六年级数学下册：双未知数应用题的方程解法探究

六年级数学下册：双未知数应用题的方程解法探究一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数量关系”主题。其核心在于引导学生在解决含有两个未知数的实际问题时，从算术思维向代数思维进行关键跨越。从知识图谱看，学生已掌握用方程解含一个未知数的应用题，本节课需在此基础上，构建“寻找多个等量关系→合理设未知数→列出方程（组）→求解并检验”的完整认知链条，这既是前期知识的综合应用，也为后续学习更复杂的代数系统奠定基础。过程方法上，本节课是数学建模思想的典型载体：学生需经历从现实问题中抽象出数学关系（等量关系），并用符号（方程）予以表达的完整过程。素养层面，它深度指向“模型意识”与“抽象能力”的发展，引导学生体验用统一、简洁的代数模型刻画多样现实世界的威力，培养其逻辑推理和数学应用的信心。  学情研判需立体化。学生已有基础是熟练解单未知数方程并具备初步的等量关系寻找能力。核心障碍可能有两处：一是面对两个未知量时，如何突破“必须直接求解”的思维定势，转向“通过设元建立关联”的代数思维；二是在复杂情境中准确识别并利用两个独立的等量关系。教学对策上，需设计阶梯性任务，从“和倍/差倍”这类关系显性的问题入手，逐步过渡到关系隐含的实际情境。通过“设哪个量为x？另一个量如何表示？”的连环追问，搭建思维脚手架。对于理解较快的学生，可引导其尝试“设而不求”或比较不同设元策略的优劣；对于存在困难的学生，则需借助线段图、列表等直观工具，辅助其厘清数量关系，实现差异化支持。二、教学目标  知识目标：学生能理解并掌握用方程解决含有两个未知数应用题的一般步骤，核心在于能根据问题中的关键句，准确找出两个独立的等量关系，并学会用含有字母x的式子表示另一个未知数，从而列出方程并求解。达成理解与应用层级。  能力目标：聚焦数学建模与逻辑推理能力。学生能够从现实生活情境中抽象出数量关系，构建方程模型；在解题过程中，能清晰、有条理地表达自己的设元思路和等量关系依据，并能对解的合理性进行检验和解释。  情感态度与价值观目标：通过解决具有挑战性的实际问题，学生能体验代数方法相对于算术方法的优越性与普适性，克服对复杂应用题的畏难情绪，在小组合作探究中乐于分享思路，倾听他人见解，增强运用数学解决现实问题的自信与兴趣。  科学（学科）思维目标：重点发展符号化思想与模型化思维。通过“如何用一个未知数表示另一个？”这一核心任务驱动，引导学生完成从具体数量到抽象符号的思维跃迁，并经历完整的“实际问题→数学模型→求解验证→回归实际”的数学建模过程。  评价与元认知目标：引导学生建立解题后的反思习惯。能够依据“等量关系找得准不准、未知数设得巧不巧、方程列得对不对、解是否符合实际”等标准，评价自己或同伴的解题过程。学会比较不同设元策略的繁简，优化自己的解题思路。三、教学重点与难点  教学重点：寻找问题中的两个等量关系，并掌握用一个未知数表示另一个未知数，从而列出单一方程的方法。其确立依据在于，这是将二元问题化归为一元问题的核心桥梁，是代数思维在此类问题上的关键体现。从考评角度看，无论是学业水平测试还是小升初衔接，准确识别等量关系和合理设元都是考查学生模型建构能力的高频考点与能力立意的集中体现。  教学难点：在较为复杂的现实情境中，从纷杂信息中准确抽象出两个独立且有效的等量关系。难点成因在于，学生需要克服信息干扰，进行深度阅读理解与数学抽象，这对他们的分析综合能力提出了较高要求。预设依据来源于常见错误分析：学生往往找到的是重复的或无效的关系，导致方程无法列出或列错。突破方向在于强化审题训练，指导圈画关键词句，并利用图表将文字关系可视化。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：多媒体课件（内含问题情境动画、分步解析图示）、实物投影仪。  1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含探究引导、分层练习题）、小组讨论记录卡、标准答题格式示范贴。2.学生准备  复习用方程解单未知数应用题的步骤，携带铅笔、直尺等作图工具。3.环境布置  课堂桌椅按4人异质小组摆放，便于合作探究；黑板预先划分出“核心步骤区”、“范例展示区”和“学生生成区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与认知冲突：“同学们，学校马上要开运动会了，体育老师遇到了一个采购难题：需要购买一批篮球和排球，一共花了960元。已知篮球的单价比排球贵40元，买的篮球数量是排球的2倍。这可怎么算每种球花了多少钱呢？”大家先别急着算，我想请一位同学说说，如果只用我们以前学过的算术方法，你的第一感觉是什么？（预计学生感到复杂、无从下手）。对，信息多，关系绕，直接算有点头疼。  1.1问题提出与路径明晰：“当我们面对这种涉及两个未知量，且它们之间又存在关联的复杂问题时，方程，这个我们熟悉的老朋友，就能展现出强大的威力。今天，我们就一起来攻克‘如何用方程解含有两个未知数的应用题’这个堡垒。我们的探索路线是：先从简单的‘和倍’问题找感觉，再挑战更复杂的‘综合’问题，最后总结出一套通用的‘作战方案’。”第二、新授环节任务一：唤醒旧知，初探双未知量教师活动：出示基础题：“果园里有桃树和梨树共120棵，桃树棵数是梨树的2倍。两种树各有多少棵？”首先引导学生用过去熟悉的算术法（和倍问题公式）快速口答。接着提问：“谁能用方程来解决它？我们之前列方程通常设一个未知数，这里有两个未知量，设谁为x呢？”让学生自由发表意见。根据学生回答，板书两种设法：①设梨树为x棵，则桃树为2x棵；②设桃树为x棵，则梨树为(x÷2)棵。紧接着追问：“大家比较一下，哪种设法在表示另一个量和列方程时更简便？为什么？”引导学生发现，选择一倍量设为x，表达关系更直接、更不易出错。学生活动：快速口算得出答案。积极思考并尝试用方程解决，可能提出不同的设未知数方案。通过对比讨论，认同将“一倍量”（梨树棵数）设为x更为简便，并据此列出方程x+2x=120，并求解。即时评价标准：1.能否快速识别出题目中的“和”与“倍”这两个基本等量关系。2.提出的设未知数方案是否合理，能否用含x的式子表示另一个量。3.能否清晰说明选择某种设法的理由（基于表达简便性）。形成知识、思维、方法清单：  ★核心策略一：合理设元。当两个未知量存在倍数关系时，通常设其中的“一倍量”或“较小量”为x，则另一个量可方便地用kx（k为倍数）表示。这叫“大家好，我们设谁为x，能让后续的表达最轻松？”  ▲等量关系识别。本题包含两个基本关系：①桃树棵数+梨树棵数=总棵数（和的关系）；②桃树棵数=梨树棵数×2（倍的关系）。列方程时，通常用一个关系来“设”和“表示”，用另一个关系来“列”方程。  ★步骤回顾。解此类方程应用题的步骤依然是：审题→设未知数→用含x的式子表示其他量→找等量关系列方程→解方程→检验作答。任务二：策略深化，处理差倍与和差教师活动：出示变式题1（差倍）：“篮球比足球多15个，篮球个数是足球的4倍。求各有多少个？”提问：“这题和上一题有什么异同？你打算怎么设未知数？”引导学生迁移方法。接着出示变式题2（和差）：“甲乙两班共有98人，甲班比乙班多6人。求两班人数。”提出挑战：“这里没有直接的倍数关系了，两个未知量怎么设？另一个量怎么表示？”组织小组讨论。巡视并点拨：“甲班比乙班多6人，这句话除了告诉我们差是6，还能告诉我们两个量之间的什么关系？”引导得出：设乙班为x人，则甲班为(x+6)人。学生活动：独立完成差倍问题的设元与列方程。针对和差问题，开展小组讨论，尝试提出设元方案。可能出现的思路有：设乙班为x，甲班为x+6；或设甲班为x，乙班为x6。通过讨论理解，两种设法均可，关键在于表示另一个量时需准确依据“多6”或“少6”的关系。即时评价标准：1.能否将“合理设元”的策略从“和倍”迁移到“差倍”问题。2.在无倍数关系时，能否利用“和”或“差”的关系，用含x的式子准确表示另一个未知量。3.小组讨论时，能否倾听并评价同伴的设元方案。形成知识、思维、方法清单：  ★核心策略延伸。当两个未知量存在“和”、“差”、“倍”关系时，都可以直接利用这些关系来设元和表示。设较小的量为x通常是稳妥的选择。  ▲用代数式表示数量。这是代数思维的核心环节。如“甲比乙多6”，若设乙为x，则甲为x+6；若设甲为x，则乙为x6。要仔细区分“谁比谁多”，确保表达式子正确。  ★审题关键词。圈出“共”、“和”、“是…倍”、“比…多/少”等关键词，它们是寻找等量关系和表达数量关系的“路标”。任务三：模型建构，解决综合实际问题教师活动：回到导入的“运动会采购”问题，将其完整呈现并细化数据：“篮球单价比排球贵40元，学校买了3个篮球和5个排球，一共花了960元。篮球和排球的单价各是多少元？”提问：“现在未知量是什么？（单价）它们之间有什么关系？（篮球单价排球单价=40）还有哪个等量关系涉及总价？”引导学生说出：篮球总价+排球总价=960元。接着，抛出核心思考题：“这里有两个等量关系，我们该怎么运用它们？请小组合作，完成学习任务单上的引导问题：①你选择设哪个量为x元？为什么？②用含x的式子，分别表示出另一个球的单价、篮球的总价和排球的总价。③根据哪个等量关系列出方程？”学生活动：小组合作探究。围绕任务单的问题进行讨论、记录。尝试完成整个设、表、列的过程。可能出现不同设法：设排球单价为x元，则篮球单价为(x+40)元，方程列为3(x+40)+5x=960；或设篮球单价为x元，则排球单价为(x40)元，方程列为3x+5(x40)=960。小组内比较哪种计算更简便。即时评价标准：1.小组能否准确找出“差价关系”和“总价关系”这两个独立等量关系。2.在表达“篮球总价”和“排球总价”时，是否用“单价×数量”正确计算。3.所列方程是否与所设未知数及选择的等量关系匹配。形成知识、思维、方法清单：  ★双等量关系的分工。一个等量关系（通常是描述两个未知量之间直接关系的，如A比B多c）用于“设”和“表示”未知数；另一个等量关系（通常是描述总量或组合关系的，如几个A加几个B等于总和）用于“列”方程。  ▲易错点警示。表示“总价”、“总面积”等复合量时，务必用“单位量×数量”，不能漏乘。例如，篮球总价是3×(x+40)，不是(x+40)。这是检验表达式是否正确的重要一环。  ★数学模型。此类问题的通用模型可概括为：已知两个未知量A和B满足关系①（如A=B+c）和关系②（如mA+nB=S），通过设元、代数表示，将关系②转化为关于一个未知数x的方程。任务四：解法总结与格式规范教师活动：请一个小组上台投影展示他们的解题过程（包括设、列、解、答）。教师引导全班一起检视其步骤的完整性和规范性。随后，教师展示标准格式板书，并总结：“我们来一起梳理一下，解决这类‘含有两个未知数’的应用题，我们的‘制胜法宝’是什么？”通过师生问答，共同归纳出清晰步骤，并形成思维导图贴在黑板上。学生活动：展示小组讲解思路，其他学生倾听、质疑或补充。全体学生跟随教师总结，在笔记本上整理出规范步骤和思维导图。即时评价标准：1.展示的解题过程是否步骤完整、书写规范。2.倾听者能否提出有价值的疑问或指出细微错误。3.个人整理的笔记是否抓住了关键步骤和要点。形成知识、思维、方法清单：  ★规范解题步骤。1.审题，找出两个关键等量关系；2.设未知数（一般设直接关联的“一倍量”或“较小量”为x）；3.用含x的代数式表示另一个未知量及相关复合量；4.利用另一个等量关系列出方程；5.解方程；6.检验并写出完整答案。  ▲检验的维度。检验不仅是将解代入方程看是否成立，更要代入题中，看是否符合所有已知条件（比如单价是否为正数、篮球是否真的比排球贵40元等），这体现了数学的严谨性。  ★思想方法升华。我们运用的核心数学思想是“转化与化归”：通过设未知数和代数表示，将含有两个未知数的问题，转化为我们已经会解决的含一个未知数的方程问题。这就是代数思维的魅力所在！第三、当堂巩固训练  基础层（全体必做）：1.妈妈今年年龄是小明的3倍，妈妈比小明大24岁。小明和妈妈今年各多少岁？（直接运用倍数关系设元）2.学校买来桌椅共20套，一共花了2500元。已知每张桌子80元，每把椅子x元。请根据方程20×80+20x=2500补全题目信息，并求解。（反向训练，理解方程意义）  综合层（多数学生挑战）：3.一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时。已知水流速度是每小时2千米。求轮船在静水中的速度以及两个码头之间的距离。（涉及行程公式，需识别静水速度、水流速度、路程三个量之间的关系，找到两个等量关系：顺水路程=逆水路程；顺水速度=静水速度+水速，等）  挑战层（学有余力选做）：4.一个两位数，十位数字比个位数字小1。把十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数大9。求原两位数。（将数字问题代数化，设个位数字为x，则十位数字为x1，利用数位值表示两位数，找到对调前后数字关系的等量关系）  反馈机制：基础题采用同桌互批，重点检查设元合理性和步骤完整性。综合题请学生上台板书讲解，教师针对共性问题（如行程问题公式应用、等量关系选择）进行集中点评。挑战题通过实物投影展示优秀解法，重在思路分享，不要求人人掌握。第四、课堂小结  “同学们，经过一节课的探索，现在我们再回头看导入的那个采购难题，是不是感觉清晰多了？谁来分享一下，你今天最大的收获是什么？”引导学生从知识、方法、思想等多维度总结。随后，教师利用板书上的思维导图，进行结构化总结，强调“找关系、巧设元、善表示、准列式”的十二字诀。  作业布置：必做作业：完成练习册中基础题和两道综合应用题。选做作业（二选一）：①自编一道含有两个未知数的应用题，并写出完整解答过程；②研究“鸡兔同笼”问题，尝试用今天学的设两个未知数（分别设鸡和兔的只数）的方法列出方程，并思考如何求解。六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.解方程：2x+3(x5)=65；4x10=2(x+15)。（巩固解含有括号的方程能力）  2.根据题意列出方程（不求解）：    (1)果园里有苹果树和桃树共180棵，苹果树是桃树的4倍。设桃树有x棵。    (2)一个长方形的长是宽的2.5倍，周长是70厘米。设宽为x厘米。  3.解决问题：一套西装的价格是一条裤子的3倍，买一套西装和一条裤子共花了1200元。西装和裤子的单价各是多少元？  拓展性作业（建议完成）：  4.（情境化应用）为布置教室，六(1)班买了气球和彩带。气球每包8元，彩带每卷比气球每包贵2元。买了5包气球和3卷彩带，总共花费74元。求彩带每卷多少钱？  5.（微型项目）请你做一次“家庭消费调查员”：记录家中本月水费和电费的缴费单，了解单价。如果已知本月水费和电费的总支出，以及水费比电费少的具体金额（或倍数关系），你能建立一个方程模型来分别计算出本月用了多少吨水和多少度电吗？写出你的假设和数据模型。  探究性/创造性作业（选做）：  6.古代数学问题探究：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”（鸡兔同笼问题）请尝试用今天所学，设鸡有x只，则兔有(35x)只，根据脚的数量关系列出方程。你还能想出其他设未知数的方法吗？比较一下，哪种方法列的方程解起来更简单？查阅资料，了解古人用的“抬脚法”，并思考其与方程思想之间的联系。七、本节知识清单及拓展  1.★核心概念：含有两个未知数的应用题。指问题中需要求的解有两个，且这两个量之间以及它们与其他已知量之间存在确定的等量关系。  2.★基本等量关系类型。①和的关系：A+B=总和；②差的关系：AB=差值（或BA=差值）；③倍的关系：A=k×B(k为倍数)；④复合关系：如总价关系（单价1×数量1+单价2×数量2=总价）、行程关系（速度×时间=路程）等。  3.★解题核心策略：合理设元。优先选择作为“一倍量”、“较小量”或与其他量关系最直接的量设为x。口诀：“设谁为x，表示别人要容易”。  4.★关键步骤：用代数式表示另一个未知量。依据两个未知量之间的一个等量关系（如A比B多c，则设B为x，A为x+c），用含有字母x的式子准确地表示出来。  5.★列方程依据。利用题目中另一个独立的等量关系（通常涉及总量或组合情况）列出方程。注意区分“用于表示的等量关系”和“用于列方程的等量关系”。  6.▲表示复合量。当需要表示如总价、总路程、总面积时，务必遵循“单位量×数量”的原则。例如，若设单价为x，则n个物品的总价为nx，切勿漏乘数量n。这是检验表达式正确与否的“试金石”。  7.★规范解题流程。严格遵循“审→设→表→列→解→验→答”七步法，养成良好的数学书写习惯，步骤清晰是逻辑严谨的体现。  8.▲检验的两重含义。一是数学检验：将解代入原方程，看左右是否相等。二是实际检验：将解代入原题情境，看是否符合所有实际条件和常识（如人数为正整数、单价合理等）。  9.★核心数学思想：转化与化归。通过设未知数和代数表示，将含有两个未知数的复杂问题，转化为只含一个未知数的方程问题来解决。这是代数思维区别于算术思维的根本特征。  10.▲算术解与方程解的对比。体会方程法的优越性：思维更顺向（未知数用字母参与列式），能处理更复杂、关系更隐蔽的问题。可以说：“算术法像逆向推理，方程法是正向建桥。”  11.★易错点警示。①设元不当导致表示繁琐或易错；②表示另一个量时关系弄反（如将“甲比乙多5”误表示为乙=x+5）；③列方程时错用已用于“表示”的那个等量关系，导致得出恒等式如x+2x=3x。  12.▲拓展视野：二元一次方程组。本节课的方法本质是“消元”——通过代数表示，在列方程前就消去一个未知数。直接设两个未知数x和y，并根据两个等量关系列出两个方程联立求解，是更一般的方法，将在初中系统学习。今天的课是为之铺设的坚实台阶。八、教学反思  （一）目标达成度分析本次教学预设的核心目标是学生掌握通过合理设元，将一个双未知数问题转化为单未知数方程的策略。从课堂巩固训练反馈来看，约85%的学生能独立完成基础层和综合层题目，表明基本知识技能目标有效达成。学生在“任务三”小组探究中的表现，尤其是能够辩论不同设元策略的优劣，展现了模型意识和策略优化思维的初步形成，这是素养目标达成的可喜迹象。然而，在挑战题中，仅少数学生能完全自主解决，表明将建模思想迁移到全新、复杂情境的能力仍需长期培养。  （二）教学环节有效性评估导入环节的“采购难题”成功制造了认知冲突，激发了探究欲。“任务一”至“任务三”的阶梯设计符合支架式教学原理，从显性倍数关系到隐性关系，再到综合应用，台阶清晰。特别是“任务二”中关于和差问题的讨论，是预设外的生成点，学生提出的两种设法及其比较，恰好深化了对“设元服务于简便表示”的理解，教师及时抓住并放大这一生成，效果良好。但“任务四”的总结环节时间稍显仓促，部分学生的笔记整理不够完善，若能在课堂上预留12分钟进行同桌互查笔记，结构化知识的效果会更好。