2025届上海市普陀区高三一模数学试卷 答案

普陀区2024学年第一学期高三数学质量调研2024.12考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．设全集，若集合，则.2.若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________.3.设为虚数单位，若复数满足，则.4.若，则的值为________.5.设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为.第9题图6.设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为________.第9题图7.设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为_______.8.若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为_______.9.设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为______.10.设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________.11.设，直线与曲线（）和曲线分别交于、两点，则的最大值是________.12.设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是_.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.设，则“”是“”的………（）充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分又非必要条件14.某机构对年至年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），第14题图则下列结论中正确的是………（）第14题图这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为这十年中国新能源汽车年销售量的极差为这十年中国新能源汽车年销售量的第百分位数为这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差15.设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是………（）当时，的取值范围是不存在和的值，使得当时，的取值范围是存在和的值，使得16.在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.对于命题：①设，若函数为“函数”，则；②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有个.则下列结论中正确的是……………（）①为真②为真①为真②为假①为假②为真①为假②为假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分图所示的平行四边形中，，，现将沿折起，得到如图所示的三棱锥，记棱的中点为，且.（1）求证：；第17题图2（2）记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小.第17题图2第17题第17题图118.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数的表达式为，其中.（1）设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围；（2）若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况.比赛的次数获胜的次数（1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率；（2）根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点.（1）若点是上的一点，，求的值；（2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标；（3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”.（1）设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值；（2）设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小.普陀区2024学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题123456789101112二、选择题13141516三、解答题17.（1）由平行四边形，，得，，，即，则，，在三棱锥中，，由得，，即，则垂直于平面内的两条相交直线，故平面，………4分又平面，则，又，即垂直于平面内的两条相交直线，平面，则.………6分（2）在直线上作出，连接、，即得所作.………………3分因为、分别是棱与棱的中点，所以，又在平面外，且平面，则平面.………………5分连接、，连接、，此时四边形为正方形，即，在（1）中已证得平面，则由三垂线定理得，，即是二面角的平面角，………………6分在中，，则，故二面角的大小为.………………8分18.（1）由条件得，，由得，，………………2分要使得函数在区间仅有一个唯一的最小值，则，………………4分即.………………6分（2）对任意的，皆有成立，则点是函数图像的对称中心，………………2分即，则，其中是整数，即，………………4分又函数区间上是严格增函数，则，………6分即，又，其中是整数，则，则所求函数的最小正周期为.………………8分19.（1）由热身赛统计情况，估计与，与，与比赛时获胜的概率分别记为、、，依据表格中的数据得，，，，………………3分记“在区内决赛中至少获胜一场”为事件，则.则估计在区内决赛中至少获胜一场的概率为.………………6分（2）若在第二位出场，即出场顺序为或，则在这三场比赛中连胜两场的概率为：或，………2分若在第二位出场，即出场顺序为或，则在这三场比赛中连胜两场的概率为：或，………4分若在第二位出场，即出场顺序为或，则在这三场比赛中连胜两场的概率为：或，………6分则当、、三人的出场顺序为或时，在这三场比赛中连胜两场的概率最大.………………8分20.（1）由直线经过右焦点得，点的坐标为，则，……2分由双曲线的定义得，，则.…………4分（2）设，，，由得，，则，，……3分由于、两点在双曲线的右支，且，根据双曲线的性质可得，，即，由，得，四边形为平行四边形，则，即，即，…………6分则，即，即，则，则所求的点的坐标为.……8分（3）因为，所以由（2）得，由得，，又由（2）得，，则，……3分由双曲线的性质得，点与点关于原点对称，则，即，即，……6分令，又，则，则，令，则，当时，，则函数在区间内为严格减函数，即，则.……8分21.解：（1）由数列具有性质“”得，，……2分即，又，则或.………4分（2）假设存在满足条件的，使得数列具有性质“”，则对，恒成立，……………2分即，对，恒成立，……………4分则，即，则存在，使得数列具有性质“”.……………6分（3）由得，，即，先证