大学材料力学重点难点讲解及练习题集

大学材料力学重点难点讲解及练习题集材料力学作为工科学生的核心专业基础课程，旨在研究构件在外力作用下的内力、变形、强度、刚度和稳定性等问题，为后续专业课程的学习及工程实践提供必要的理论基础和分析方法。其概念抽象，公式繁多，逻辑严密，初学者往往感到不易掌握。本文将结合笔者多年的教学与学习经验，对材料力学的重点难点进行系统梳理与讲解，并辅以典型练习题及解题思路，希望能为同学们的学习提供有益的帮助。一、重点难点精析（一）绪论与基本概念重点：1.材料力学的研究对象与任务：明确材料力学主要研究杆状构件（杆件）的承载能力，即强度、刚度和稳定性。2.变形固体的基本假设：连续性、均匀性、各向同性假设以及小变形假设。这些假设是将实际复杂问题简化，从而进行理论分析的前提。3.内力、应力、变形、应变的概念：*内力：物体内部各部分之间的相互作用力，通过截面法求解。*应力：表征物体内部一点受力强弱程度的物理量，分为正应力（σ）和切应力（τ）。*变形：物体在外力作用下形状和尺寸的改变，分为伸长（缩短）、弯曲、扭转、剪切等。*应变：表征物体内部一点变形程度的物理量，分为正应变（ε）和切应变（γ）。4.杆件变形的基本形式：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲，以及它们的组合变形。难点：*应力与内力的区别与联系：内力是截面上的总效应，应力是内力的分布集度。*小变形假设的意义：不仅简化几何关系，也使得在研究平衡时可以忽略构件变形对力的作用线位置的影响，从而采用构件原始尺寸进行计算。（二）轴向拉伸与压缩重点：1.内力分析与轴力图：熟练运用截面法求解轴力，并绘制轴力图以清晰表示杆件各截面轴力的变化情况。2.应力计算与强度条件：*横截面上的正应力公式：σ=N/A（均匀分布假设）。*强度条件：σ_max≤[σ]，用于校核强度、设计截面尺寸或确定许可载荷。3.变形计算与胡克定律：*轴向变形：Δl=Nl/(EA)。*胡克定律：σ=Eε（在弹性范围内）。*弹性模量E的物理意义。4.材料在拉伸与压缩时的力学性能：低碳钢的拉伸试验曲线，弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段的特征，弹性极限、屈服极限、强度极限，延伸率和截面收缩率。难点：*圣维南原理的理解与应用：解释应力集中现象的局部性，为工程上采用简化计算提供理论依据。*应力集中的概念：构件形状突变处应力急剧增大的现象，工程中需注意避免或减弱。（三）剪切与挤压重点：1.剪切的概念：构件受到与轴线垂直的、大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用时，截面将沿着力的方向发生相对错动。2.剪切内力与切应力：*剪力Fs。*名义切应力：τ=Fs/A（实用计算，假设切应力均匀分布）。*剪切强度条件：τ≤[τ]。3.挤压的概念与强度计算：*挤压应力：σ_bbs=Fbs/Abs（实用计算）。*挤压强度条件：σ_bbs≤[σ_bbs]。*挤压面面积的计算（平面接触与圆柱面接触的区别）。难点：*剪切面与挤压面的确定：这是进行剪切和挤压强度计算的前提，需要根据构件的受力和变形情况准确判断。*剪切与挤压的实用计算特点：由于剪切变形的复杂性，实际切应力分布并非均匀，工程上采用以试验为基础的名义应力计算方法。（四）扭转重点：1.内力分析与扭矩图：用截面法求解扭矩，并绘制扭矩图。2.圆轴扭转时的应力与变形：*横截面上的切应力：τ_ρ=Tρ/Ip，最大切应力τ_max=T/Wp。*极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp的计算（实心圆、空心圆）。*强度条件：τ_max≤[τ]。*相对扭转角：φ=Tl/(GIp)(rad)。*剪切弹性模量G的物理意义，G、E、ν（泊松比）之间的关系。*刚度条件：φ'=T/(GIp)≤[φ']或φ≤[φ]。难点：*圆轴扭转时的平面假设及其在推导应力公式中的作用：这是建立几何关系、物理关系和平衡关系的基础。*切应力互等定理：一点处两个相互垂直平面上的切应力必然成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两平面的交线。*非圆截面扭转的概念：平面假设不再成立，最大切应力发生在距形心最远的长边中点。（五）弯曲内力重点：1.弯曲的概念：构件受到垂直于轴线的外力或力偶矩作用时，轴线由直线变为曲线。2.梁的简化与分类：根据支座情况和载荷情况对梁进行简化，如简支梁、悬臂梁、外伸梁；静定梁与超静定梁。3.剪力与弯矩：截面法求解指定截面的剪力Fs和弯矩M。4.剪力图与弯矩图：根据荷载与内力间的微分关系（dFs/dx=q(x),dM/dx=Fs(x),d²M/dx²=q(x)）绘制剪力图和弯矩图，掌握规律，快速准确作图。5.控制截面的确定：梁上剪力和弯矩最大值所在的截面，通常是强度计算的关键。难点：*用截面法求内力时，剪力和弯矩正负号的规定：通常采用“左上右下剪力正，左顺右逆弯矩正”的法则，关键在于理解变形趋势。*荷载、剪力图、弯矩图三者之间的关系及其灵活应用：利用微分关系可以快速校核图形的正确性，或根据荷载分布特征直接绘制内力图。*复杂荷载作用下（如分布荷载、集中力、集中力偶共同作用）内力图的绘制。（六）弯曲应力重点：1.纯弯曲与横力弯曲：纯弯曲时梁横截面上只有弯矩，无剪力；横力弯曲时既有弯矩也有剪力。2.弯曲正应力：*平面假设与中性轴的概念。*正应力公式：σ=My/Iz，其中Iz为截面对中性轴z的惯性矩。*最大正应力：σ_max=M/Wz，Wz为抗弯截面系数。*强度条件：σ_max≤[σ]。3.弯曲切应力：*矩形截面梁切应力公式：τ=FsS_z*/(Izb)，沿截面高度的分布规律（中性轴处最大，上下边缘处为零）。*工字形截面梁切应力主要分布在腹板上，且近似均匀。4.梁的合理截面形状：在面积相同的情况下，尽可能将材料布置在远离中性轴的位置，以获得更大的Wz，提高弯曲强度。难点：*弯曲正应力公式的推导过程：从几何关系（应变分布）、物理关系（胡克定律）到静力关系（内力与应力的合力）的逻辑链条。*中性轴位置的确定：在对称弯曲情况下，中性轴通过截面形心且垂直于荷载作用平面。*弯曲切应力公式的理解与应用条件。（七）弯曲变形重点：1.挠度与转角：梁弯曲时横截面形心的垂直位移称为挠度w，横截面绕中性轴转过的角度称为转角θ，二者关系为θ≈dw/dx(小变形)。2.挠曲线近似微分方程：d²w/dx²=-M(x)/(EI)，这是求解弯曲变形的基本方程。3.用积分法求弯曲变形：通过积分挠曲线微分方程得到挠度方程和转角方程，注意积分常数的确定（边界条件和连续性条件）。4.用叠加法求弯曲变形：利用已知简单荷载作用下梁的变形结果，叠加求解复杂荷载作用下的变形，工程中应用广泛。5.梁的刚度条件：w_max≤[w]，θ_max≤[θ]，用于限制梁的最大挠度和转角不超过规定值。难点：*积分法中积分常数的确定：特别是对于中间有铰链的梁或分段受载的梁，需应用连续性条件。*叠加法的灵活应用：正确分解荷载，并找到对应的标准变形结果。*简单超静定梁的求解：利用变形协调条件建立补充方程，与静力平衡方程联立求解。（八）应力状态分析重点：1.一点处应力状态的概念：通过构件内一点不同方位截面上应力的集合来描述该点的受力情况。2.平面应力状态分析的解析法：*斜截面上的应力公式：σ_α=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2cos2α-τ_xysin2α；τ_α=(σ_x-σ_y)/2sin2α+τ_xycos2α。*主应力与主平面：主应力是指斜截面上切应力为零时的正应力，是该点处正应力的极值。主平面是主应力所在的平面。*主应力计算公式，主平面方位角公式。*最大切应力及其所在平面。3.平面应力状态分析的图解法（应力圆）：掌握应力圆的绘制方法，利用应力圆确定任意斜截面应力、主应力和最大切应力。4.三向应力状态的概念：三个主应力，最大切应力公式。难点：*“一点处”应力状态的理解：应力是描述构件内部受力状态的局部量。*应力圆的物理意义及其与单元体的对应关系：应力圆上的每一个点对应单元体上一个斜截面的应力状态。*主应力的排序及应力状态的分类（单向、二向、三向）。（九）强度理论重点：1.强度理论的概念：材料破坏的两种基本形式（脆性断裂和塑性屈服），强度理论是关于材料在复杂应力状态下发生破坏原因的假说。2.四大常用强度理论：*第一强度理论（最大拉应力理论）：σ₁≤[σ]。适用于脆性材料在拉伸为主的情况下。*第二强度理论（最大伸长线应变理论）：σ₁-ν(σ₂+σ₃)≤[σ]。应用较少。*第三强度理论（最大切应力理论/特雷斯卡屈服准则）：σ₁-σ₃≤[σ_s]。适用于塑性材料。*第四强度理论（形状改变比能理论/米塞斯屈服准则）：√[(σ₁-σ₂)²+(σ₂-σ₃)²+(σ₃-σ₁)²]/√2≤[σ_s]。适用于塑性材料，比第三强度理论更符合实验结果。3.强度理论的应用：根据构件的材料性质和可能的破坏形式，选择合适的强度理论进行强度校核。难点：*理解各强度理论的建立思想和适用范围：这是正确选择强度理论的前提。*将复杂应力状态下的主应力代入相应强度理论的相当应力公式。（十）组合变形重点：1.组合变形的概念：构件同时发生两种或两种以上基本变形的情况。2.组合变形强度计算的叠加原理：在小变形和线弹性范围内，可将组合变形分解为几个基本变形，分别计算应力，然后进行叠加（需注意应力的方向和作用点）。3.常见组合变形形式：*拉伸（压缩）与弯曲组合：例如偏心拉伸（压缩），需计算横截面上的正应力（由轴力和弯矩分别引起，代数叠加），确定危险点。*弯曲与扭转组合：例如传动轴，危险点处于平面应力状态，需应用强度理论进行强度校核。难点：*将组合变形正确分解为基本变形：这是解决问题的关键步骤。*危险点的确定及其应力状态分析：对于弯曲与扭转组合等情况，危险点通常位于弯曲正应力最大和切应力也较大的截面。*应用强度理论进行组合变形强度计算：先求出危险点的主应力，再代入合适的强度理论。（十一）压杆稳定重点：1.稳定的概念：构件保持其原有平衡形式的能力。压杆稳定是指细长杆在轴向压力作用下，突然发生弯曲变形而丧失承载能力的现象，这与强度失效不同。2.临界力的概念：使压杆开始丧失稳定的最小轴向压力。3.细长压杆的临界力（欧拉公式）：P_cr=π²EI/(μl)²。*惯性矩I的选择：对压杆可能发生弯曲的主轴（惯性矩最小的轴）进行计算。*长度系数μ：反映不同支座条件对临界力的影响（两端铰支μ=1，一端固定一端自由μ=2，两端固定μ=0.5，一端固定一端铰支μ≈0.7）。*欧拉公式的适用范围：细长杆，即λ≥λ_p(λ为长细比，λ=μl/i,i为惯性半径)。4.中柔度杆与短粗杆的临界应力：采用经验公式或试验曲线。5.压杆的稳定条件：P≤P_cr/n_st或σ≤σ_cr/n_st=[σ_st]，其中n_st为稳定安全系数。难点：*稳定概念与强度概念的区别：强度问题关注材料是否屈服或断裂，稳定问题关注平衡形式是否突然改变。*长细比λ的物理意义：综合反映了压杆的长度、截面形状和尺寸、支座条件对临界应力的影响，是压杆稳定计算的核心参数。*欧拉公式的推导思路（了解）：基于压杆在临界力作用下处于微弯平衡状态，建立挠曲线微分方程求解。*压杆稳定计算的步骤：确定长度系数μ、计算惯性半径i和长细比λ、判断压杆类型、选择合适公式计算临界应力或临界力、进行稳定校核。二、典型练习题与解题思路（一）轴向拉伸与压缩例题1：图示等直杆，已知横截面面积A，弹性模量E。试：(1)绘制杆的轴力图；(2)计算杆的总伸长量。（图中荷载为F、2F，杆长为l、l）解题思路与点评：1.轴力图绘制：*首先确定研究对象为整个杆。*用截面法分别求解各段杆的轴力。例如，左段（受F拉力）轴力为+F；右段（受F和2F，合力向左）轴力为-F。*按比例绘制轴力图，标明