知函数fx=xsinx+cosA．1 B．π2 C．-π2【答案】D【分析】求出f'x，代值计算可得f【详解】由题意知，f'x=故选：D．【变式3-1】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数f(x)=(3x-1)ex的导函数为（A．f'x=(3x-1)C．f'x=(3x+1)【答案】D【分析】根据积的导数的运算法则求导函数.【详解】因为f(x)=(3x-1)e所以f'x=3x-1'故选：D【变式3-2】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数f(x)=sinxcosx，则A．-32 B．-12 C．【答案】C【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可.【详解】f'所以f'故选：C.【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知fx=f0⋅x-fA．f0=1 B．f'0=1 C【答案】D【分析】求出f'x的表达式，在fx、f'x的表达式中，分别令x=0，可得出关于【详解】因为fx所以f0又因为f'所以f'0=f故选：D.题型四：导数的除法例4.（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数fx=lnxex,A．1 B．1e C．0 D．【答案】B【分析】求出导函数f'x，将x=1代入f【详解】因函数fx=ln于是得f'故选：B【变式4-1】（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（

）A．(exlnC．(x2sin【答案】A【分析】根据题意，由导数的四则运算代入计算，即可判断.【详解】(exlncosπ3'(x2sin2sinxx故选：A【变式4-2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知函数fx=2exA．0 B．e22 C．e D【答案】B【分析】求出f'x，代值计算可得出f【详解】因为fx=2ex故选：B.【变式4-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数f(x)=x-1x+1,f'A．-2 B．-1 C．0 D．0或-2【答案】D【分析】求出函数的导数，再列式求解.【详解】函数f(x)=x-1x+1=1-则f'(m)=2(m+1)2故选：D题型五：简单复合函数的导数例5.（22-23高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数：(1)y=2x+3(2)y=e(3)y=ln【答案】(1)y(2)y(3)y【分析】（1）（2）（3）根据复合函数求导法则和初等函数导数公式求导可得.【详解】（1）函数y=2x+310可以看作y=u根据复合函数求导法则有y'（2）函数y=e2x+1可以看作y=e根据复合函数求导法则有y'（3）函数y=ln3x-2可以看作y=ln根据复合函数求导法则有y'【变式5-1】（24-25高二下·湖北武汉·月考）下列求导运算结果正确的是（

）A．1-x'=-1C．cos2+ln1-2x【答案】C【分析】根据复合函数求导法则对选项ABC逐一判断即可知AB错误，C正确，再结合除法运算法则可得D错误.【详解】对于A，易知1-x'=1-x对于B，sin2x'对于C，cos2+ln1-2x对于D，11-x2'故选：C【变式5-2】（24-25高二下·海南·月考）已知函数f(x)=ln(ax+2)，若f'(1)=1A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据复合函数求导原则，结合代入法进行求解即可.【详解】fx故选：D【变式5-3】（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y=2sinπ6t+πA．-π6cms B．π6cm【答案】A【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可.【详解】由y=2sin(π依题意该弹簧振子在t=2sv瞬故选：A.题型六：求在曲线上一点处的切线方程（或斜率）例6.（2025·湖南长沙·模拟预测）函数y=2lnx+1+sinx的图象在x=0处的切线对应的倾斜角为α，则sin2A．310 B．±310 C．35 D【答案】C【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在x=0处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2α的值．【详解】因为y=2所以y当x=0时，y'=3，此时∴sin2α=2故选：C.【变式6-1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）曲线y=sinxx在x=A．0 B．π C．-π D．【答案】D【分析】由导函数的几何意义得，曲线在某点处的导函数值即是在该点处的切线斜率，进而可求解.【详解】因为y=sinxx将x=π代入可得切线斜率为-故选：D.【变式6-2】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线y=-33x3-1A．π6 B．π3 C．5π【答案】D【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可.【详解】设曲线y=-33x3-1因为y'=-3所以曲线y=-33x3-1故选：D.【变式6-3】（25-26高三上·河北·月考）设函数f(x)=x⋅2x-x2-1lnA．2x-y=0 B．2x+y=0C．2x-y-4=0 D．2x+y-4=0【答案】A【分析】求出f(1)，利用导数的公式求出f'(x)，从而求出f'(1)，利用点斜式得到y=f(x)【详解】∵f(x)=x⋅2∴f(1)=2-1-1∵f∴f∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=2(x-1)，即2x-y=0.故选：A.题型七：求过一点的切线方程例7.（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点2,0可作曲线fx=xA．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.【详解】由fx当点2,0是切点时，此时切线的斜率为f'当点2,0不是切点时，设切点为x0,y切线方程为：y-x03于是有0-⇒x0+1综上所述：过点2,0可作曲线fx=x故选：B【变式7-1】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1A．y=5x+1 B．y=2x+1C．y=x+1 D．y=-2x+1【答案】A【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.【详解】f'x=3设切点为(x0,解得：x0=-1，得切点-1,-4切线方程为：y=5x+1，故选：A．【变式7-2】（24-25高三上·山西运城·月考）已知函数f(x)=ex，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则直线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为（A．2e+12 B．2e-12 C．e-22【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程，再利用定积分的几何意义求解即可.【详解】由f(x)=ex可得f'(x)=e则切线方程为y-e把0,0代入可得-ex0=e则直线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为01故选：C【变式7-3】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数fx=ex,x≤0ln1+x+1,A．1,1 B．1,2 C．-1,1 D．2,2【答案】B【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解.【详解】作出函数fx求导得：f'由于函数fx=ex在而函数fx=lnx+1+1由于两分段函数在分界点处的切线相同，所以可取公切线y=x+1上的点P，再作函数fx根据选项分析，只有1,2在公切线y=x+1上，故选：B题型八：已知切线（或斜率）求参数例8.（25-26高三上·重庆·月考）已知直线y=-3x+b与函数fx=x2-5A．4 B．3 C．2 D．-5【答案】A【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值.【详解】由切线斜率k=f'x=2x-5x，则2x-5x因为f1=1，所以切点坐标为1,1，代入切线方程y=-3x+b得：故选：A.【变式8-1】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数fx=ax2+blnx在点1,fA．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可.【详解】对函数求导得f'因为函数fx在点1,f1处的切线方程为所以有f'1=2a+b=1,f所以a+b=-2.故选：A.【变式8-2】（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线y=ax-1与曲线y=lnx相切，则实数aA．13 B．12 C．1 D【答案】C【分析】设切点为(x0,y0)，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得ln【详解】因为y=ln所以y'设直线y=a(x-1)与曲线y=lnx的切点为所以1x所以lnx0+令函数f(x)=lnx+1因为f'所以函数f(x)=lnx+1x-1又因为f(1)=ln所以x0所以a=1.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线y=a-xex存在过坐标原点的切线，则实数aA．-4,0 B．-C．-4,0 D．-【答案】B【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有实数根，求得a【详解】∵y=a-x∴y'设切点为x0,y0，则∴切线方程为y-a-∵切线过原点，∴-a-x∵存在过坐标原点的切线，∴Δ=a2+4a≥0，解得∴实数a的取值范围是-∞故选：B.题型九：两条切线平行或垂直问题例9.（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线f(x)=x+alnx在点1,1处的切线与直线3x-y+1=0垂直，则a的值为（A．3 B．13 C．-34【答案】D【分析】利用导数的几何意义即可求解．【详解】f'又因为曲线f(x)=x+alnx在点1,1处的切线与直线所以切线斜率k=f'(1)=1+a=-故选：D．【变式9-1】（24-25高二下·山西·期中）设fx的导函数为f'x，曲线y=fx在点2,f2处的切线与直线3x-2y-3=0A．32 B．23 C．-2【答案】C【分析】根据题意，得到曲线y=fx在点2,f2处的切线的斜率为-23【详解】曲线y=fx在点2,f2处的切线与直线可得曲线y=fx在点2,f2处的切线的斜率为-2故选：C.【变式9-2】（24-25高二下·广东潮州·月考）已知曲线y=x3+3x在点P处的切线与直线y=15x+3平行，则点PA．(2,14) B．(-2,-14) C．(2,14)或(-2,-14) D．以上都不对【答案】C【分析】根据y=x3+3x的导函数为y'=3x2+3，又由其过P点的切线与直线y=15x+3平行性可知3【详解】解：由题意可知：函数y=x3∵过P点的切线与直线y=15x+3平行∴3x2当x=2时，y=23+2×3=14，此时切线方程为y-14=15×(x-2)当x=-2时，y=(-2)3+(-2)×3=-14，此时切线方程为y+14=15×(x+2)所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）若曲线fx=12cos2x在x=x1与x=xA．12 B．π2 C．7π【答案】C【分析】根据题意，可得f'x1f'x2=sin2x1sin2x2=-1，利用正弦函数的值域分析推得sin2【详解】因fx=12因曲线fx=12cos则f'x1不妨设sin2x1则x1=k此时,fx如图，设Px0,a，A则△ABP是以P为直角顶点的等腰直角三角形（切线BP的斜率为1，切线AP的斜率为-1）．由图知，x1易得a=取k1-k2=-4，得a=7π4．经检验,当k1,故选:C．题型十：公切线问题例10.（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=lnx+4的切线，则A．12 B．2 C．ln2 D．【答案】B【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率.【详解】设fx=ln设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切时切点的横坐标为与曲线y=lnx+4相切时切点的横坐标为则1a+2=1clnc+4-故直线y=kx+b的斜率k=1c故选：B.【变式10-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线y=x2+5在x=2处的切线与曲线y=lnx+3x+t（tA．3 B．0 C．2 D．1【答案】C【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程为y=4x+1，设切线与曲线y=lnx+3x+t相切的切点为x0,lnx【详解】由函数y=x2+5，可得y'=2x所以曲线y=x2+5在点(2,9)又由y=lnx+3x+t，可得设切线与曲线y=lnx+3x+t相切的切点为x0解得x0=1，所以3+t=4+1，解得故选：C.【变式10-2】（2025·甘肃·二模）已知函数fx=xlnx，gx=x2+axa∈R，若经过点A1,0A．0 B．-1 C．3 D．-1或3【答案】D【分析】先求得fx在A1,0处的切线方程，然后与gx=【详解】因为fx所以f'则f'所以k=1所以函数fx在A1,0处的切线方程为由y=x-1y=x2由Δ=a-12-4=0，解得a=3故选：D【变式10-3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线l为曲线fx=ex-1与gA．y=x-1 B．y=x+1 C．y=ex-1 D【答案】C【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程.【详解】设直线l与曲线fx的切点坐标为x1,y1，直线l直线l方程为y=kx+b，∵fx=ex-1，∴f'又y1=ex1-1，∵gx=lnx+1，∴g'x又y2=lnx2+1，∵直线l为曲线fx=e∴ex1=1由①得x2ex1=1代入②中得，-ex1解得x1=1或当x1=0时，k=1，b=0，直线l的方程为当x1=1时，k=e，b=-1，直线l根据选项可知直线l的方程可以为y=e故选：C.1（24-25高二下·四川凉山·期中）下列函数的求导正确的是（

）A．x-2'=-2x B．2ex'=2e【答案】B【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得．【详解】对于A，x-2'=-2对于B，2ex'对于C，ln10'=0对于D，xcosx'故选：B．2（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（

）A．(exlnC．(x2sin【答案】A【分析】根据题意，由导数的四则运算代入计算，即可判断.【详解】(exlncosπ3'(x2sin2sinxx故选：A3（24-25高二下·北京房山·月考）已知函数fx=ax3-3x2A．-1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】求导后，代入x=1即可构造方程求得结果.【详解】∵f'x=3ax故选：B.4（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）曲线y=ex-2x在x=0处的切线的倾斜角为α，则sinA．-22 B．22 C．1 D【答案】A【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，求得其倾斜角α=3π4【详解】由题意，函数y=ex-2x则y'|x=0=-1，即曲线在x=0处的切线的斜率为因为0≤α<π，所以α=3π4，所以故选：A.5（24-25高二下·湖南·月考）已知函数fx=ax+1x在点1,f1处的切线与直线x-2y+1=0A．－2 B．－1 C．2 D．3【答案】B【分析】求出fx的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值【详解】函数fx=ax+1∴f'1=a-1，即函数在x=1由切线与直线x-2y+1=0垂直，可得a-1×解得a=-1.故选：B.6（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线y=x+lnx在点1,1处的切线与曲线y=ax2+x+2A．-12 B．12 C．-【答案】D【分析】先求得曲线y=x+lnx在点1,1处的切线y=2x-1【详解】由y=x+lnx得y'=1+1所以曲线y=x+lnx在点1,1处的切线方程为y-1=2x-1由y=ax2+x+2所以Δ=1-12a=0，解得a=故选：D.7（24-25高三上·北京·期末）已知函数fx=x2+5x,x≥0-eA．-∞,0 B．-∞,5 C．【答案】D【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解.【详解】设直线y=kx与y=x2+5x由y'=2x+5，则所以切线方程为y=2x0所以x02+5所以k=5，作出f(x)及切线的图象，如图，由图象可知，当0≤k≤5时，fx≥kx故选：D8(多选)（25-26高二·全国·假期作业）（多选）曲线y=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1A．y=4x B．y=4x-4C．y=4x-8 D．y=4x-2【答案】AB【分析】设切点坐标，利用导数求出切线斜率建立方程求出切点，即可得出切线方程.【详解】设切点Px由y=x3+x-2所以切线斜率k=3x02故P1,0或P所以切线方程为y=4x-1或y+4=4即切线方程为y=4x-4或y=4x.故选：AB9（25-26高三上·安徽芜湖·月考）若直线y=2x+b与函数fx=x+lnx【答案】-1【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线y=2x+b与曲线fx=x+lnx相切，从而可得切点坐标，代入【详解】设直线y=2x+b与函数fx=x+ln∵fx∴f∴1+1x0∴fx∴P1,1，又P1,1在直线∴1