五年级数学《“分饼”中的分数意义与分数除法关系》教学设计（北师大版）

五年级数学《“分饼”中的分数意义与分数除法关系》教学设计（北师大版）一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课属于“数与代数”领域“数的认识”与“数的运算”的交叉地带。其核心在于借助“分饼”这一具体、可操作的情境，深化学生对分数意义的理解，并初步建立分数与除法之间的内在关联。在知识技能图谱上，学生此前已初步认识了分数的含义（如一半、四分之一），本课则需从“等分”这一核心动作出发，将分数的意义从“部分与整体的关系”自然拓展到“一个数除以另一个数所得的商”，这为后续系统学习分数与除法的互化、分数的基本性质乃至分数的四则运算奠定了坚实的认知基础。就过程方法路径而言，本课是发展学生“数感”和“模型意识”的绝佳载体：通过实物操作、画图表征、数学表达等多种方式，引导学生经历“具体情境—数学表达—抽象关系”的完整建模过程，体验数学化的思想。其素养价值则渗透于公平分享的伦理情境之中，引导学生在解决真实问题的过程中，体会数学的公平性与合理性，培育理性、合作的精神。教学设计必须立足于对学习者认知起点的精准把握。五年级学生已具备整数除法和初步分数概念，生活中也有平均分配物品的经验。然而，其潜在障碍可能在于：一是思维定势，习惯于将除法运算的结果理解为整数，当出现“除不尽”或结果小于1时易产生困惑；二是对分数“量”与“率”双重含义的理解可能割裂，难以将分得“具体数量”的饼与表示“关系”的分数符号顺畅联结。为此，教学将通过“前测性提问”和关键任务中的“操作观察”动态诊断学情。例如，在导入环节直接抛出非常规问题：“3张饼，平均分给4个人，怎么分？”观察学生的第一反应是困惑还是能联想到分数。针对不同层次的学生，支持策略将有所区分：对于基础薄弱学生，提供充足的圆形纸片供其反复折叠、剪拼，强化直观感知；对于思维较快的学生，则引导其超越操作，专注于用数学语言描述分的过程与结果，并尝试解释其背后的道理。二、教学目标知识目标方面，学生将通过动手操作与协作探究，理解在平均分“多个整体”的情境下，分数可以表示具体的数量；能清晰表述分数与除法的关系，即a÷b=a/b(b≠0)，并能在具体情境中运用这一关系解决问题，实现从具体到抽象的认知跨越。能力目标聚焦于数学关键能力的培养，学生将能够通过折、剪、拼等操作活动，探索并表征“一个整数除以另一个非零整数，商为分数”的多种分法；能够在小组讨论中，用清晰的语言、图示或算式表达自己的分饼策略与思考过程，发展几何直观与数学表达能力。情感态度与价值观目标根植于活动过程，学生在小组合作“分饼”的任务中，能体会到公平分配的价值，尊重不同的分配策略，并在交流中养成认真倾听、有序表达的合作习惯，感受数学与生活的紧密联系。科学（学科）思维目标旨在发展模型思想与数形结合思想，引导学生经历“实际问题（分饼）—几何表征（分圆）—符号表达（分数与算式）”的数学建模过程，学会用多元表征来分析和解决数学问题，初步形成模型意识。评价与元认知目标关注学习过程的反思，设计引导学生依据“操作有序、表达清晰、结论合理”等标准，对自身及同伴的探究过程与成果进行简要评价；并在课堂小结环节，反思探索分数与除法关系时所运用的主要方法（如操作、画图、类推）。三、教学重点与难点教学重点确立为：理解分数可以表示整数除法的商，即建立分数与除法之间的等价关系（a÷b=a/b）。其依据在于，从课标要求看，这属于“数的运算”中承上启下的核心大概念，是打通整数除法与分数世界的关键节点；从学业发展看，此关系是后续学习假分数与带分数互化、分数基本性质乃至解决复杂分数应用题的基石，是体现数学知识内在统一性的重要标志。教学难点预见为：理解当除法的商不是整数时，可以用分数来表示，特别是理解分数所表示的具体量的含义。其预设依据主要源于学情分析：学生从“等分一个整体得到分数”到“等分多个整体，结果仍用分数表示”存在认知跨度，容易混淆“每人分得饼的份数”与“每人分得饼的具体数量”。例如，分3张饼给4个人，每人分得“3/4张饼”，这里的“3/4”既表示把一张饼看作单位“1”时的3/4，也表示具体的数量3/4张。突破方向在于，充分利用几何直观，通过将多个圆（饼）叠合或分割后重组，帮助学生直观看到每人最终获得“量”的形状与大小，从而理解分数在此处的双重意义。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（包含分饼动画、问题情境）；实物投影仪。1.2学具与材料：每组一套圆形纸片（至少3个同样大小的圆，代表饼）；学习任务单（含探究记录表、分层练习题）。2.学生准备2.1知识准备：复习分数的初步认识；理解“平均分”的含义。2.2学具准备：剪刀、胶棒、彩色笔。3.环境布置3.1座位安排：四人或六人小组合作式布局，便于操作与讨论。3.2板书记划：预留核心区，用于呈现关键问题、学生方法、以及总结出的分数与除法关系式。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动1.1教师以亲切的生活化语言开场：“同学们，想象一下，如果今天班级有个小聚餐，老师带来了3张同样大小的香喷喷的饼，要平均分给我们组的4位同学。这下可有点意思了，饼的张数比人数少，该怎么分才公平呢？每个人到底能分到多少张饼？别急着说答案，先想想，你打算怎么操作？”1.2此情境有意制造了一个认知冲突：在整数除法中，3÷4无法得到整数商。这直接挑战学生的已有经验，迅速激发其探究欲望。“咱们以前分东西，经常正好分完，今天这情况，好像‘除不尽’了，怎么办？分数老朋友能来帮帮忙吗？”2.明晰探究路径教师顺势揭示课题：“今天，我们就化身‘公平分饼师’，通过动手分一分、画一画、算一算，来彻底搞清楚这个问题。我们的探索路线是：先动手尝试多种分法→再交流比较哪种分法最方便好懂→最后，看看从这些分法中，能发现什么了不起的数学规律。”第二、新授环节本环节以“3张饼平均分给4个人”为核心驱动任务，展开支架式探究。任务一：探索与表征——多样的分饼策略1.教师活动：首先明确操作要求：“请各小组利用手中的圆形纸片，开动脑筋，看看能找到几种不同的公平分法。分好后，请在学习单上把你们的分法画下来，并试着写一写，每个人分到了多少张饼。”巡视小组，进行分层指导：对无从下手的小组，提示“可不可以先把每张饼单独分一分？”或“能不能把几张饼摞在一起分？”；对已找到一种方法的小组，挑战他们：“很棒的思路！还能想到不一样的分法吗？比比看，哪种分法能让你一眼就看出每人分了多少？”过程中，有意识地收集不同的典型方法（如逐张分、合起来分）。2.学生活动：小组成员协作，动手折叠、剪拼圆形纸片。他们可能会尝试：①将每张饼都平均分成4份，每人从每张饼中取1份，即得到3个1/4张，拼在一起。②将3张饼叠在一起，平均分成4大份，每人取其中1大份。在操作的同时，用画图的方式记录分的过程和结果，并尝试用语言或分数进行描述。3.即时评价标准：1.操作是否体现了“平均分”原则？2.记录（图画）是否能清晰反映分的过程与最终每人所得？3.小组内是否进行了有序的讨论与交流？4.形成知识、思维、方法清单：★核心概念：平均分多个整体时，可以通过不同的策略实现公平分配。“大家看，虽然分法不一样，但核心都是‘平均分给4人’，这保证了结果的公平性。”▲方法策略：解决此类问题有两种典型思路：一是“化整为零”（逐张分），二是“化零为整”（合起来分）。两种方法背后蕴含的数学思想是一致的。●易错点提醒：记录时需明确“单位‘1’是什么”。在逐张分的方法中，单位“1”是“一张饼”；在合起来分的方法中，单位“1”可以是“三张饼看作一个整体”。任务二：表达与联结——从操作到分数1.教师活动：邀请采用不同方法的小组上台，借助实物投影展示并讲解他们的分法和结论。教师引导全班聚焦关键问题：“无论哪种分法，最终每人分到的饼，到底是多少张？能用分数表示吗？”针对逐张分法，引导学生说出每人得到“3个1/4张”，并追问：“3个1/4张，合起来是几张？能不能用一个分数表示？”针对合起来分法，引导学生理解“将3张饼看作一个整体，平均分成4份，每人得到这个整体的1/4。那这1/4对应的是多少张饼呢？”通过对比，引导学生发现两种方法得到的实际大小是一样的。2.学生活动：展示小组清晰表述：“我们组是把每张饼分成4份，每人从每张饼里拿1份，一共拿了3份，就是3个1/4张。我们认为这合起来就是3/4张。”其他学生倾听、质疑或补充。在教师引导下，共同确认每人分得“3/4张饼”，并理解这个分数结果的由来。3.即时评价标准：1.表达时能否将操作过程、图形表征与分数符号准确对应？2.倾听者能否理解他组的思路，并进行有依据的补充或提问？4.形成知识、思维、方法清单：★核心结论：3张饼平均分给4人，每人分得3/4张饼。“看，当我们除不尽的时候，分数就自然而然地出现了，它完美地表示出了结果。”●数学表达：3个1/4是3/4。分数的分子“3”可以来自饼的总张数，分母“4”可以来自平均分的人数。“这个发现很重要，它暗示了分数和之前的除法算式可能有某种联系。”任务三：抽象与建模——分数与除法的关系1.教师活动：此时，教师指向黑板上的情境：“我们刚才解决了‘3张饼分4人’的问题，每人得3/4张。那么，如果用一道除法算式来表示刚才我们做的事情，该怎么列式？”（板书：3÷4）。“神奇的事情来了，这个除法算式的商，我们刚才得到的答案是？”（学生答：3/4）。教师在3÷4后面写上“=”，并引导学生一起说出“等于3/4”。随后，教师变换条件，搭建认知阶梯：“如果还是这3张饼，要平均分给5个小朋友呢？算式是？结果呢？”（3÷5=3/5）。“那如果是1张饼平均分给2个人呢？”（1÷2=1/2）。“如果是a张饼平均分给b个人呢？（b≠0）”。通过这一系列从具体到抽象的追问，引导学生归纳规律。2.学生活动：学生紧跟教师的提问进行思考与回答。从具体数字的例子中，观察被除数、除数与分数分子、分母之间的对应关系。尝试用自己的语言描述发现的规律：“好像……被除数当成了分数的分子，除数当成了分母。”3.即时评价标准：1.学生能否从具体例子中敏锐发现被除数、除数与分数分子、分母的对应关系？2.能否尝试用概括性的语言描述这一关系？4.形成知识、思维、方法清单：★核心规律（模型）：两个整数相除（除数不为0），商可以用分数表示。具体关系为：被除数÷除数=被除数/除数。即a÷b=a/b(b≠0)。“这是我们今天最重要的发现，它像一座桥，把除法和分数两个王国连通了！”▲符号意识：用字母表示这一普遍规律，体现了数学的简洁与概括之美。●思维升华：这体现了“数形结合”与“建模”的思想。我们从分饼的具体活动（形），抽象出了普适的数学关系式（数）。任务四：巩固与辨析——理解关系的内涵1.教师活动：提出辨析性问题，深化理解：“根据我们发现的规律，9÷4的商可以写成什么？（9/4）这个9/4表示什么意思？是‘把9张饼平均分给4个人，每人得9/4张’吗？”引导学生解释其意义。进一步联系旧知：“观察9/4，它是一个什么分数？（假分数）它还可以怎么表示？（带分数2又1/4）。那么，2又1/4张饼这个结果，你能想象是怎么分出来的吗？”引导学生将假分数、带分数与分饼情境再次结合理解。2.学生活动：解释9/4在分饼情境中的含义，并尝试描述将9/4转化为带分数2又1/4后，对应的分饼过程（如先每人分2整张，再把剩下1张饼平均分4份，每人再拿1/4张）。通过解释，加深对分数作为“商”的量的理解。3.即时评价标准：能否灵活运用分数与除法的关系解释新的算式，并能在情境中赋予分数具体的意义？4.形成知识、思维、方法清单：●概念深化：a/b既可以表示“把单位‘1’平均分成b份，取其中的a份”，也可以表示“把a个整体平均分成b份，每份是多少”。其意义是相通的。★知识联系：分数与除法的关系，是假分数与带分数互化的算理依据。9÷4=9/4=2又1/4。第三、当堂巩固训练设计分层、变式的练习体系，并提供即时反馈。1.基础层（直接应用关系）：口答：7÷8=()，5÷9=()，()÷7=4/7。“这些题是直接考验你对关系式的掌握，要又快又准。”2.综合层（情境化应用）：学习任务单上的情境题：①把一根2米长的绳子平均截成3段，每段长多少米？（用分数表示）②一个蛋糕重3千克，平均分给5个小朋友，每人分到多少千克？分到的是整个蛋糕的几分之几？本题需在具体情境中选择单位“1”，并应用关系。“仔细读题，想想这里的被除数和除数分别对应什么？”3.挑战层（开放探究）：“如果3张饼平均分给4个人，我们得到了3÷4=3/4。那么，反过来想，3/4这个分数，除了可以表示3÷4的结果，还能表示其他除法算式的结果吗？比如，6张饼平均分给8个人？（6÷8=6/8=3/4）你发现了什么？”引导学生初步感受分数的基本性质（商不变的规律）。反馈机制：基础层采用全班齐答或抢答，教师快速判断。综合层练习先由学生独立完成，随后小组内互查，重点讨论有分歧的题目；教师巡视，选取有代表性的解答（包括典型错误）通过实物投影展示，进行集中讲评，聚焦于对分数意义的理解和关系式的正确运用。“看看这位同学画的线段图，非常清晰地表示了把2米平均分3份，每份是2/3米。”第四、课堂小结引导学生进行结构化总结与元认知反思。1.知识整合：“经过一节课的探索，我们的‘公平分饼’问题解决了，更收获了重要的数学规律。谁能用自己喜欢的方式（比如画个简单的结构图或流程图）来梳理一下我们今天的学习旅程？”请12名学生分享他们的总结框架（如：问题→操作→发现→规律→应用）。2.方法提炼：教师补充并强调：“回顾一下，我们是怎么发现分数和除法的关系的？对，我们从生活中‘分饼’的具体问题出发，通过动手操作、画图、讨论这些方法，从多个具体例子中比较、归纳，最后得出了一个普适的结论。这个过程，就是数学中常用的‘建模’过程。”3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下思考题，建立联系：“今天我们发现除法可以写成分数形式。那么，分数能不能写成除法形式呢？所有的分数都表示一个除法运算吗？我们下节课会继续研究。”六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.2.完成教材对应练习题，巩固分数与除法关系的直接应用。2.3.用分数表示下列除法的商：5÷6，11÷12，2÷13。3.4.把3千克糖平均装在5个袋子里，每袋装多少千克？（用分数表示）5.拓展性作业（建议大部分同学完成）：1.6.【情境应用题】一盒巧克力有8块，平均分给3个同学。每人分得多少盒？每人分得的是整盒的几分之几？请用画图辅助说明你的答案。2.7.想一想，填一填：()÷9=7/()，你能写出多少种不同的填法？这说明了什么？8.探究性/创造性作业（选做）：1.9.【数学小探究】查阅资料或自行思考：为什么在分数与除法的关系式a÷b=a/b中，要特别注明“b≠0”？请你结合除法的意义和分数的意义，尝试写一篇简短的解释说明（可以举例）。2.10.【创意设计】利用分数与除法的关系，自编一个生活中的数学问题故事，并给出解答。七、本节知识清单及拓展★分数与除法的关系：两个整数相除（除数不为0），商可以用分数表示。关系式为：被除数÷除数=被除数/除数，即a÷b=a/b(b≠0)。这是本节课最核心的结论，是连接除法运算与分数形式的桥梁。★关系的双重解释：分数a/b在此关系中，既可理解为“把a个整体平均分成b份，每份是多少”，也可理解为“把单位‘1’平均分成b份，取其中的a份”。两种理解在“量”上是统一的。●探究方法回顾：我们通过“分饼”这一具体操作活动，结合画图、比较、归纳等方法，发现了上述普遍规律。这种从特殊到一般的探究过程是数学学习的重要方式。▲关系式中的字母表示：使用字母a、b概括关系，体现了数学的抽象性与一般性。b≠0是至关重要的前提，因为除数不能为0。●与假分数、带分数的联系：当a>b时，a/b是假分数，可以通过除法化为带分数。例如，9÷4=9/4=2又1/4，这为假分数与带分数的互化提供了算理支撑。▲初步感受分数的基本性质：由3÷4=3/4，6÷8=6/8=3/4，可以发现虽然除数和被除数都扩大了2倍，但商（分数值）不变。这为后续学习分数的基本性质埋下了伏笔。●易错点警示：在将除法算式写成分数形式时，务必注意被除数对应分子，除数对应分母，位置不可颠倒。例如，3÷4只能写成3/4，而非4/3。八、教学反思（一）目标达成度评估预期中的核心目标——建立分数与除法的关系模型（a÷b=a/b），通过大部分学生在巩固练习中的正确应用与课堂小结时的自主表述，可以判断已基本达成。能力目标方面，学生在任务一中的多样化操作与表征，以及在任务二中的小组展示，展现了良好的动手操作与数学表达能力。情感目标在合作分饼的环节中得到了较好的渗透，课堂氛围积极。然而，通过挑战层问题的反馈发现，仅有部分学生能敏锐察觉到分数基本性质的雏形，这说明高阶思维目标的达成存在分化，需在后续课程中持续渗透。（二）教学环节有效性分析1.导入环节：“3张饼分4人”的认知冲突有效激发了全班的探究兴趣，问题驱动性强。2.新授环节：“任务链”设计基本实现了层层递进。任务一（操作）提供了丰富的感性材料；任务二（表达）促进了从直观到符号的过渡；任务三（抽象）在具体例子的支撑下水到渠成。但回顾发现，在任务三引导学生从具体算式归纳到一般公式时，教学节奏可稍作放缓，让更多学生有机会口述自己的发现，而非急于由教师或个别优生点明。可以增加一个“同桌互相说一说你发现的规律”的微型活动。3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同学生的需求，展示典型错误进行集体辨析的效果良好。学生自主小结的形式虽然简单，但有助于培养其知识整合意识。（三）学生表现深度剖析课堂观察可见，学生大致分为三类：第一类“操作直觉型”，他们热衷于动手分