第07讲 平面向量在几何及物理中的简单应用(思维导图+4知识点+八大考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高一数学》人教A

第07讲平面向量在几何及物理中的简单应用内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：利用向量证明垂直】【题型02：利用向量证明平行】【题型03：利用向量求线段的长度】【题型04：利用向量求几何夹角】【题型05：判断三角形的形状】【题型06：力的合成】【题型07：速度与位移的合成】【题型08：功与动力的计算】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。知识点2：利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤1、线性运算法（1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；（2）利用基底表示相关向量；（3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；（4）把计算结果“翻译”为几何问题。2、坐标运算法（1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；（2）把相关向量坐标化；（3）用向量的坐标运算找到相应关系；（4）利用向量关系回答几何问题。知识点3：平面几何中证明问题的具体转化方法1、证明线段，可转化为证明；2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；3、证明两线段，只需证明数量积；4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。知识点4：向量在物理中的应用1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。2、力学问题的向量处理方法（1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。3、速度、位移问题的向量处理方法（1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成（2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；（3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。四、功、动量问题的向量处理方法物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。【题型01：利用向量证明垂直】1．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．【答案】证明过程见解析【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系.【详解】由题意得，，

故，因为，所以，故.2．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；(2)设和的夹角为，若，且，求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.【详解】（1）.（2），，.3．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在．【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．则．由于就是的夹角．

的余弦值为．（2）设．．由题得．①当点在上时，设，；②当点在上时，设，，舍去．综上，存在．【题型02：利用向量证明平行】1．已知空间四点,,和,求证:四边形是梯形.【答案】证明见解析【分析】根据平面向量的坐标运算得,由,与不共线即可证明.【详解】依题意有,同理,,,因为,所以,则,且,又与不共线,所以四边形是梯形.2．如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)求点B的坐标；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可；（2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为（2）由题意，，又，故，且不共线，故3．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.求证：（1）；（2）D，M，B三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可；（2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.令，则，因为，，所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为.（1）因为，，所以，即.（2）因为M为的中点，所以，所以，，所以，所以.又与有公共点，所以D，M，B三点共线.4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求，证明即可.【详解】∵，∴．∵是上靠近点的三等分点，∴．∵在平行四边形中，，∴．①∵为的中点，∴．②由①②可得．由向量共线定理知．又∵与有公共点，∴三点共线．【题型03：利用向量求线段的长度】1．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.【详解】如图所示，由题意可得：，即，解之得.故选：A2．已知向量，线段的中点为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可.【详解】设，则，由，得，又已知，且，则有，故.故选：A.3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.【答案】证明见解析.【分析】由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明.【详解】由四边形是平行四边形，得，，因为，，因此，显然点不在直线上，则，且，所以四边形是平行四边形.4．如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，，，，计算得到答案.（2），，计算得到答案.【详解】（1）；，，故，.（2），.5．四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得.【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令，而，则，即，由四边形是矩形，得，因此，则，，于是，所以.【题型04：利用向量求几何夹角】1．（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为【答案】/【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以，如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，因为，所以，则，则，又，所以.故答案为：.2．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则．

【答案】【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果.【详解】因为是的中点，所以，，因为，，，所以，所以.故答案为：.3．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：(1)AD的长；(2)的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可.（2）利用向量的夹角运算公式求解即可.【详解】（1）设，，则.，．（2）设，则向量与的夹角为．，，即．4．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.

(1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据AM是中线，由求解；（2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：因为AM是中线，所以，所以，则；（2）由图象知：为向量的夹角，因为，所以，，则，又，，所以，因为，所以.【题型05：判断三角形的形状】1．已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形【答案】B【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案.【详解】，由于，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B2．已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（

）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角【答案】C【分析】根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故，而，故，故三角形为钝角三角形，故选：C.3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（

）A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解.【详解】是非零向量且满足，，，，即，，，，且，又，所以，∴是等边三角形.故选：B．4．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（

）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B5．（24-25高一下·福建福州·期中）若非零向量与满足且，则为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边均不相等的三角形【答案】B【分析】利用向量数量积的定义化简推得，借助于三角形的内角，得；利用二倍角公式化简计算求得即可判断三角形的形状.【详解】由，可得，即，因是的内角，故；由，可得，因，则，故，则.综上，可知为等边三角形.故选：B.6．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案.【详解】因，则.又，由平面向量基本定理可得：.则，，故三角形是等腰直角三角形.故选：D【题型06：力的合成】1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得.【详解】由题意可得，所以.故选：D2．（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答.【详解】根据力的平衡，的合力为，如图所示：由于，且的夹角为，则为等边三角形，则，则与重物重力之间的夹角为.故选：C3．在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出即可得解.【详解】由，，得，而，解得，所以.故选：A4．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力【答案】A【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可.【详解】设，，，

由题意可得：四边形为菱形且，，因为与的夹角为，，则，即.对于，当时，，则，即正确；对于，当时，，则，即错误；对于，，当取最大值时，有最小值，又，即当时，取不到最小值，即错误；对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误．故选：【题型07：速度与位移的合成】1．（23-24高一下·云南·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（

）A．向东南走 B．向西南走C．向东南走 D．向西南走【答案】A【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合具体实际意义可得.【详解】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km.故选：A．2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案.【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处，需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图：即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸，故船行驶速度的大小为，故选：D3．某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小．【详解】设石子的落地时间为，则，解得，所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小．故选：B

4．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解.【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，

由已知可得，为正三角形，，所以．又，，则，所以为等腰直角三角形，所以.故选：D.【题型08：功与动力的计算】1．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功.【详解】由题意可得，又因为，所以对物体所做的功为.故选：A.2．物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【答案】A【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，故.故选：A.3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功．【答案】答案见详解【分析】将重力沿斜面和垂直于斜面分解，分别求出分力，然后可得各力所做功.【详解】物体受到重力，支持力和摩擦力，重力，沿斜面向下的分力，垂直斜面的分力，所以摩擦力大小为，斜面长为，所以重力所做功为（焦耳），摩擦力所做功为（焦耳），支持力所做功为0（焦耳）.4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量）（2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西.【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为.【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则.以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，则，，，则，，∴，∴四边形为矩形.∴，.∴处受力的大小为，处受力的大小为.（2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，依题意可得，，，设合力为，所以，则，则，所以位移，所做的功为.1．在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形【答案】D【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D2．（23-24高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（

）A． B．26 C．8 D．18【答案】A【分析】根据数量积公式，即可求解.【详解】由题意可知，，，所以，所以对该物体所做的功为.故选：A3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可.【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，，则．想要该质点恰好达到平衡状态，只需．故选：C.4．（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（

）A．船头方向与水流方向垂直 B．C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟【答案】B【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D.【详解】解：如图，是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短，，，故C错误；设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误；，故B正确；该船到达对岸的时间为分钟，故D错误．故选：B.5．（24-25高一下·上海·期中）已知非零向量与满足，则三角形一定是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】由，利用数量积运算化简得，得解.【详解】由条件，即,，展开并整理得，故三角形为等腰三角形.故选：C.6．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得．【详解】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．7．（24-25高一下·四川绵阳·月考）若不共线非零向量满足=0，且，则为（

）A．三边均不等的三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．底边和腰不等的等腰三角形【答案】C【分析】先应用向量的数量积公式计算得出，再应用减法结合数量积的运算律计算得出，即可判断三角形形状.【详解】由，则，所以，由，则，所以，所以为等边三角形；故选：C.8．已知四边形是矩形，，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设，进而利用坐标法求解即可；解法二：用为基底表示向量，，再根据得得，，再根据计算得，进而得答案.【详解】解：解法一如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.∴，，，.∴，.∴，.∵，∴，即.又，所以，.∴.∴.∵，∴.故选：C.解法二：∵，，∴.∵，∴，得.∴，.∴.故选：C.9．（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为.【答案】【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果．【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，

因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则，，，，则，而等于与所成的角．所以．故答案为：.10．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.【详解】（1），由题意得，所以．（2）由题意，．∵，，∴．∴，∴．11．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2)，正切值为.【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证；（