全等三角形复习讲义与典型题解析

全等三角形复习讲义与典型题解析全等三角形是平面几何的入门与基石，其概念、性质及判定方法贯穿于整个初中乃至高中阶段的几何学习。一份扎实的复习，不仅能巩固基础，更能提升逻辑推理与空间想象能力。以下将从基本概念、性质、判定方法、常见辅助线作法及典型例题解析几个方面，对全等三角形进行系统梳理。一、全等三角形的概念与性质1.1全等形与全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。特别地，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点称为对应顶点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。注意：“完全重合”意味着形状相同且大小相等，二者缺一不可。在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，例如△ABC≌△DEF，即点A与D、B与E、C与F分别对应。1.2全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形最核心的性质，也是我们进行几何证明和计算的重要依据。由此可进一步推知，全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线也分别相等，周长相等，面积也相等。但需注意，这些派生性质是“对应边相等、对应角相等”的推论，而非初始定义。二、全等三角形的判定方法判定两个三角形全等，是解决几何问题的关键步骤。以下是经过严格证明的判定公理和定理：2.1边边边（SSS）公理三边对应相等的两个三角形全等。几何语言描述：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，CA=FD，则△ABC≌△DEF(SSS)。2.2边角边（SAS）公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。注意：此处的角必须是两对应边的夹角，若为其中一边的对角，则不一定全等（即“SSA”不能作为判定依据）。几何语言描述：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF(SAS)。2.3角边角（ASA）公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。几何语言描述：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF(ASA)。2.4角角边（AAS）定理两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。此定理可由ASA公理推导得出。几何语言描述：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF(AAS)。2.5斜边、直角边（HL）定理对于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。这是直角三角形特有的判定方法，本质上可看作SSS的一种特殊情况（由勾股定理可推出第三边也相等）。几何语言描述：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。判定方法的选择策略：*已知两边对应相等：若夹角已知，则用SAS；若第三边已知，则用SSS；若为直角三角形，已知斜边和一直角边，则用HL。*已知两角对应相等：若夹边已知，则用ASA；若任一角的对边已知，则用AAS。*已知一边一角对应相等：若角为已知边的夹角，则考虑SAS；若角为已知边的对角，则考虑AAS；若已知边为斜边（直角三角形），则考虑HL。三、全等三角形证明的常用思路与辅助线在复杂图形中证明三角形全等，往往需要添加辅助线，构造出易于证明全等的条件。以下是一些常见思路：3.1已知中点或中线：倍长中线法将中线延长一倍，构造对顶角相等和相等线段，从而创造SAS全等的条件。3.2已知角平分线：*向两边作垂线：利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）构造AAS或HL全等。*截长补短法：在角的两边截取相等线段，或延长某一线段，构造SAS全等。3.3已知线段和差关系：截长法或补短法*截长：在较长线段上截取一段等于较短线段，再证明剩余部分等于另一较短线段。*补短：延长较短线段，使延长部分等于另一较短线段，再证明整条线段等于较长线段。3.4图形具有轴对称性：利用对称性构造全等如遇到等腰、等边三角形，或已知某条对称轴，可尝试翻折图形，寻找对称的全等三角形。3.5遇到含有公共边、公共角、对顶角等条件时，要善于发现并利用这些隐含的相等关系。四、典型题解析例题1：基础巩固型（直接应用判定定理）题目：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。分析：欲证∠A=∠D，可考虑证明△ABC≌△DEF。已知两边AB=DE，AC=DF，只需再证第三边BC=EF即可。而由BE=CF，根据等式性质，两边同时加上EC，可得BE+EC=CF+EC，即BC=EF。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）点评：本题直接考察SSS判定定理的应用，关键在于通过线段的和差关系证明第三边相等，属于基础题型，强调对已知条件的直接转化和应用。例题2：技巧提升型（利用SAS及辅助线思想）题目：如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE。求证：BC=DE。分析：已知两组边对应相等（AB=AD，AC=AE），若能证明它们的夹角相等，则可用SAS证明全等。观察∠BAD=∠CAE，这两个角有公共部分∠DAC，因此∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。问题迎刃而解。证明：∵∠BAD=∠CAE（已知）∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC（等式的性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴BC=DE（全等三角形的对应边相等）点评：本题考察SAS判定定理，难点在于通过角的和差关系证明夹角相等，体现了“等量加等量和相等”的基本等式性质在几何证明中的应用。例题3：综合应用型（结合角平分线与截长补短）题目：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。分析：要证AB+BD=AC，可采用“截长法”或“补短法”。思路一（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。先证△ABD≌△AED(SAS)，得到BD=ED，∠B=∠AED。再利用∠B=2∠C及∠AED=∠C+∠EDC，可证∠EDC=∠C，从而ED=EC，故AC=AE+EC=AB+BD。思路二（补短法）：延长AB至点E，使BE=BD，连接DE。则∠E=∠BDE，∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E。由∠ABC=2∠C，得∠E=∠C。再证△AED≌△ACD(AAS或ASA)，得AE=AC，即AB+BE=AC，故AB+BD=AC。证明（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠EAD（角平分线的定义）在△ABD和△AED中AB=AE（已作）∠BAD=∠EAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AED(SAS)∴BD=ED（全等三角形对应边相等）∠B=∠AED（全等三角形对应角相等）∵∠AED=∠C+∠EDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）且∠B=2∠C（已知）∴2∠C=∠C+∠EDC（等量代换）∴∠C=∠EDC（等式的性质）∴ED=EC（等角对等边）∵AC=AE+EC（线段的和差定义）∴AC=AB+BD（等量代换）点评：本题是角平分线性质与等腰三角形判定的综合应用，截长法是解决此类线段和差问题的经典手段，需要熟练掌握其构造全等的技巧。五、复习要点总结1.深刻理解“对应”：无论是性质还是判定，都强调“对应”二字，找准对应顶点、对应边、对应角是避免出错的关键。2.灵活选用判定方法：根据已知条件的特点，快速准确地选择合适的判定定理，这需要通过一定量的练习来积累经验。3.掌握辅助线技巧：辅助线是破解复杂几何题的钥匙，要理解常见辅助线作法的原理，而不是死记硬背。4.注重逻辑推理的严谨性：证明过程要步步有据，因果清晰，书写规范。5.善