2023-2024学年人教版数学八年级上册期末专项压轴题复习：证明题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023—2024学年人教版数学八年级上册期末专项压轴题复习：证明题1．如图1，点A在y轴正半轴上，点B在负半轴上，点C和点D分别在第四象限和第一象限，，，，点D的坐标为．

(1)求证：；(2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且，直线交于点N，交的延长线于点M，判断，，的数量关系并证明．2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．3．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．4．如图1，在平面直角坐标系中，、、，，．（1）求证：；（2）求四边形的面积；（3）如图2，为的邻补角的平分线上的一点，且，交于点，求的长．5．已知是等边三角形，点，分别在直线，上．（1）如图1，当时，连接与交于点，则线段与的数量关系是______；的度数是______．（2）如图2，若“”不变，与的延长线交于点，那么（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，若，连接与边交于点，求证：点是的中点．6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．7．如图，在中，是边上一点，平分交于点，且．（1）求证：；（2）过点作于点，若．①求证：；②请直接写出、、满足的数量关系，不必说明理由．8．已知△ABC为等边三角形．

（1）如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：CE∥AB．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，以AD为边作等边三角形ADE，求证：无论点D的位置如何变化，△ADE的内角平分线的交点P始终在∠B的角平分线上．（3）如图3，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F试判断线段BF，AF，DF之间存在何种数量关系，并证明你的结论．9．在中，，点D是直线上一点(不与B、C重合)，以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点D在线段上，如果，则______．(2)设，．①如图2，当点D在线段上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．10．如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，．

(1)当点D在延长线上，连接，求证．(2)如图2，在（1）问的条件下，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．(3)如图3，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．11．如图，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点；

(1)如图1，，求证：；(2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长；(3)如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当H在上移动，点G在上移动时，始终满足、，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．12．如图1，已知，，且的值为0．(1)求A，B的坐标；(2)若C点与B点关于y轴对称，M点在二象限，且，若，请判定与的关系，并证明．(3)如图2，若C点与B点关于y轴对称，点G在二象限，作且，连接BE，点F为的中点，请判定与的位置关系，并证明．13．如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．

(1)当点在线段上（不与点，点重合），求证：；(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；(3)如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．14．【模型建立】（1）如图1，在与中，，，，求证：；【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，①求的大小；②，求的面积；【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．

15．在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出°；②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程．（2）如图2，若，求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）证明：设交于，交于，如图：

，，，在和中，，，，，，；（2）解：结论：，理由如下：过点作轴交的延长线于，如图，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．2．】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．（3）DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．3．（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNC中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），∴∠DAM＝∠BCD，∵∠DAM+∠DAB＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°；（2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，∵DA＝DC，∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBM＝∠DBN＝45°，∵∠M＝∠DNB＝90°，∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，∴DN＝BN，DM＝BM，∵DM＝DN，∴MB＝BN＝DN，设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b，∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，∴a+b＝3a﹣b，∴b＝a，∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，∴S△BCD＝BC•DN＝•3a•2a＝27，解得，a＝b＝3，∴AB＝3；（3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．∵∠AKB＝∠CKE，∴∠BAE＝∠BCE，在△AGE和△CHE中，，∴△AGE≌△CHE（AAS），∴AG＝CH，EG＝EH，∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，∴BH＝EH＝BG＝EG，设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k，∵AG＝CH，∴3+k＝9﹣k，解得，k＝3，∴EH＝BH＝3，∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴HE＝FH＝3，∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，∴△EFC的面积＝×CF×EH＝×3×3＝．4．解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°．∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°．∴∠BAD=90°．∴∠BAC+∠CAD=90°．∠BAC+∠ABO=90°．∴∠ABO=∠CAD．（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G．∵、、，∴∴∠BCO=45°．又∵BC⊥CD，∴∠BCO=∠DCO=45°．又∵AF⊥BC，AE⊥CD，∴AF=AE，∠FAE=90°．∴∠BAF=∠DAE，∴△ABF≌△ADE．∴AB=AD．又∵∠AGD=∠BOA=90°，∠ABO=∠CAD，∴△ABO≌△DAG．∴而∴（3）如图3，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH=EG．又∵∠BCO=∠BEO=45°，

∴∠EBC=∠EOC．∴△EBH≌△EOG．∴EB=EO．又∵∠BEO=45°，∴∠EBO=∠EOB=67.5°．∵∠OBC=45°，∴∠BOE=∠BFO=67.5°．∴BF=BO=6．5．解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∴又BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，又∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，∴∠APE=∠PAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=60°．故答案为：AD=BE；∠APE=60°．（2）结论：“AD=BE，∠APE=60°”仍然成立．理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠BCE=120°，又BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，又，∴（3）证明：∵△ABC是等边三角形，如图3，过点E作交AB边于点F．∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∠EFM=∠DBM，∠EMF=∠DMB，∴△MEF≌△MDB（AAS），∴EM=DM，即点M是DE的中点．6．解：（1）∵点A的坐标是，点B的坐标是，∴OA=OB，∵，∴∠ADB=∠AOB=90°，∵∠DEB=∠AEO，∴∠OBC=∠OAE，在△BOC和△AOE中，,∴，故答案为：△AOE．（2）由（1）可知，∠OBC=∠OAE，OA=OB，∵，，∴∠OMA=∠ONB=90°，在△BON和△AOM中，,∴，∴ON=OM,∴DO平分∠ADC．（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，可得，∠FHB=90°，∵，∴∠CBF=90°，∠CBO+∠FBG=90°，∠HFB+∠FBG=90°，∴∠CBO=∠HFB，在△BOC和△FHB中，,∴，∴FH=OB=OA，HB=OC，在△AOG和△FHG中，，∴，∴OG=GH=，OH=，OC=BH=OB-OH=5-=．7．解：（1）证明：平分，．，，，．，．（2）①证明：，于点，．，，，，．，，，．，．②．理由如下：由①可知．，．，，，即．8．解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD=∠ACE=60°，∴∠BAC=∠ACE，∴CE∥AB；（2）如图2，过点P作PM⊥AB，交BA延长线于点M，作PN⊥BD于N，

∵AP，DP是等边△ADE的内角平分线，∴∠PAD=∠PAE=∠PDA=30°，∴AP=PD，∵∠DAM=∠ABC+∠ADB=60°+∠ADB，∴∠PAM=∠DAM-∠PAD=30°+∠ADB，∵∠PDN=∠BDA+∠ADP=∠BDA+30°，∴∠PAM=∠PDN，且PA=PD，∠PMB=∠PND=90°，∴△PAM≌△PDN（AAS）∴PM=PN，且PM⊥AB，PN⊥BD，∴点P在∠ABC的角平分线上，∴无论点D的位置如何变化，△ADE的内角平分线的交点P始终在∠ABC的角平分线上；（3）BF=DF+AF，理由如下：如图3，作∠BAH=45°，交BD于点H，

∵△ABC是等边三角形，△ACD是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AC，∠BAC=60°，∠CAD=90°，∴AB=AD，∠BAD=150°，∴∠ABD=∠ADB=15°，∴∠AHF=60°，∵△ACD是等腰直角三角形，点E是CD中点，∴AE=CE=DE，∠DAE=∠CAE=45°，∴∠AFH=60°，∴∠AHF=∠AFH，∴△AFH是等边三角形，∴AF=AH=HF，∵AB=AD，∠ABD=∠ADB，∠BAH=∠DAF=45°，∴△ABH≌△ADF（ASA）∴BH=DF，∴BF=BH+HF=DF+AF．9．（1）∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）①，理由：∵，∴．即．在与中，，∴，∴．∴．∵，，∴，∵，∴．②当点D在点B、C之间时，由①知，；如图1：当点D在点C右侧时，，理由：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，如图2：当点D在点B左侧时，，理由：∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．∴．综上所述：点D在直线上移动，或．10．（1）证明：，，，在与中，，，；（2）解：如图2，过E作交延长线于M，

由（1）知，，，，，，，，，，在与中，，，，，，，，，在和中，，，，即点是的中点，，；（3）解：如图3，过G作交延长线于点N，

，，，又，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．11．（1）证明：∵，∴∵平分，∴，又∵，∴，∴；（2）解：如图1，过作于，

∵，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴的长为8；（3）解：，证明如下：如图2，在的延长线上取点，使，

∵平分，，，∴，∵，，，∴，∴，，∵、，∴，，