小学生奥数专题训练题牛吃草问题

在小学奥数的众多题型中，“牛吃草问题”一直是孩子们既感兴趣又颇感挑战的一类经典题目。它不仅仅是简单的数学计算，更考验孩子们对动态变化过程的理解和分析能力。这类问题的核心在于草的总量并非固定不变，而是在不断生长（或枯萎），这就需要我们找到其中的平衡关系。今天，我们就一起来深入探讨牛吃草问题的本质，掌握其解题思路与技巧。一、牛吃草问题的核心要素要解决牛吃草问题，首先必须明确几个关键的量：1.原有草量：指牧场（或草地）在牛开始吃草前就已经存在的草的总量。这是一个固定的初始值。2.草的生长速度：单位时间内牧场新长出的草量。在大多数基础题型中，我们假设这个速度是恒定不变的。如果草在枯萎，则这个速度为负值。3.单位牛吃草量：每头牛单位时间内吃的草量。为了方便计算，我们通常将其设为“1份”。这是一个人为设定的基准单位。4.牛的数量与吃草时间：这是题目中通常会给出的两个变量（或其中一个为未知量），它们共同决定了牛总共吃的草量。牛吃草问题的本质，就是牛吃掉的草量等于原有草量加上这段时间内新生长的草量（如果草在枯萎，则是减去枯萎的草量）。二、解决牛吃草问题的基本步骤掌握了核心要素，我们就可以按照以下步骤来解决牛吃草问题：1.设定单位量：通常设1头牛1天吃的草量为“1份”。2.求草的生长速度：根据题目中给出的不同牛数吃不同天数的条件，计算出每天新生长的草量可以供多少头牛吃。*一般会给出两种情况：比如“多少头牛吃多少天”和“另多少头牛吃另多少天”。*计算两种情况下牛总共吃的草量，两者的差值就是因为吃草天数不同而导致的新生长草量的差值。*用这个差值除以天数差，即可得到每天的生长量（单位：份/天，也相当于可供几头牛吃）。3.求原有草量：利用其中一种情况，用牛总共吃的草量减去这段时间内新生长的草量，就得到了原有草量。4.解决问题：根据题目要求，利用原有草量和草的生长速度，求出所问的牛数或天数。*如果问的是“可供多少头牛吃多少天”，则用原有草量除以（牛数-每天生长量可供给的牛数），得到的就是天数。这里“牛数-每天生长量可供给的牛数”表示每天实际消耗原有草量的牛数。*如果问的是“多少头牛可以吃多少天”，则原有草量除以天数，再加上每天生长量可供给的牛数，就是所需的牛数。三、典型例题解析例1：基础生长型一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天。那么，可供19头牛吃多少天？分析与解答：1.设定单位量：设1头牛1天吃的草量为1份。2.求草的生长速度：*24头牛6天吃的草量：24×6=144（份）*20头牛10天吃的草量：20×10=200（份）*两种情况的草量差：200-144=56（份），这是10-6=4天内新长出的草量。*所以，每天新长出的草量：56÷4=14（份/天）。这意味着每天新长的草可以供14头牛吃1天。3.求原有草量：*用第一种情况：144份（24头牛6天吃的）减去6天新长的草量（14份/天×6天）。*原有草量=144-14×6=144-84=60（份）。4.求19头牛可吃的天数：*19头牛每天吃19份草，而每天新长14份草。因此，每天实际消耗原有草量的牛数为：19-14=5（头）。*原有草量60份，每天消耗5份，可吃的天数为：60÷5=12（天）。答：可供19头牛吃12天。例2：草量减少型（枯萎）由于天气变冷，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解答：1.设定单位量：设1头牛1天吃的草量为1份。2.求草的减少速度：（注意，这里草在减少，所以计算方式略有不同）*20头牛5天吃的草量：20×5=100（份）*15头牛6天吃的草量：15×6=90（份）*为什么牛少了，吃的总草量反而少了？因为草在枯萎。6天比5天多枯萎了1天。*草量的差值：100-90=10（份），这是1天内枯萎的草量。*所以，每天枯萎的草量为：10÷(6-5)=10（份/天）。3.求原有草量：*用第一种情况：20头牛5天吃了100份，这5天内草还枯萎了10份/天×5天=50份。*原有草量=100+50=150（份）。（因为枯萎的草也是原有草量的一部分）4.求可供多少头牛吃10天：*10天内，草会枯萎：10份/天×10天=100份。*因此，10天后剩余的草量为：150-100=50（份）。*这些草要供牛吃10天，每天可供牛吃的草量为：50÷10=5（份）。*因为1头牛1天吃1份，所以可供5头牛吃10天。答：可供5头牛吃10天。例3：总量固定型（变相牛吃草）某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解答：这道题不是牛吃草，但本质和牛吃草问题完全一样。*旅客相当于草（不断“生长”出来）。*检票口相当于牛（“吃”掉旅客）。*开始检票前已有的排队人数相当于原有草量。*每分钟来的旅客人数相当于草的生长速度。1.设定单位量：设1个检票口1分钟检票的旅客人数为“1份”。2.求每分钟来的旅客人数（生长速度）：*4个检票口30分钟检票人数：4×30=120（份）*5个检票口20分钟检票人数：5×20=100（份）*这两次检票人数的差，就是（30-20）分钟内新来的旅客人数。*每分钟新来旅客：(120-100)÷(30-20)=20÷10=2（份/分钟）。3.求原有排队旅客人数（原有草量）：*4个检票口30分钟检票120份，其中30分钟内新来旅客2份/分钟×30分钟=60份。*原有排队人数=120-60=60（份）。4.求开7个检票口需要的时间：*设需要x分钟。7个检票口x分钟共检票7x份。*x分钟内新来旅客2x份。*原有排队人数+新来旅客人数=检票人数。*即：60+2x=7x*解得：5x=60→x=12。答：同时打开7个检票口，需要12分钟。四、专题训练题1.基础题：一片青草地，每天都匀速长出青草。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。那么这片草地可供多少头牛吃12天？2.枯萎题：冬天来了，牧草每天匀速减少。已知一片草地可供20头牛吃5天，或者可供12头牛吃7天。那么可供6头牛吃多少天？3.进水排水题：一个水池，底部有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？（提示：排水管相当于“枯萎的草”或“吃草草的牛”）五、总结与思考牛吃草问题看似变化多端，但其内核是一致的：即一个动态平衡的问题。解决这类问题的关键在于：*准确识别变量与不变量：谁是“牛”，谁是“草”，谁是“原有草量”，谁是“生长/枯萎速度”。*熟练运用基本步骤：设单位量、求生长（枯萎）速度、求原有总量、解决具体问题。