2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 专题39排列组合与图论第二讲（含解析）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题39排列组合与图论第二讲1.【2017年新疆预赛】在某次交友活动中，原计划每两个人都要恰好握1次手，但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样.整个活动共握了60次手.那么最开始参加活动的人数是2.【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为(用数字作答).3.【2016年山东预赛】在(x+√x+1)²+1(n∈Z+)的展开式中，x的整数次幂项的系数和为4.【2016年山东预赛】设(x₁,x₂,…,x₂0)为(1,2,...,20)的一个排列，且满足∑²=1(Ixi-i|+|xi+i|)=620.则这样的排列有个5.【2016年新疆预赛】平面上n个圆两两相交，最多有个交点6.【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修，他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为7.【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有种.8.【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有种.9.【2016年上海预赛】将90000个五位数10000,10001,…,99999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19806倒过来看是90861)有两种不同的读法，会引起混淆。则不会引起混淆的卡片共有张。10.【2016年上海预赛】红、蓝、绿、白四个色子，每个色子的六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6.同时掷这四个色子使得四个色子朝上的数的乘积等于36,共有种可能.11.【2016年上海预赛】如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间.则他们在不相邻(没有公共边)房间的概率为(用分数表示).13.【2016年辽宁预赛】在(2+√x)²n+1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为_14.【2016年江苏预赛】在8×6的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个2×2的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的.则所有不同的均衡的染法有种.15.【2016年湖南预赛】观察下列等式：由以上等式推测出一般的结论：对于n∈Z+,16.【2016年湖北预赛】以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有个(注：全等的三角形视为形状相同).17.【2016年河南预赛】过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°。这样的截面共可作出个。18.【2016年甘肃预赛】如图，a为程序框图中输出的结果.则二项式的展开式中含项的系数x²开始是否19.【2015年上海预赛】有十个大小相同的小球，其中五个为红球，五个为白球.现将这十个球任意排成一排，并从左至右依次编号为1,2,...,10.则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有20.【2015年安徽预赛】设n为正整数.把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每名选手均不兼项.则配对方式总数为21.【2015年山东预赛】把1,2,…,6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减.则这样的数列共有个.22.【2015年湖南预赛】将1,2,...,9这九个数字填在如图2的九个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大.当3、4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为3423.【2015年湖北预赛】将五名大学生分配到某乡镇的三个村就职.若每个村至少一名，则不同的分配方案数24.【2015年湖北预赛】若(x²-x-2)³=a+a₁x+…+a₆x⁶,则a₁+a₃+as=·25.【2015年甘肃预赛】1被8除所得的余数为2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题39排列组合与图论第二讲1.【2017年新疆预赛】在某次交友活动中，原计划每【答案】15【解析】提示：设参加活动的人数为n+4,其中中途退出的4故最开始参加活动的人数为n+4=15.2.【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10,16=1+2+416=1+3+4+8,16=1+3+5故符合条件的不同分配方法数为9A4=216.【解析】Q=(x-√x+1)²n+1.令.则所求的系数和4.【2016年山东预赛】设(x₁,x₂,…,x₂0)为(1,2,....则这样的排列有个.【答案】(10!)²【解析】=∑²91|xi-i|+∑²=12i=620.注意到，la-b|=max{a,b}-min{a,b},且(x₁,x₂,…,x₂0)为(1,2,.…,20)的一个排列.于是，在max{x;,i}、min{x₁,i}(1,2,…,20)中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.≤2∑²91i-2∑21i=200.由分布计数原理，排列{x₁,x₂,…,x₂0}的个数为(10!)².5.【2016年新疆预赛】平面上n个圆两两相交，最多有个交点.【答案】n(n-1)【解析】三个圆相交时，最多有2+4=6个交点；四个圆相交时，最多有2+4+6=12个交点；n个圆相交时，最多有2+4+…+2(n-1)=n(n-1)个交点.6.【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修，他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为【解析】甲、乙共同选修的课程有C种选法，其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用(a,b)表示其余四门课程中甲选a门、乙选b门的情形于是，甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为C3(C4+C3+C2+C2+C2C2+C4)=155.7.【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有种.【答案】42分两类：(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有C2=6种排法.(2)甲、乙不在同一天值班，有C4C¹×3=36种排法.故共有42种方法.8.【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有种.【答案】42【解析】分两类：(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有C²=6种排法.(2)甲、乙不在同一天值班，有CC³×3=36种排法.故共有42种方法.9.【2016年上海预赛】将90000个五位数10000,10001,…,99999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19806倒过来看是90861)有两种不同的读法，会引起混淆。则不会引起混淆的卡片共有张。【答案】88060【解析】0~9这十个数字中，倒过来也能表示数字的有0、1、6、8、9五个.因为第一位不能放0,最后一位也不能放0,所以，这种倒过来也能看的五位数共有4x5x5x5x4=2000个.这2000个五位数中还要除去倒读与正读不会混淆的五位数(如10801,60809).现将五位数的数字分成三组.[第一组]首位与末位一组共有四种：(1,1),(8,8),(6,9),(9,6);[第二组]第二位与第四位一组共有五种：(0,0),(1,1),(8,8),(6,9),(9,6);[第三组]第三位可取0、1、8三种.故倒读与正读一样的五位数有4x5x3=60个从而，不会引起混淆的五位数有90000-(2000-60)=88060(个).10.【2016年上海预赛】红、蓝、绿、白四个色子，每个色子的六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6.同时掷这四个色子使得四个色子朝上的数的乘积等于36,共有种可能.【答案】48【解析】36=6×6×1×1=6×3×2×1=4×3×3×3×2×2.对于上述每一种情形，分别6,4!=24,种可能.综上，共有48种可能.11.【2016年上海预赛】如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间.则他们在不相邻(没有公共边)房间的概率为(用分数表示).【答案】【解析】易知，顶点处的房间各与一间房相邻，在大三角形边上(不过顶点)的房间各与两间房相邻，余下的房间各与三间房相邻.因此，两房相邻的可能数故所求概率为112.【2016年四川预赛】在的展开式中，x³的系数是【答案】180.【解析】因为二项,展开式的通项公式,而对于自然数，令5-r-2r'=3,解得或,所以展开式的系数为4¹C¹×C号+4℃3×C³×(-4)²=13.【2016年辽宁预赛】在(2+√x)²n+1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为【解析】记S=C2n+12+Czn+12³+...以上两式相减得14.【2016年江苏预赛】在8×6的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个2×2的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的.则所有不同的均衡的染法有种.【答案】1896【解析】均衡染法如图.ABCDAAB若第一个2×2的子方格表中四个格分别染A、B、C、D色，则第三列上面两个格只能染A、C色.若第三列第一个格染C色，则第三列第二个格染A色，然后，第三行第二个格只能染B色，第三行第一个格只能染A色，第三行第三个格只能染C色，..…依此类推，在均衡的染法中，每列(或每行)中仅有两色交错出现，且其相邻的两列(或行)中另两色交错出现.当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有C228种染法；当每行中两色交错出现时，类似地，有C226种染法.又重复的情形有A4=24种，故不同的染法数为C22⁸+C2⁶-24=1896.15.【2016年湖南预赛】观察下列等式：由以上等式推测出一般的结论：对于n∈Z+,【答案】24n-1+(-1)”2Zn-1【解析】右边为两项之和，前一项依次为2³,27,211,215,...24n-1后一项为-2,2³,-25,2⁷,…,(-1)"22n-1,16.【2016年湖北预赛】以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有个(注：全等的三角形视为形状相同).【答案】14【解析】正十三边形的顶点将其外接圆分成13等份，设三角形的三个顶点之间(按逆时针方向)所含圆弧的份数分别要考虑形状不同的三角形的个数，只需确定数组(a,b)有多少种可能的取值.为使得到的三角形两两形状不同，可设a≤b≤c.当a=1时，有六种可能的值；因此，以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形个数为6+4+3+1=14.17.【2016年河南预赛】过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°。这样的截面共可作出个。【答案】18【解析】不妨设正四面体ABCD的棱长为1,正△BCD的中心为0.在△BCD内，以0为圆心、为半径作圆.则所求截面与平面BCD的交线为改圆的切线.分三种情形讨论.(1)切线与△BCD的一边平行时，有六个这样的截面；面有六个；(3)过点B作⊙0的切线，与CD交于点E,由△BCE≌△ACE有BE=AE,对应△ABE为等腰三角形，这样的截面有六个.综上，满足条件的截面共有18个.18.【2016年甘肃预赛】如图，a为程序框图中输出的结果.则二项式的展开式中含项的系数x²否【答案】【解析】19.【2015年上海预赛】有十个大小相同的小球，其中五个为红球，五个为白球.现将这十个球排，并从左至右依次编号为1,2,.…,10.则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有 种.【答案】126【解析】首先，编号数总和为1+2+…+10=55.故红球编号之和与白球编号数之和不可能相等.其次，若某个排法使红球的编号数之和大于白球的编号数之和，则对调红球与白球位置即得红球编号数之和小于白球编号数之和的排法，反之亦然.因此，红球编号数之和大于与小于白球编号数之和的排法种数相等.从而，所求的排法种数为20.【2015年安徽预赛】设n为正整数.把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每名选手均【答案】【解析】21.【2015年山东预赛】把1,2…,6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减.则这样的数列共有个.【答案】30【解析】从1,2,…,5中选出一个数排在6的右侧，其余数排在6的左侧，得到先增后减的数列有C1个；从1,2…,5中选出两个数排在6的右侧，其余数排在6的左侧，得到先增后减的数列有C弓个；因此，满足条件的数列总个数