2026年高二数学逻辑推理能力测试试题及答案

2026年高二数学逻辑推理能力测试试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在命题“若a>2，则a²>4”的逆命题中，正确的是（）A.若a²>4，则a>2B.若a≤2，则a²≤4C.若a²≤4，则a≤2D.若a²>4，则a<22.已知命题p：“存在x∈R，使得x²+x+1=0”，则¬p为（）A.对任意x∈R，x²+x+1≠0B.存在x∈R，使得x²+x+1≠0C.对任意x∈R，x²+x+1=0D.不存在x∈R，使得x²+x+1=03.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x²-4x+3<0}，则A∩B为（）A.{x|1<x<3}B.{x|2<x<3}C.{x|1<x<2}D.∅4.命题“∀x∈(0,1)，0<x²<1”的否定为（）A.∃x∈(0,1)，0<x²<1B.∀x∈(0,1)，x²≤0或x²≥1C.∃x∈(0,1)，x²≤0或x²≥1D.∀x∈(0,1)，0<x²<15.已知命题p：“m>0时，方程x²+mx+1=0有实根”，则p的等价命题为（）A.m≤0时，方程x²+mx+1=0无实根B.m>0时，方程x²+mx+1=0无实根C.m≤0时，方程x²+mx+1=0有实根D.m<0时，方程x²+mx+1=0有实根6.若命题p：“a>b”且“b>c”则“a>c”，命题q：“a>b”则“a²>b²”，则下列判断正确的是（）A.p真q假B.p假q真C.p真q真D.p假q假7.已知命题p：“x²-3x+2>0”，命题q：“x>4”，则“p∧q”为真时，x的取值范围是（）A.x>4B.x<1或x>2C.2<x<4D.x>4或x<18.在数列{aₙ}中，若a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2n，则a₅的值为（）A.15B.31C.63D.1279.若命题p：“存在x∈Z，使得x²+x-6=0”，命题q：“∀x∈R，x²+x-6≥0”，则p∨q为（）A.假命题B.真命题C.无法判断D.以上均不对10.已知集合A={x|log₂x>1}，B={x|x²-3x+2>0}，则A∪B为（）A.(0,1)∪(2,3)B.(1,2)∪(3,+∞)C.(0,1)∪(2,+∞)D.(1,3)二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.命题“∀x∈R，x²+1>0”的否定为__________。12.若命题p：“x²>1”的否定为“¬p：x≤1且x≥-1”，则命题p的逆否命题为__________。13.集合A={x|1<x<5}，B={x|x²-6x+5<0}，则A∪B=__________。14.命题“∃x∈(0,2)，x³>1”的否定为__________。15.若命题p：“a=2”且“b=3”，则p的逆命题为__________。16.已知命题p：“m=1”时，方程x²+mx-1=0有正根”，则p的等价命题为__________。17.在数列{aₙ}中，若a₁=3，aₙ₊₁=2aₙ-1，则a₄=__________。18.若集合A={x|x²-4x+3>0}，B={x|x-1>0}，则A∩B=__________。19.命题“∀x∈(1,3)，x²>1”的否定中，量词的变化为__________。20.已知命题p：“存在x∈Z，使得x²+x=2026”，则¬p为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若命题p：“x²>0”且“x≠0”，则p为真命题。22.命题“∀x∈R，x²≥0”的否定为“∃x∈R，x²<0”。23.若集合A={x|x>1}，B={x|x<2}，则A∩B={x|1<x<2}。24.命题“∃x∈(0,1)，x²<1”的否定为“∀x∈(0,1)，x²≥1”。25.若命题p：“a>b”则“a²>b²”，则p为真命题。26.已知命题p：“m=1”时，方程x²+mx-1=0有实根”，则p为真命题。27.集合A={x|x²-1>0}，B={x|x²+x-2<0}，则A∪B=R。28.命题“∀x∈(0,2)，x³>0”的否定为“∃x∈(0,2)，x³≤0”。29.若命题p：“存在x∈Z，使得x²+x=2027”，则¬p为“对任意x∈Z，x²+x≠2027”。30.已知命题p：“a=1”时，不等式a(x-1)>0对任意x∈R恒成立”，则p为真命题。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.写出命题“若x>0，则x²>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。32.已知集合A={x|1<x<5}，B={x|x²-3x+2>0}，求A∩B和A∪B。33.写出命题“∀x∈(0,1)，0<x²<1”的否定，并判断其真假。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.已知命题p：“a>0时，函数f(x)=ax²+bx+c在(0,+∞)上单调递增”，命题q：“a>0且Δ=b²-4ac<0时，方程ax²+bx+c=0无实根”。（1）判断p、q的真假，并说明理由；（2）若p∧q为真，求实数a、b、c满足的条件。35.在数列{aₙ}中，若a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2n，且存在正整数k，使得aₖ>1000。（1）求aₖ的表达式；（2）若数列{bₙ}满足bₙ=2aₙ-1，求bₖ的值；（3）判断是否存在k，使得aₖ+bₖ=2006，并说明理由。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.B4.B5.A6.A7.A8.B9.B10.B解析：1.逆命题为“若a²>4，则a>2”，正确。2.¬p为“对任意x∈R，x²+x+1≠0”，即“对任意x∈R，x²+x+1>0”，正确。3.B={x|1<x<3}，故A∩B={x|2<x<3}。4.否定为“∃x∈(0,1)，0<x²<1”的否定为“∀x∈(0,1)，x²≤0或x²≥1”。5.p的等价命题为“m≤0时，方程x²+mx+1=0无实根”。6.p真（传递性），q假（如a=1>b=0，a²=1>b²=0）。7.p为“x<1或x>2”，q为“x>4”，故p∧q为“x>4”。8.a₂=3，a₃=5，a₄=9，a₅=15。9.p真（x=2或x=-3），q假（如x=1时x²+x-6=-4），故p∨q为真。10.A={x|x>2}，B={x|x<1或x>2}，故A∪B={x|x>2或x<1}。二、填空题11.∃x∈R，x²+1≤0（x²+1>0恒成立，故否定为无解）。12.若x≤1且x≥-1，则x²≤1且x²≥1，矛盾，故逆否命题为“x²≤1或x²≥1”。13.A∪B={x|1<x<5}。14.∀x∈(0,2)，x³≤1。15.若x²>1且y=3，则x>1或x<-1。16.m≠1时，方程x²+mx-1=0无正根。17.a₂=5，a₃=9，a₄=17。18.A∩B={x|x>3}。19.量词从“∀”变为“∃”，范围从“(1,3)”变为“(1,3)”。20.对任意x∈Z，x²+x≠2026。三、判断题21.错（x=0时x²=0）。22.错（否定为“∃x∈R，x²<0”）。23.对。24.对。25.错（如a=-2>b=-3，a²=4>b²=9）。26.对（Δ=1-4(-1)=5>0）。27.对。28.对。29.对。30.错（x=1时a(x-1)=0）。四、简答题31.逆命题：“若x²>0，则x>0”，假（x=-1时x²>0但x<0）；否命题：“若x≤0，则x²≤0”，假（x=-1时x²=1）；逆否命题：“若x²≤0，则x≤0”，真。32.A∩B={x|2<x<3}，A∪B={x|1<x<5}。33.否定：“∃x∈(0,1)，0<x²≥1”，假（x²<1恒成立）。五、应用题34.（1）p真（a>0时，f(x)=ax²+bx+c在x>0时单调递增当且仅当a>0且Δ=b²-4ac≤0，题中未限制Δ，但Δ<0时更严格）；q真（Δ<0无实根）。（2）p∧q为真，需a>0且Δ=b²-4ac<0。