山东省淄博中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）

第第页山东省淄博中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．sin15°A．1+22 B．6−24 【答案】B【解析】【解答】解：sin=3故答案为：B.【分析】15°=60°-45°，根据两角差的正弦公式求解即可.2．已知向量a=−1,1,b=A．13 B．1 C．−13【答案】A【解析】【解答】解：易知ma因为a⊥ma+b故答案为：A.【分析】先求ma3．已知a，b是不共线的向量，且AB=−2a+8b，A．B，C，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．A，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线【答案】C【解析】【解答】解：A、BC⃗=3a→−3b→,CD⃗=a→+5b→，若B，C，D三点共线，则BC→C、易知AC=AB+BC=a+5b，若A，C，D三点共线，则D、易知BD=BC+CD=4a+2故答案为：C.【分析】由题意，根据三点共线的充要条件求解即可.4．下列四种变换方式，其中能将y=sinx的图象变为①向左平移π4个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1②向左平移π8个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1③横坐标缩短为原来的12，再向左平移π④横坐标缩短为原来的12，再向左平移πA．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④【答案】B【解析】【解答】解：①、函数y=sinx的图象向左平移π4再将横坐标缩短为原来的12，得函数y=sin2x+②、函数y=sinx的图象向左平移π8再将横坐标缩短为原来的12，得y=sin2x+③、将函数y=sinx的图象的横坐标缩短为原来的12再向左平移π4个单位长度，得y=sin2④、将函数y=sinx的图象的横坐标缩短为原来的12再向左平移π8个单位长度，得y=sin2故答案为：B.【分析】根据三角函数图象的平移变换、周期变换判断即可.5．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是（）A．AC−AE=C．AD⋅AB=【答案】D【解析】【解答】解：A、AC→−AEB、设AD∩CE=G，如图所示：

易知G是EC的中点，则AC+AEC、因为AB→=-DED、设正六边形的中心为O，则AB+AF=AO，因为AD⃗故答案为：D.【分析】根据平面向量的运算结合正六边形的性质化简判断即可.6．已知sin(α+π4A．210 B．3210 C．2【答案】A【解析】【解答】∵α∈(π4，π2)，∴α+π4∈π2，37．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若DE→⊥AC→，则|A．52 B．23 C．3 【答案】B【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：

设AD=a，则A0,0,C4,a若DE→⊥AC→，则DE→·AC→=0，即8-a2=0，解得a=22，即|AD=22，

8．已知向量m=(−2cosx,1)，n=sinA．函数的最小值为−32 C．函数的最小正周期为2π D．f(x)在−【答案】B【解析】【解答】解：向量m=(−2cosx,1)，n==−2=−=−=−=−=−3A、因为−1≤sin2x+π所以fxB、f−C、fx=−3sin2x+D、当x∈−π2,0时，2x+π所以f(x)在−π故答案为：B.【分析】先根据向量的数量积结合三角恒等变换公式化简求得函数f(x)解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断即可.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．在平面直角坐标系中，已知点O(0,0),OAA．|B．与OB垂直的单位向量的坐标为−1010C．OA在OB方向上的投影向量的坐标为1,D．△AOB是直角三角形【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、OA⃗=(1,2),OB⃗=(3,1)，则ABB、OB=(3,1)，设与OB垂直的单位向量为m则3x+y=0x2+y2则与OB垂直的单位向量的坐标为1010,−3C、OA在OB方向上的投影向量为OA→D、易知OA=12则OA⊥AB，即故答案为：ABD．【分析】先求向量AB→的坐标，再根据向量模的坐标表示求|AB|即可判断A；设与OB垂直的单位向量为m=(x,y)，根据向量垂直的坐标表示求出与OB垂直的单位向量求解即可判断B；根据投影向量的定义计算即可判断C；求出向量OA、10．函数f(x)=AsinA．函数的最小正周期为2B．函数的表达式f(x)=C．fD．函数图象是由y=sin2x图象向左平移【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、易知A=1，T2=2π3B、由T=2πω=π，解得ω=2，且2×π6+φ=π2+2kC、由B可知：fπD、函数y=sin2x的图象向左平移π12故答案为：BD.【分析】由图易知A=1，求得函数的周期，以及ω=2，φ=π11．下列说法中正确的是（）A．向是e1B．cosC．两个非零向量a,b，若|a−bD．若a=(1,2),b=(−1,1)，且a与【答案】B,C【解析】【解答】解：A、向是e1=(2,−3),e2=B、cos42C、若|a−b|=|a|+|b|，则|a−bD、已知a+λb=(1−λ,2+λ)，因为a所以a⋅(a+λb)>0，且a和解得λ>−5且λ≠0，即λ∈(−5,0)∪0，+∞故答案为：BC．【分析】利用向量共线结合向量的基底的定义即可判断A；根据两角和与差的余弦公式求解即可判断B；根据向量的数量积公式，向量的夹角公式求解即可判断C；根据向量夹角为锐角，数量积大于零，且不同向共线求解即可判断D．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知sinα+cosα=75【答案】24【解析】【解答】解：由sinα+cosα=75，可得sinα+cosα2故答案为：2425【分析】将sinα+13．已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD，三个顶点A(4,2),B(2,4),C(1,2).则顶点D的坐标.【答案】2,1【解析】【解答】解：设点D的坐标为(x,y)，则DC=(1−x,2−y)，AB因为AB=2CD，所以AB=2DC，所以(−2,2)=2(1−x,2−y)，即即2−2x=−24−2y=2，解得x=2y=1，则点D的坐标为故答案为：(2,1)．【分析】设点D的坐标为(x,y)，根据向量相等列方程组求解即可.14．将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，若gx=Asinωx+φA>0,ω>0,【答案】12；【解析】【解答】解：由图易知A=3，且g2π3=3sin2π3ω+φk∈Z，①②两式相减得8π3则2π3×12+φ=π2+2kπ，则gx=3sin12x+π6，将gx所有的点向右平移π则f7故答案为：12，3【分析】由图易知A=3、根据图象过特殊点求得ω=12、φ=π6，得到函数四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知α，β均为锐角，tanα=43（1）求cos2α（2）求tanβ【答案】（1）解：α，β均为锐角，tanα=则cos2α=（2）解：因为α，β均为锐角，且cosα+β<0，所以α+β位于第二象限，且由cosα+β=−10则tanβ=【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数基本关系将cos2α转化为用tan（2）根据已知条件，结合同角三角函数基本关系求，求tanα+β的值，再利用tan（1）∵tanα=（2）∵cosα+β<0，且α∴sin则由cosα+β=−10∴tan16．已知a，b（1）若|c|=25，且c（2）若|b|=52，且a+2b与2a【答案】（1）解：设c=(x，y)，∵|c|=2∴x2+y2∴c=(2，4)或（2）解：由已知得∵(a即2a整理得a⋅b=−又θ∈[0，π]，【解析】【分析】(1)首先设出向量的坐标再由向量模以及平行向量坐标公式得到关于x与y的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标。

(2)由数量积垂直的坐标公式结合题意即可得到2×5+3a→⋅b→17．已知|a|=4,|b|=2，且a与（1）|a（2）a与a+（3）若向量2a−λb与λ【答案】（1）解：|a|=4,|b|=2，且a与b夹角为a+（2）解：由（1）知|a+b则cosa,a+b=a⋅a+b（3）解：若向量2a−λb与λa−3即2=λk−λ=−3k，解得λ=±【解析】【分析】（1）由题意，先计算a→⋅b（2）由（1）的结论，结合向量夹角公式求解即可；（3）若向量2a−λb与λa−3（1）因为a⋅所以a+（2）由（1）知|a+b所以cosa,a所以a与a+b的夹角为（3）因为向量2a−λb所以存在实数k使2a所以2=λk−λ=−3k，解得λ=±18．在△ABC中，已知BC=3，AC=4，P在线段BC上，且BP=13BC，AQ=（1）用向量a，b表示AP；（2）若∠ACB=60°，求AP⋅【答案】（1）解：由BP=13BC，可得P为BC靠近B的三等分点，则CP=（2）解：易知CB=a=3，CA=b因为AQ=23则AP⃗【解析】【分析】（1）由BP=13BC，可得P为（2）用a→，b→表示向量（1）由题BP=13BC得（2）已知CB=a=3，CA=由已知得CQ=∴AP19．已知函数f(x)=2sin2ωx+2（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移2π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若g2θ+π3【答案】（1）解：f(x)=2sin因为函数f(x)相邻两对称轴间的距离为π，所以函数fx的周期T=2π，则即fx（2）解：由题意可得：gx因为