5.5.1.1 两角和与差的正弦函数、余弦函数 教学设计

第第两角和与差的正弦函数、余弦函数教学设计【教材分析】两角和与差的三角函数公式，证法很多，更多的是利用单位圆与解析法，这两种证法突出了公式的几何背景，便于学生理解和掌握。教科书是采用向量的数量积的方法来推证两角差的余弦定了，这样做使得公式的证明过程更简捷，又因为用向量方法推导公式C安排在第四章中，使教科书从第二章平面向量到第四章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时也能从向量的角度，体会公式的几何背景。公式C是其他公式的基础，是本章公式推导体系的“源”。在这里，证明的结果，得到公式达到目的固然重要，但是相比之下，应该更加着重的是推证公式的过程，看重过程中所体现的思想方法。对于其他公式，教科书没有给出推导过程，而是提出问题同时给出提示的方法来呈现，在教师的组织下，由学生探索完成公式的推证，是完全可能的。【学情分析】两角差的余弦公式的探索与证明是本节的难点，在推证之前教材做了大量的引导工作，并利用向量工具进行推证，大大降低里思维难度，学生容易接受只是注意辨析各公式的结构特征和内在联系。【教学目标】1掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，进而推导出两角和与差的其他三角公式，使学生初步理解公式的结构及其功能，并能进行简单的应用。2探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题。【教学重点】两角差的余弦公式的推导。【教学难点】两角和与差的正、余弦公式的灵活应用。【教学过程】一、问题情境对于一些特殊的角，如，，等，大家都知道这些角的三角函数值，但是有一些角，如，，等，这些角虽然不是特殊角，但是可以写成两个特殊的角的和或者差，我们怎样求这些角的三角函数值呢？比如：求cos15=＿＿＿,cos75=＿＿＿。（提示：15=45+30，75=45+30）思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？下面我们就一起来探讨两个角差的余弦函数公式cos(-)。二、新知探究两角差余弦公式的推导已知0<<<，则角的终边与单位圆的交点P1的坐标为＿＿＿＿,向量的坐标为＿＿＿＿；角的终边与单位圆的交点p2的坐标为＿＿＿＿,向量的坐标为＿＿＿＿，向量与向量的夹角为＿＿＿＿,根据：平面向量的数量积公式·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。平面向量的数量积的坐标表示公式·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。cos(-)=（常记作C）说明：当角，为任意角时，此公式亦然成立。注意公式的特征：公式的左边是两个角差的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的和。应用：求cos15=＿＿＿。三、合作探究1.两角和余弦公式的推导请同学们试根据cos(-)，求：cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。(提示：cos(+)=cos[-(-)])（要求一学生上黑板完成）cos(+)=（常记作C）（1）注意公式的特征：公式的左边是两个角和的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的差。（2）比较公式C，C说说两角和与差余弦函数公式的特点：“余余正正符号异”2.两个角和与差的正弦函数公式的推导下面请同学们思考一下两个角和与差的正弦函数公式是怎样的呢？提示：在第一章中我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，怎样使用它们解决我们今天的问题？让同学们先分组讨论，然后动手完成公式的推导。sin(-)=。（常记作S）（提示：sin(-)=cos[-(-)]）sin(+)=。（常记作S）注意公式的特征：公式的左边是两个角和（或差）的正弦函数值，公式的右边是两个单角正余弦值之积与余正弦值之积的和（或差）。简记：“正余余正符号同”※学习两角和与差的正、余弦函数公式，还应注意以下几点：①为任意角；②正确识别公式特征，掌握公式的正用与逆用，灵活运用公式进行恒等变形；③两角和与差的三角函数公式是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例，当中有一个角是的整数倍时，用诱导公式较为方便，不要再用两角和、差的公式展开。四、知识应用1、求，，的值。设计意图：初步体验公式的用法，增进对公式的理解，培养学生的自学能力。师生活动;[学生]独立完成[教师]通过本题，点评：（1）公式的正用，要将构造成两个特殊角的和、差；（2）角的拆分的多样性。2、+；设计意图：灵活运用公式，熟练掌握公式的逆用。师生活动;[学生]独立完成[教师]通过本题，点评：做题时抓住式子的特征：“两角余弦值之积与正弦值之积的和”，想到两角差的余弦函数公式。3、+；设计意图：通过与前一题对照，让学生掌握公式变形应用。师生活动;[学生]独立完成[教师]通过本题，点评：通过与前一题对照，大家容易发现，是或的正、余弦或余、正弦函数值。转化为形如两角和的正弦函数公式或两个角差的余弦函数公式。学会公式的灵活运用。4.已知：=，(,),=-，，求，的值。设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应注意的问题，明确思维的有序性和表述的条理性是三角变换的基本要求。师生活动;[学生]独立完成，并找一学生上黑板完成。[教师]对学生的表述是否规范作出必要的点评和要求。五、当堂检测1.求，的值。2..已知，为锐角，=，=，求的值。（提示：）3.已知=，=，，均为第二象限的角，求sin(+)和sin(-)的值。4.已知，，，求及。【小结】本节我们学习了两角和与差的正、余弦函数公式，首先要认识公式的结构特征，了解公式的推导过程。在解题过程中，应注意角所在的象限，也就是正、余弦的符号问题，掌握公式的正用与逆用，学会灵活运用。【作业】习题3—2A组，第1，2，3题。【课后反思】1.成功之处（1）本节课课堂结构安排合理，师生互动到位，效果较好。（2）完成了教学目标，对于公式的探索、推导引导较好、对于学生的提问恰到好处，讲解清楚。（3）在学法指导方面，充分展示问题的探索过程，交给学生科学的分析问题的思维程序。（4）同学们的复习工作做准备比较充分，使得整个课堂能够顺利进行。（5）对于公式的正用，逆用，变形用，引导学生处理得当。（6）能够在讲课例题的时候加强数学思想方法的指导。2.不足之处（1）课堂小结感觉由学生总结比由老师总结效果要好。（2）对于学生回答的问题评价不够，导致对学生的激励性不强。下课后还有学生找我说，老师我上你的课回答问题都对了，你都没有表扬我。对于学生，我一贯认为“多肯定比多否定要好的多。”这节课上没有做好。（3）部分学生的对比分析，归纳总结的能力较弱，尤其是对于公式的变形应