【16】2025届长宁区高三一模参考答案

ADDINCNKISM.UserStyle2024学年第一学期高三数学教学质量调研试卷填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.9；11.；12.；二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A14.D15.A16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.（1）由正弦定理可得…………2分因为，所以…………2分所以………………2分（2）所以………………2分由余弦定理，得……………2分即，解得，所以是等边三角形……………4分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.（1）因为是正方形，所以，,因为底面，所以是在平面上的投影,所以……2分由，，底面，可得，，所以，即有……………………2分因为,所以所以平面.……………………2分（2）设点到平面的距离为,……………2分所以………………4分得直线与平面所成角的正弦值……2分方法2：（建系）以为原点，射线、、为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.可得、、则，，……2分从而可知平面的一个法向量为……………2分所以直线与平面所成角的正弦值…………………4分19．本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分4分，第2小题第②问满分6分）.（1）解得：……………2分所以所抽取的“青年人”人数为80………2分先将10名参会者进行编号：1、2、……10，并将10个号码写在完全相同的纸片上，放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人。……………4分（知道要编码2分，充分混合均匀随机抽2张或者依次抽两张2分）（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为所以10人中“中年人”共有5人，2人均为“中年人”的概率,2人中至少有1人为男性的概率………2分2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率…………2分因为,所以事件A与事件B不独立.……………2分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）椭圆方程为…………………2分所以……………2分（2）①，直线的解析式为………2分因为的面积为3，所以边上的高为过做的平行线，则直线的解析式为……………2分联立方程组，解得：，所以点的坐标为，……………2分（3）①若或垂直于轴，则………1分②若和不垂直于轴，设直线的解析式为，点，联立方程组，得从而，…………………4分同理因为，所以……3分综上，的取值范围是21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）令，解得…………2分当时，所以函数的单调增区间是………………2分（2）令，，所以在上是严格增函数，得，当时，……………………2分时，严格增，，舍去，…………………2分时，，所……………2分（3）①证明令，所以在上单调增，则………2分②证明令，，，令，为偶函数令则当时，所以，从而单调增又，所以时，；时，所以在单调减，在单调增，从而即有…………………4分③再证明对任意的，都存在，使得令，，，令，为偶函数令则当时，，所以单调增由于，所以，(由于是偶函数，以下只考虑时)所以存在，使得从而当时，；时，所以时，单调减；时，单调增；又，时，，所以存在，使得即有当时，；时，所以时，单调减；时，单调增；又，时，，所以存在，使得，则，当