【13】2025届松江区高三一模参考答案

松江区2024学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学答案填空题1．2．3．4．5．6．7．658．或9．10．11．12．选择题：DCCA解答题17．解：（1）由频率分布表得，即，-----2分因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以-----4分等级系数为5的恰有2件，所以，从而所以-----6分（2）从日用品中任取两件，所有可能的结果为：，这个样本空间一共有10个样本点．-----10分设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则事件A包含以下样本点：事件A有4个样本点，-----12分故所求的概率-----14分18．解：(1)解法1：取的中点，连接，．因为分别为的中点，所以．---------2分又因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以．-------4分又因为不在平面上，平面，所以平面．---------6分解法2：取的中点，连接，由条件得，且，故四边形为平行四边形，----------2分则，故.同理，，故，-------4分而，且，所以，且，故.---------6分解法3：因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系．则，---------2分设平面的一个法向量为，因为，则，即，不妨设，则，所以，---------4分因为，，而，所以.---------6分（2）因为平面，平面，所以平面平面．----------8分过点作，垂足为，连接，因为平面平面，平面平面，所以平面，故直线在平面上的射影为，所以即为直线和平面所成角．---------12分不妨设，则，因为，所以，又因为，在直角三角形中，，故直线和平面所成角的正弦值是.----------14分另解：因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，，则．-------8分设平面的一个法向量为，因为，所以，不妨设，则，所以．-----------12分因为，所以．---------14分19．（1）设与相交于点，则，，---------2分则，，故.---------6分（2）过点作于点，则，而，则三角形区域面积为，---------8分设，因为，所以，故，而，---------10分则，故当时，取得最大值，，故三角形区域面积的最大值为---------14分20．解：（1）根据题意，双曲线，因为，解得，所以双曲线的方程为．---------4分设，，，又，，则，---------6分得，分别将点，的坐标代入曲线方程，则，解得或，---------8分故所求点的坐标为．---------10分假设存在实数，使得，设直线的方程为，，，，，由，得，---------12分因为、分别在双曲线的左右两支上，则，解得或．又，---------14分所以故存在实数，使得．---------18分21．解：（1）法一：，在上处处相依,则对于，存在，使得在处的切线l与直线AB平行，即.则在上有零点.---------4分法二：,有，连续，所以在上有零点.

法三：,由求根公式得，所以在上有零点.---------4分

（2）解法1：，由于在上处处相依，则存在，使得，即在上恒成立，即在上恒成立，---------6分整理得在上恒成立，函数在上的最大值为，故.---------10分解法2：由于，则变形为，令，则条件等价为函数在上是减函数.---------6分由于则在上恒成立，整理得在上恒成立，函数在上的最大值为，故.---------10分（3）当时，，，则在上单调递减，在上单调递增，且.---------12分则由题意有，令，则，则；---------14分要证，即证，因为，所以，即证