苏州市2026届高三上学期期末数学试卷及答案

苏州市2026届高三上学期期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.已知是定义在上的奇函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设平面向量满足，，，则（）A.3 B.2 C. D.14.在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（）A.3 B.2 C.1 D.05.记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（）A.18 B.9 C.6 D.26.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.28.已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记等差数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.10.设i虚数单位，已知复数，（其中），设，则（）A.当时， B.对任意，都有C.存在，使得 D.存在，使得11.如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（）A.是钝角三角形B.平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形C.当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为D.若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，含项的系数为______．13.一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______．14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16.为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值．（1）求的值；（2）设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？17.已知定义在上的函数，．（1）求的值及的值域；（2）在中，角所对的边分别为，已知，，，求的面积．18.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足．（1）求的标准方程；（2）记四边形的面积为．①若点恰好在上，求值；②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．19已知函数，（且）．（1）设的导函数为．①若与有相同的零点，求的值；②若对任意，都有，求取值范围；（2）若存在唯一的实数，使得，求的取值范围．苏州市2026届高三上学期期末数学试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.A5.B6.D7.C8.D二、选择题9.BC10.ABC11.ACD三、填空题12.1913.14.8四、解答题15.（1）因为分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面．（2）因为平面，底面为正方形，所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，由所以令，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．16.（1）投篮的次数的可能值为1，2，3，123所以，由于，所以．（2）有理由认定李老师是投篮高手，理由如下：投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，，，，，所以，所以，所以有理由认定李老师是投篮高手．17.（1）因为，所以，所以．因为，所以，，所以的值域为．（2）由得，因为函数定义域为，因为，所以，又因为是三角形的内角，所以，所以．法一：由正弦定理，得，，则，所以，即，由余弦定理得，所以，所以的面积为．法二：因为，所以，则，所以，因为，所以，则，，由正弦定理得，所以，所以的面积为．18.（1）由题意得，，所以，，所以的方程为．（2）①设，，，由得，即，所以，所以，且，，所以，又因为原点到直线的距离为，由知四边形是平行四边形，所以面积．由，所以，因为在椭圆上，所以，解得，所以．②因为，所以，即，所以，，所以，即，且．设存在两个定点，，（定值），所以直线的方程为，令，得，同理可得，所以，化简得，所以得，，所以在轴上存在两个定点，或，使得为定值．19.（1）因为，所以，①由得，所以，所以．②原问题转化为在时恒成立．当时，原不等式可化为，即恒成立，因为表示开口向下的抛物线，所以不等式不恒成立；当时，令，所以，得，（ⅰ）当时，原不等式可化为，所以，此时，所以的最大值为，所以，所以；（ⅱ）当时，原不等式可化为，所以，因为在上单调递增，所以，所以．综上所述，．（2）由题意知，方程有唯一解．当时，原方程化为，由于，所以，（ⅰ）当，即时，有（*），设，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，，，因为方程（*）有唯一解，所以，所以；（ⅱ）当时，时，方程可化为（**），设，则，所以在上单调