素养拓展04 解三角形中中线、角平分线、垂线的条件突破(思维导图+3知识点+三大考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高一数学》人教A

素养拓展04解三角形中中线、角平分线、垂线的条件突破知识点1：中线问题如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.①向量法：,平方即可；②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即知识点2：角平分线问题△ABC中，AD平分∠BAC.①角平分线定理：证法1（等面积法），得注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.证法2（正弦定理）如图，，,而，整理得②等面积法知识点3：垂线问题①等面积法：②③【题型01中线】1．（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可.【详解】由题意，，则，则，则，即.故选：A.2．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．【详解】因为是边上的中线，所以，则，由正弦定理得，可得，，所以，而，，所以，因为为锐角三角形，，则，即，所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为．故选：B．3．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，角的对边分别为.(1)证明：；(2)求；(3)若，边上的中线，求边的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证；（2）利用余弦定理即可求解；（3）在和中有，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理得：，即.（2）因为，即.则，因为，所以.（3）因为，由余弦定理知：，，即，，故，解得：或.4．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，点是边上一点，且，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A；（2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解．【详解】（1）已知，由正弦定理得，即，则，，即．∵，∴，那么，解得．又∵，∴．（2）∵，∴，即，两边同时平方：，，∴，∴，即．5．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．(1)若，证明：；(2)若，是的中线，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明；（2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值.【详解】（1）由正弦定理得，即，即，由余弦定理知和，得，即，即，因为，所以.（2）因为，，所以，故，当且仅当，即时等号成立，故；由是的中线，得，即得，即得，故的最大值为.【题型02角平分线】1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】结合诱导公式及三角恒等变换公式可得，再根据三角形面积公式可得解.【详解】由已知，即，则，由，即，可得，解得，又的平分线交于点，则，所以在中，，即，即，解得，故选：C.2．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长.【详解】已知，移项可得.因为（若，则，不满足），所以，即.又因为，所以.因为AD是角的平分线，所以.根据三角形面积公式，可得.可得：，即两边同时约去可得.由余弦定理，将，代入可得：，即，即.根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得：，将代入上式可得：，解得（负值舍去）.的周长为.故选：A.3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可．【详解】由题意得，，即，所以，得，得，当且仅当，即时，的最小值为.故选：D．4．（24-25高一下·云南昆明·期中）如图，已知在中，点在边上，为的平分线，且，，则；.【答案】；.【分析】①在中分别运用正弦定理以及已知条件即可求出结果；②在中分别运用余弦定理以及已知条件即可求出结果.【详解】在中，利用正弦定理得：.在中，利用正弦定理得：.因为，所以两式相除得.设，则为锐角，设，则.由题意在，中，分别利用余弦定理可得，，，∴，求得，∴.故答案为：①；②.5．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为.【答案】【分析】由题意作图，根据角平分线性质可得线段比例，设出线段长，由三角形三边关系建立不等式组，可得线段长的取值范围，利用余弦定理，建立方程，结合二次函数性质，可得答案.【详解】由角平分线性质定理，，所以，设，，则，由得：，由图可知，所以，即，化简得：，因为，所以.故答案为：.6．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若．(1)求角的大小；(2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值．【答案】(1)；(2)3.【分析】（1）先由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解；（2）先由求出，再将代入，并设得到，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由题和正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得，又，所以.（2）因为，所以由题，所以由得，即，又，设，则，所以，又，当且仅当即时等号成立，所以，即的最大值为3.【题型03垂线】1．（24-25高一下·广西百色·期末）已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小；(2)若，是边上的高，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解；（2）由是边上的高，且，在直角中，由正弦定理，列出方程，求得，，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，可得，由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：因为是边上的高，且，在直角中，由正弦定理得，即，即，解得，又因为，可得，所以的面积.2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，.(1)求角；(2)求边.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求角；（2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边.【详解】（1）已知，由余弦定理有，得，故，又，所以.（2）设边上的高为，则三角形面积，面积也可表示为，联立得，即，由，得，代入题目条件，得，将代入上式，得，即，得，解得.3．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求；(2)设BC边上的高等于，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角转化结合特殊角计算求解；（2）法一：设边长结合边角关系应用余弦定理计算求解；法二：设边长结合边长应用两角和余弦公式计算求解.【详解】（1）因为，由正弦定理，得，所以，因为，所以，即.（2）法一：设BC边上的高与BC边交于点D，则，且.设，则.中，，中，.中，由余弦定理，得.法二：设，则.中，，中，.，所以.4．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；（2）由余弦定理可得，在直角三角形中可得，再由两角互补其余弦值互为相反数，即可得到，再结合勾股定理，即可得到结果.【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得，且，即，即，即，其中为斜三角形，所以，即，则，即，所以.（2）因为，在中，由余弦定理可得，又，，所以，且，所以，即，解得，所以，则.5．（24-25高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，.（ⅰ）求a．（ⅱ）过边BC上一点P作AB，AC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）结合弦切互化，根据正弦定理得，然后逆用两角和的正弦公式结合三角形的性质化简得，根据角的范围利用特殊角的余弦值求解即可.（2）（ⅰ）先利用两角和正弦公式求得，然后利用正弦定理求解即可.（ⅱ）设，则，，，进而，根据余弦定理得，根据二次函数性质求解即可.【详解】（1）在中，，则.由及正弦定理得，整理，得，即，∵，，则，又，故.（2）（ⅰ）在中，，，则，由正弦定理，得，∴.（ⅱ）如图，∵，∴与互补，故，设，则，，，∴，则，当时，DE取得最小值.1．（24-25高一下·福建厦门·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可.【详解】由题意可知：，因为，则，即，解得.故选：A.2．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，结合平方关系可得，进而求得，得解.【详解】由边上的高为1知，故，由正弦定理得，，所以．由余弦定理可得，因为，解得，故，解得，故的周长为．故选：D．3．（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解.【详解】因为边上的高为，所以，即，，当且仅当取等号，，即，即，，则，，故角的最大值为.故选：B.4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理和已知条件得到，再利用辅助角公式及基本不等式可得到，此时且，结合余弦定理可求出，最后利用等面积法即可求解.【详解】由余弦定理得，，代入，可得，化简得，两边同时除以得，，一方面，，其中，，当时等号成立；另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立，依题可得：，此时且，，，，，，，由余弦定理，，又，，联立解得，，设边上的高为，则，故，即边上的高为.故选：B.5．（24-25高一下·福建福州·期末）（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断.【详解】对于A，，由，得，由正弦定理得，而，因此，A正确；对于B，由及正弦定理得，即，则，即，又，因此，又，则，，B正确；对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知，，而解得，即，矛盾，C错误；对于D，由选项A知，，而，则，整理得，而，因此，又，则，，D正确.故选：ABD6．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则.【答案】【分析】利用角平分线性质结合面积公式得到，再利用余弦定理即可得解.【详解】由已知，因为，所以，又，，所以，即，化简得，所以.故答案为：.7．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为.【答案】【分析】解法1：利用三角形角平分线的性质定理，结合Stewart公式，可求的取值范围；解法2：结合三角形角平分线性质定理，以为基底表示向量，利用向量的数量积的运算求向量的模的取值范围即可；解法3：利用张角定理表示出，可求的取值范围.【详解】解法1：如图，由角平分线性质定理，，设，，则，由，得：，由Stewart公式，，故，因为，所以.解法2：如图，设，，则，故，，故，即.解法3：设，则，由张角定理，，所以，因为，所以.故答案为：8．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知的内角，所对的边分别为，，，角为锐角，已知的面积为.(1)求；(2)若为上的中线，求的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.【详解】（1）由的面积为可得：，因为，，解得：，由角为锐角得，故，解得.（2）因为为上的中线，所以，所以，，解得：，所以的长度为.9．已知的内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若，，，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再根据余弦定理进行计算即可；（2）先得，再两边平方求值即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，由余弦定理知，又，所以.（2）因为，，则,所以,所以10．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上一点，，，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角；（2）因为，根据向量的模可得，再结合余弦定理得，可得的值，即可求得面积.【详解】（1）根据题意，，即，根据正弦定理，，所以，，得，所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以；（2）根据题意，，则，即①，又根据余弦定理，即②，由①②可得，所以.11．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，(1)求A的值；(2)若，求周长的最大值；(3)设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值.【答案】(1)；(2)6；(3).【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.（2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值.（3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，而，则，解得，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为6.（3）由内角A的平分线交BC于点D，，得，即，因此，即，当且仅当时取等号，则，所以面积的最小值为.12．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且.(1)求C；(2)若AB边上的高为h，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解；（2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值.【详解】（1）由及正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以.（2）因为，AB边上的高为h，由三角形的面积公式得，所以.由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为.13．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在中，为BC边上一点，且.(1)求AB的长；(2)求的值；(3)若的面积为，求中AD边上的高.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出；（2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可；（3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高；方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高．【详解】（1）因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.（2）.（3）方法一：，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，解得（CD舍去），所以中AD边上的高为.方法二：，所以，在中，，，所以中AD边上的高为.14．（24-25高一下·江苏·月考）在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且.(1)若，求面积的取值范围；(2)已知，.（i）求BC边上的高；（ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理求出