2025-2026学年北京市平谷区高二（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京平谷高二（上）期末数学2026.1注意事项：1.本样卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.直线经过点和，则直线的斜率（）A. B. C. D.2.抛物线的焦点坐标A. B. C. D.3.已知数列满足，，那么其前4项和等于（）A.7 B.10 C.14 D.154.若直线与圆相切，则的值等于（）A.1或 B.10或 C.或 D.5.“”是“直线和平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.7.已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（）A. B. C. D.8.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chú）甍(méng)”.若底面是边长为4的正方形，，和是等腰三角形，，且平面和平面与平面所成角均为，则多面体所有棱长之和为（）A. B. C. D.9.已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（）A.和既有最大值，又有最小值 B.有最小值，无最大值C.无最大值，无最小值 D.无最小值，有最小值10.某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（）A.没有对称性 B.徽章轮廓是一个圆C.最远的两点距离为厘米 D.平面面积是平方厘米第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11.过点且与直线垂直的直线的方程是____________.12.已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________.13.在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为____________.14.在中，，，，则此三角形的最短边的长度是___________.15.已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论：①；②为等比数列；③数列中存在大于2的项；④数列中无最小项.其中所有正确结论的序号为____________.三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.已知圆的圆心在轴上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）若圆与直线交于两点，，求的面积.17.已知数列的前项和，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和为，求的最大值.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点，在上，且平面.（1）求证：平面；（2）求证：为的中点；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表：高一高二高三选择不选择选择不选择选择不选择参考、工具类204025253010文学类303030202515自然、科学类402040102317假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率（1）假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数；（2）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率；（3）记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）20.已知椭圆的短半轴长为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为的直线过左焦点，且与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在，使得为等腰直角三角形，若有，求直线方程；若没有，说明理由.21.定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”.（1）已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式.（2）若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列；（3）设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式.

参考答案第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）题号12345678910答案ABCAACBDAC第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11.【答案】【分析】根据两直线垂直可得直线的斜率为2，再由直线的点斜式方程可得结果.【详解】易知直线的斜率为，由两直线垂直可知直线的斜率为2，又直线过点，所以直线的方程是，即.故答案为：12.【答案】【分析】先求抛物线的准线方程，设点的坐标为，由条件列方程求，再求，利用两点距离公式求结论即可.【详解】抛物线的准线为，设点的坐标为，由抛物线上的点到准线的距离为，可得，解得.由，所以，所以，即，故答案为：13.【答案】【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，；设平面的一个法向量为，则，令，可得，设点到平面的距离为，则.故答案为：14.【答案】##【分析】由，求出，判断得到为最短边，利用正弦定理求出的值即可．【详解】在中，，，，故为最短边，又，由正弦定理，得，解得.故答案为：.15.【答案】①④【分析】令和可判断①；令求出结合等比数列定义可判断②；利用和的关系得出，然后利用数列的各项均为正数可判断③；利用数列的单调性可判断④.【详解】令可得，解得或（舍去），令可得，即，解得或（舍去），故①正确；令可得，即，解得或（舍去），，所以不是等比数列，故②错误；由可变形为，，两式相减得，整理可得，由可得，结合可知数列中不存在大于2的项，故③错误；由可得，所以，所以数列单调递减无最小项.故④正确.故答案为：①④三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.【答案】【小问1详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆心为，半径为，则，即，解得，所以圆的圆心为，半径为，即圆的标准方程为；【小问2详解】设圆心与直线的距离为，则，所以，所以.17.【答案】【小问1详解】因为，所以当时，，两式作差得，，即，当时，，得，则由以上递推关系可知，故，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；设等差数列的公差为，因为，，所以，所以.【小问2详解】由（1）可知：，则，当或时，取到最大值为．18.【答案】【小问1详解】因为，，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，因为，，所以，所以，因为，，，平面，所以平面；【小问2详解】因为平面，平面，平面平面，所以，又是的中点，在上，所以为的中点；【问3详解】取的中点，因为，所以，由（1）平面，平面，所以，，如图以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，取，则，，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【答案】【小问1详解】由题意可知，喜欢借阅文学类书籍的学生的频率为，因此估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数为.【小问2详解】由题意可知，高一年级选择借阅文学类书籍的概率,高二年级选择借阅文学类书籍的概率,高三年级选择借阅文学类书籍的概率,因此估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率为.【小问3详解】由题意可知，，设，，的平均值为，，，的平均值为，则，，而，，的方差为，，，的方差为，则.20.【答案】【小问1详解】已知短半轴长，离心率.由椭圆关系，代入和得：，即.因此椭圆的标准方程为：【小问2详解】由(1)可知左焦点为，设直线，代入椭圆方程得：设，中点，则.垂直平分线斜率为，方程为令得点坐标为.因为为等腰直角三角形，在的垂直平分线上，所以，且到直线的距离为.所以到直线的距离为.所以，化简得：化简可得：.解得(舍去).因此不存在使为等腰直角三角形.21.【答案】【小问1详解】因为数列是