高中数学联赛模拟试卷（冲刺版）试题

高中数学联赛模拟试卷（冲刺版）试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增2.已知集合A={x|2x-1>0},B={x|mx+1<0},若A∩B={x|0<x<2},则实数m的值为（）A.-1B.-2C.1D.23.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3,则z^2023的代数形式为（）A.1B.-1C.√3+iD.-√3-i4.抛掷两个质地均匀的骰子,记事件A为“点数之和为7”,事件B为“点数之和为偶数”,则P(B|A)等于（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/35.已知函数f(x)=√(x^2+px+q),若f(x)在x=1处取得极小值,则p,q满足的关系为（）A.p=2,q=3B.p=-2,q=3C.p=2,q≠3D.p=-2,q≠36.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,c=5,则cosB的值为（）A.3/5B.4/5C.1/2D.√2/27.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_n+1=2a_n+1,则a_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.20488.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m等于（）A.1B.2C.3D.49.已知直线l1:ax+2y-1=0与l2:2x+y+b=0互相平行,则a,b满足的关系为（）A.a=4,b≠1B.a=4,b=1C.a=-4,b≠1D.a=-4,b=110.在等差数列{a_n}中,若a_5+a_7=18,a_10=9,则首项a_1等于（）A.3B.6C.9D.12二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若函数f(x)=x^2+2ax+3在x=1处取得最小值,则a=______。12.已知集合A={1,2,3},B={x|1≤x≤4},则A∪B的元素个数为______。13.若复数z=1+i,则z^4的模长|z^4|等于______。14.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边a=√2,则边c的值为______。15.已知数列{a_n}满足a_1=2,a_n+1=3a_n,则a_5=______。16.函数f(x)=sin(2x+π/4)的最小正周期为______。17.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切,则k的值为______。18.已知函数f(x)=e^x-1,则f(x)的反函数f^(-1)(x)等于______。19.在直角坐标系中,点P(1,2)到直线3x+4y-5=0的距离为______。20.已知样本数据为5,7,9,10,12,则样本方差s^2等于______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若函数f(x)在区间I上单调递增,则f(x)在该区间上一定有最大值。22.已知集合A⊆B,则A∩B=A。23.若复数z满足|z|=1,则z的平方一定是实数。24.在△ABC中,若a^2=b^2+c^2,则△ABC一定是直角三角形。25.已知数列{a_n}是等差数列,若a_3+a_7=12,则a_5=6。26.函数f(x)=cos(x)在区间[0,π]上是单调递减的。27.若直线l1与l2平行,则它们的斜率一定相等。28.已知函数f(x)=x^3,则f(x)在定义域上处处可导。29.在等比数列{a_n}中,若a_2=4,a_4=16,则公比q=2。30.若事件A和事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)在区间[-2,3]上的单调区间。32.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=√3,c=1,求角B的大小。33.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_n+1=2a_n+1,求证{a_n}是等比数列。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.某工厂生产一种产品,已知固定成本为10万元,每件产品的可变成本为20元,售价为50元。若市场需求量x(件)与售价p(元)满足关系p=60-0.02x,求该工厂的利润函数,并求当产量为多少件时利润最大。35.在直角坐标系中,点A(1,3),点B(4,1),点C(2,-1)。求过点A且与直线BC垂直的直线方程。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.C3.D4.C5.B6.B7.A8.C9.A10.B解析：1.f'(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))<0,故单调递减。2.A={x|x>1/2},B={x|x<-1/m},A∩B={x|0<x<2}⇒-1/m=2⇒m=-1。3.z=cos(π/3)+isin(π/3),z^2023=cos(2023π/3)+isin(2023π/3)=cos(674π+π/3)+isin(674π+π/3)=-√3/2-i/2。4.A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6种,其中B包含4种,故P(B|A)=4/6=2/3。5.f'(x)=2x+p,极小值在x=1处取得⇒2+p=0⇒p=-2。二、填空题11.-112.713.414.215.16216.π17.±4√5/518.x=ln(y+1)19.3/520.17解析：12.A∪B={1,2,3,4}共7个元素。18.f(x)=e^x-1⇒e^x=y+1⇒x=ln(y+1)。三、判断题21.×22.√23.√24.√25.√26.×27.×28.√29.√30.√解析：21.单调递增函数不一定有最大值,如f(x)=x在R上。27.平行直线斜率相等或都为0。四、简答题31.递增区间[-∞,1),(2,3],递减区间(1,2)。解析：f'(x)=3x^2-6x=x(x-2),令f'(x)=0得x=0,2,当x∈(-∞,0)时f'(x)>0,递增;当x∈(0,2)时f'(x)<0,递减;当x∈(2,+∞)时f'(x)>0,递增。33.证明：a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2(a_n+1)⇒a_n+1=(a_1+1)·2^(n-1)=3·2^(n-1),故{a_n+1}是首项3,公比2的等比数列,所以{a_n}是首项1,公比2的等比数列。五、应用题