2026年高考数学解题思路与经典题目解析

2026年高考数学解题思路与经典题目解析一、函数与导数综合题（4题，每题15分）1.题目：设函数f(x)=x³-3x²+2x+1。(1)求f(x)的极值点；(2)若函数g(x)=f(x)-ax在x=1处取得极小值，求a的值；(3)讨论方程f(x)=kx的解的个数。2.题目：已知函数h(x)=e^x-mx²在(0,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围。3.题目：定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+sinπx，且f(0)=1。(1)求f(2026)的值；(2)讨论f(x)的单调性。4.题目：设函数F(x)=xlnx-∫_0^xf(t)dt，其中f(x)是定义在(0,+∞)上的连续函数，且f(1)=1。(1)求F(x)的单调区间；(2)若F(x)在x=2处取得极小值，求f(x)的表达式。二、三角函数与解三角形（3题，每题15分）1.题目：已知函数f(θ)=2sin(2θ+φ)+1，其中|φ|<π/2。(1)若f(θ)在θ=π/4处取得最小值，求φ的值；(2)若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且f(A)=3，求sinB+sinC的取值范围。2.题目：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²-b²=accosB。(1)求角B的大小；(2)若b=√3，且三角形ABC的面积为√3，求a+c的值。3.题目：已知函数g(x)=sin²x+√3cosx+1。(1)求g(x)的最大值和最小正周期；(2)若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且g(A)=2，求三角形ABC的面积。三、数列与不等式（4题，每题15分）1.题目：设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，前n项和为S_n。(1)若S_3=9，求d；(2)若对于任意n∈N，都有a_n≤3，求d的取值范围。2.题目：设数列{b_n}满足b_1=2，b_(n+1)=b_n+(n+1)lnb_n。(1)求数列{b_n}的通项公式；(2)求证：对于任意k∈N，都有b_k>k²。3.题目：已知函数f(x)=x²-2ax+3在(1,+∞)上单调递增，数列{c_n}满足c_1=1，c_(n+1)=f(c_n)。(1)求a的取值范围；(2)求证：数列{c_n}有界。4.题目：设不等式x²-2xsinα+sin²α+1>0在实数x上恒成立，其中α为锐角。(1)求sinα的取值范围；(2)若数列{a_n}满足a_n=sin^(n-1)α，求S_n=∑_(k=1)^na_k的取值范围。四、立体几何与空间向量（3题，每题15分）1.题目：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E为PC的中点。(1)求证：BD⊥平面PAE；(2)求二面角A-PC-D的余弦值。2.题目：已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2，D为AC的中点。(1)求证：BD⊥A₁C；(2)求三棱锥D-ABB₁的体积。3.题目：在空间直角坐标系中，点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(-1,-1,-1)。(1)求向量AB和AC的夹角；(2)若点P(x,y,z)在平面ABC上，且向量AP与向量AD垂直，求点P的轨迹方程。五、解析几何（4题，每题15分）1.题目：已知椭圆C：x²/9+y²/4=1的离心率为√5/3，焦点为F₁、F₂，点P在C上。(1)求F₁F₂的长度；(2)若|PF₁|+|PF₂|=6，求点P的坐标。2.题目：已知双曲线C：x²/4-y²/9=1的焦点为F₁、F₂，点P在C上，且∠F₁PF₂=90°。(1)求PF₁·PF₂的值；(2)求三角形F₁PF₂的面积。3.题目：已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，点A在C上，点B在l上，且AB⊥l，垂足为H。(1)求AH的长度；(2)若点P在C上，且△APF的面积为4，求点P的坐标。4.题目：已知动圆C过定点F(1,0)，且与直线l：x=-1相切。(1)求圆C的圆心轨迹方程；(2)若圆C与直线y=kx相交于A、B两点，且|AB|=2√2，求k的值。答案与解析一、函数与导数综合题1.解析：(1)f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3。当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时，f'(x)<0；当x∈(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)时，f'(x)>0。故极小值点为x=1+√3/3，极大值点为x=1-√3/3。(2)g'(x)=f'(x)-a，g'(1)=0⇒3-6+2-a=0⇒a=-1。(3)令h(x)=f(x)-kx，h'(x)=3x²-6x+2-k。当k≤2时，h'(x)≥0，h(x)单调递增，有1解；当2<k≤5时，h(x)在x=1±√(k-2)/3处有极值，结合图像有3解；当k>5时，h'(x)<0，h(x)单调递减，有1解。2.解析：h'(x)=e^x-2mx≥0⇒m≤e^x/(2x)。令f(x)=e^x/(2x)，f'(x)=(x-1)e^x/(2x²)，f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增，f(x)min=f(1)=e/2⇒m≤e/2。3.解析：(1)f(x+1)-f(x)=sinπx⇒f(2026)=f(0)+∑_(k=0)^2025sinπ(k+1)=1+(-1)^(2026)=2。(2)f'(x)=sinπx，当x∈[k,k+1/2)时，f'(x)≥0，单调递增；当x∈[k+1/2,k+1)时，f'(x)≤0，单调递减。4.解析：(1)F'(x)=lnx+1-f(x)，令g(x)=lnx+1-f(x)，g'(x)=1/x-f'(x)。由f(1)=1，F'(1)=0⇒lnx+1-f(x)|_(x=1)=0⇒f(1)=1。假设f'(x)≥1/x，则F'(x)≤0，矛盾；假设f'(x)≤1/x，则F'(x)≥0，矛盾。故f'(x)=1/x，F'(x)≥0，单调递增。同理可证F'(x)≤0，单调递减。综上，F(x)在(0,1)单调递增，(1,+∞)单调递减。(2)F'(2)=ln2+1-f(2)=0⇒f(2)=ln2+1。由f(1)=1，f'(x)=1/x⇒f(x)=lnx。验证满足条件。二、三角函数与解三角形1.解析：(1)f(π/4)=2sin(π/2+φ)+1=2cosφ+1=-1⇒cosφ=-1⇒φ=3π/2。(2)sinA=1⇒a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc⇒sinB+sinC=sinA+sinC=1+sinC≤√2。2.解析：(1)a²-b²=accosB⇒sin²A-sin²B=sinAsinBcosB⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B。由于A、B为锐角，2A=2B⇒A=B=π/4。(2)S=1/2bcsinA=√3⇒bc=2√6。由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=2bc(1-1/2)=bc=2√6⇒a=√6。a+c=√6+√(2√6/√3)=√6+√2。3.解析：(1)g(x)=1+√3cosx+1-cos²x=2-cos²x+√3cosx=-(cosx-√3/2)²+7/4。最大值为7/4，T=π。(2)g(A)=2⇒sin²A+√3cosA=1⇒1-cos²A+√3cosA=1⇒cosA(√3-cosA)=0。由于A为锐角，cosA≠0⇒cosA=√3/2⇒A=π/6。S=1/2bcsinA=1/2bc(1/2)=√3/4bc。由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)²-3bc=bc⇒bc=(b+c)²/4≥√3bc⇒b+c≤2√3。S≤√3/4×4/3=√3/3。三、数列与不等式1.解析：(1)S_3=3a₁+3d=9⇒a₁+d=3。(2)a_n=a₁+(n-1)d≤3⇒(n-1)d≤3-a₁≤3-1=2⇒d≤2/(n-1)。当n=2时，d≤2；当n≥3时，d≤2/2=1。综上，d≤1。2.解析：(1)b_(n+1)-b_n=n+1lnb_n⇒b_n-b_(n-1)=nlnb_(n-1)⇒∑_(k=2)^n(b_k-b_(k-1))=∑_(k=2)^nklnb_(k-1)⇒b_n-2=lnb_1+∑_(k=2)^nklnb_(k-1)⇒b_n=lnb_1+2+∑_(k=2)^nklnb_(k-1)。由于b_1=2，lnb_1=ln2，递推可得b_n=2+nln2。(2)b_k-k²=2+nln2-k²=nln2+2-k²>0⇒nln2>k²-2。当k=1时，nln2>-1；当k=2时，nln2>2；当k≥3时，nln2>k²-2。取n=1时，nln2=ln2>2-2=0，成立。3.解析：(1)f'(x)=2x-2a≥0⇒x≥a。数列单调递增，c_n单调递增。当n→+∞时，c_n→+∞，若数列有界，则a≤1。(2)c_2=f(c_1)=c_1²-2ac_1+3=1-2a+3=4-2a。若数列有界，则|c_2|≤M对任意n成立。取n=1，|4-2a|≤M⇒a∈[1-M,2+M]。结合a≤1，得a∈[1-M,1]。4.解析：(1)x²-2xsinα+sin²α+1=(x-sinα)²≥0⇒sinα=1⇒α=π/2。但α为锐角，故sinα<1。(2)Δ=4sin²α-4(sin²α+1)=-4<0，不等式恒成立。由a_n=sin^(n-1)α，S_n=∑_(k=1)^nsin^(k-1)α=(1-sinⁿα)/(1-sinα)∈(0,1]。四、立体几何与空间向量1.解析：(1)取BD中点O，连接PO、EO。由于PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，故BD⊥PA。又AC∩BD=D，AC⊥BD，故BD⊥平面PAC。由BD⊥PA，BD⊥AC，得BD⊥平面PAE。(2)以D为原点，建立空间直角坐标系。P(0,0,2)，E(1,0,1)，B(1,1,0)，C(1,-1,0)。∠A-PC-D的平面角为∠PEB。cos∠PEB=|(1,1,-1)|/√3√2=√6/6。2.解析：(1)取BB₁中点M，连接DM、AM。由于AA₁⊥平面ABC，DM⊥BC。又AB⊥BC，AB∩DM=M，故BC⊥平面ABM。由A₁C∩平面ABM=A₁C，得BC⊥A₁C。(2)V=1/3×S△ABB₁×AA₁=1/3×1/2×2×2×2=4/3。3.解析：(1)cos<AB,AC>=|(1,1,0)·(0,1,1)|/√2√2=1/2⇒<AB,AC>=π/3。(2)AP垂直于平面ABC⇒AP垂直于AB和AC⇒(x-1,y,z)·(1,1,0)=0，(x-1,y,z)·(0,1,1)=0⇒x+y=1，x+z=1⇒x=1-y=1-z⇒y=z。轨迹方程为x=1-y，z=y。五、解析几何1.解析：(1)c=√5，e=c/a=√5/3⇒a=3，b²=9-4=5。F₁F₂=2c=2√5。(2)由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a=6⇒a²=9。设P(x,y)，由余弦定理cos∠F₁PF₂=(PF₁²+PF₂²-F₁F₂²)/(2PF₁PF₂)=0⇒PF₁²=PF₂²⇒P在短轴上。联立x²/9+y²/5=1，x²+y²=5⇒x²=9/8，y²=15/8⇒P(±3√2/4