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2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学参考答案 2024.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．2.03.54.5.16.充要7.518.9.10.11.12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.C14.B15.B16.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由的最小正周期为可知：，．（2）由（1）可得：，，．解得或．，．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1），，为棱的中点，且，四边形是平行四边形.，又不在平面上，由线面平行的判定定理知，平面.（2）即，

且异面直线与所成的角为，即，

又，平面，平面．又，由三垂线定理，.

因此是二面角的平面角，．．

不妨设，则.

以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则，

设平面的一个法向量为，

则可得：

令，则.

设直线与平面所成角为，

则.法二：过作，交的延长线于，连接.由（1）知：，，，即，又，平面，平面．平面，，又是在平面上的射影，由三垂线定理知，，又，平面．再过作，交于，平面，平面，，又，平面，即为直线与平面的所成角.，平面．由三垂线定理，.

因此是二面角的平面角，．设，则，，四边形为正方形，.，，，直线与平面所成角的正弦值为.19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，则.（1）应聘者选方案一考试通过的概率

.应聘者选方案二考试通过的概率

.（2）因为,所以

故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，

所以设双曲线方程为，又双曲线过点，

则，所以双曲线的方程为，即.

（2）由（1）可知，的斜率存在且不为0，设的方程为，联立，消去得，设，由题意得，则，所以所以，得证．

（3），恒成立，，所以圆心到的距离，半径，设所对圆心角为，则，，所以，即所对圆心角的大小为定值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1），是函数的“类数”；，，不是函数的“类数”.（2）因为函数的“类集”为集合，且，

所以存在，使得且，

若，则，所以，

因为函数的图像是连续不断的，

不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，

所以存在零点，即.（3），.先证明：

因为函数的“类集”为，

所以对任意，

令，则，

因为函数的值域为，

所以当时，必有，

即对于恒成立，

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