2025-2026学年北京市通州区高二上学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，由直线方程为，所以直线的斜率为，即，又，所以，故选：A.2.已知圆的方程为，则圆的（）A.圆心为，半径为2 B.圆心为，半径为4C.圆心为，半径为2 D.圆心为，半径为4【答案】A【解析】圆的方程为，即，所以圆心为，半径为2，故选：A.3.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，即，解得：，所以，故选：C.4.已知直线，的方向向量分别为，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线与所成角为，则.故选：D.5.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点关于轴的对称点为点，所以点在坐标平面内的射影为点，故选：B.6.如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，连接，如图所示：因为点为的中点，，所以，故选：A.7.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（）A.2 B. C.3 D.4【答案】D【解析】因为椭圆上顶点，所以，因为为等腰直角三角形，所以，因为，所以椭圆的长轴长.故选：D.8.如图，两个三棱锥与的公共底面是边长为2的正三角形，顶点，在底面的同侧.两个棱锥的高，为的中点，则平面与平面的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，因为是中点，，所以，因为平面，平面，所以，，又因为平面，，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即平面与平面所成的角，因为平面，平面，所以，又因为，，所以四边形为矩形，在三角形中，，在三角形中，，所以.故选：B.9.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度约为3.50米，则点到平面的距离约为（）（结果精确到0.01米）（参考数值，）A.2.28米 B.2.30米 C.2.32米 D.2.35米【答案】D【解析】设点到平面的距离为，因为，所以，由正方体可得，所以，解得，所以点到平面的距离为，又因为平面与平面平行，直绳索的长度约为3.50米，所以点到平面的距离约为.故选：D.10.已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（）A. B.C.，或 D.，或【答案】D【解析】如图所示，当两圆在同一象限时，过作垂直轴于，过作垂直轴于，作垂直于于，可知，，所以，由，可得，即；如图所示，当两圆不在同一象限时，过作垂直与轴于，过作垂直与轴于，交于，可知，，所以，由，可得，即.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________.【答案】①.2②.或【解析】令，可得，所以直线在轴上的截距为.点到直线的距离为.故答案为：2；.12.已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则__________.【答案】【解析】因为椭圆，所以可得，所以，又因为点为椭圆上一点，所以.故答案为：.13.已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】由题意可得与同向的单位向量，设，则，点到直线的距离．故答案为：.14.已知直线，曲线.（i）若，则与的交点个数为__________；（ii）若与有两个不同的交点，则实数的取值范围是____________.【解析】（i）由曲线，可得，表示圆心为，半径为的圆在轴上及右侧的部分，当时，直线，所以与的交点个数为1；（ii）直线过点时与有两个交点，此时，当直线与相切时，得，解得或（舍去），结合图形，可得与有两个不同的交点，实数的取值范围是.故答案为：①1；②.15.如图，在正方体中，，点在线段上运动，给出下列四个结论：①存在点，使得三棱锥的体积为；②存在点，使得与所成角的大小为；③点到平面的距离随的增大，先变大再变小；④直线与平面所成的角随的增大，先变大再变小.其中所有正确结论的序号是_____________.【答案】①④【解析】①三棱锥体积可看作作为底面,为高，所以,又因为点在线段上运动，的最大值是2,所以体积的范围是，因为,故①正确.②因为,所以与所成角等于与所成角，即,,在三角形内的最小值为,最大值是2,所以,而,不在范围内，故②错误.③因为,,,所以.点到平面的距离等于点到平面的距离，如图所示，过C作的垂线,交于点E,又因为,所以,又因为,所以,所以点到平面的距离是的长.由图形可得,逐渐减小，所以也逐渐减小，故③错误.④因为，所以直线与平面所成的角等于直线与所成的角，即，,因为是先减小后增大的，所以就先增大后减小,故④正确.故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知点，，直线.（1）若直线经过点，且，求直线的方程；（2）若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程；（3）若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程.解：（1）因为，所以设直线的方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）因为点，的中点为，,所以直线的方程为，即.（3）设所求圆方程为，则，解得，所以圆的方程为.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为的中点.（1）求平面的一个法向量；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）因为平面，且底面是正方形，所以两两互相垂直，所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：由，所以又点为中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，令，所以，所以平面的一个法向量为.（2）由（1）知，所以，设直线与平面所成角为，且平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.18.已知椭圆的左右焦点分别为，.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求椭圆的离心率；（3）若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值.解：（1）由椭圆，得，所以，所以，所以椭圆的左右焦点坐标为，.（2）由（1）可得，所以，所以椭圆的离心率为.（3）由，可得，整理得.因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以，解得，所以直线与椭圆有且只有一个交点，实数的值为.19.已知圆经过点，且与轴相切.（1）若，直线与圆交于两点，求线段的长；（2）点为坐标原点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求圆的方程.条件①：直线的方程为；条件②：的面积为.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）因为，且圆经过点，所以，③且圆与轴相切，所以，④联立③④解得：，所以圆，由圆心到直线的距离为：，所以线段的长为：.（2）若选条件①：由题意圆经过点，且与轴相切，得出：且，⑤由圆心为，直线的方程为，所以，⑥联立⑤⑥得，解得：或，当时，，此时圆的方程为：，当时，，此时圆的方程为：.若选条件②：由题意圆经过点，且与轴相切，得出：且，即，因为的面积为，所以，所以，当时，代入得：，此时，所以圆的方程为：，当时，代入得：，此时，所以圆的方程为：.20.如图，在三棱柱中，平面，，，点，分别为，的中点.（1）求，两点间的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在上是否存在一点，使得点在平面内.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，为BC中点，所以，且，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，则，，所以两点的距离为.（2），显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面的夹角为，则.（3）设，则，，由在平面内可知，即，解得，所以存在点，当时，点在平面内.21.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值；（3）点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值.解：（1）由题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则有，两式相减得，联立直线与椭圆的方程得，消去整理得，则有，解得，.（3）设，则，直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，与椭圆联立消去得：，所以，解得，，直线的方程为，令，则，所以.北京市通州区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，由直线方程为，所以直线的斜率为，即，又，所以，故选：A.2.已知圆的方程为，则圆的（）A.圆心为，半径为2 B.圆心为，半径为4C.圆心为，半径为2 D.圆心为，半径为4【答案】A【解析】圆的方程为，即，所以圆心为，半径为2，故选：A.3.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，即，解得：，所以，故选：C.4.已知直线，的方向向量分别为，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线与所成角为，则.故选：D.5.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点关于轴的对称点为点，所以点在坐标平面内的射影为点，故选：B.6.如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，连接，如图所示：因为点为的中点，，所以，故选：A.7.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（）A.2 B. C.3 D.4【答案】D【解析】因为椭圆上顶点，所以，因为为等腰直角三角形，所以，因为，所以椭圆的长轴长.故选：D.8.如图，两个三棱锥与的公共底面是边长为2的正三角形，顶点，在底面的同侧.两个棱锥的高，为的中点，则平面与平面的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，因为是中点，，所以，因为平面，平面，所以，，又因为平面，，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即平面与平面所成的角，因为平面，平面，所以，又因为，，所以四边形为矩形，在三角形中，，在三角形中，，所以.故选：B.9.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度约为3.50米，则点到平面的距离约为（）（结果精确到0.01米）（参考数值，）A.2.28米 B.2.30米 C.2.32米 D.2.35米【答案】D【解析】设点到平面的距离为，因为，所以，由正方体可得，所以，解得，所以点到平面的距离为，又因为平面与平面平行，直绳索的长度约为3.50米，所以点到平面的距离约为.故选：D.10.已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（）A. B.C.，或 D.，或【答案】D【解析】如图所示，当两圆在同一象限时，过作垂直轴于，过作垂直轴于，作垂直于于，可知，，所以，由，可得，即；如图所示，当两圆不在同一象限时，过作垂直与轴于，过作垂直与轴于，交于，可知，，所以，由，可得，即.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________.【答案】①.2②.或【解析】令，可得，所以直线在轴上的截距为.点到直线的距离为.故答案为：2；.12.已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则__________.【答案】【解析】因为椭圆，所以可得，所以，又因为点为椭圆上一点，所以.故答案为：.13.已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】由题意可得与同向的单位向量，设，则，点到直线的距离．故答案为：.14.已知直线，曲线.（i）若，则与的交点个数为__________；（ii）若与有两个不同的交点，则实数的取值范围是____________.【解析】（i）由曲线，可得，表示圆心为，半径为的圆在轴上及右侧的部分，当时，直线，所以与的交点个数为1；（ii）直线过点时与有两个交点，此时，当直线与相切时，得，解得或（舍去），结合图形，可得与有两个不同的交点，实数的取值范围是.故答案为：①1；②.15.如图，在正方体中，，点在线段上运动，给出下列四个结论：①存在点，使得三棱锥的体积为；②存在点，使得与所成角的大小为；③点到平面的距离随的增大，先变大再变小；④直线与平面所成的角随的增大，先变大再变小.其中所有正确结论的序号是_____________.【答案】①④【解析】①三棱锥体积可看作作为底面,为高，所以,又因为点在线段上运动，的最大值是2,所以体积的范围是，因为,故①正确.②因为,所以与所成角等于与所成角，即,,在三角形内的最小值为,最大值是2,所以,而,不在范围内，故②错误.③因为,,,所以.点到平面的距离等于点到平面的距离，如图所示，过C作的垂线,交于点E,又因为,所以,又因为,所以,所以点到平面的距离是的长.由图形可得,逐渐减小，所以也逐渐减小，故③错误.④因为，所以直线与平面所成的角等于直线与所成的角，即，,因为是先减小后增大的，所以就先增大后减小,故④正确.故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知点，，直线.（1）若直线经过点，且，求直线的方程；（2）若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程；（3）若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程.解：（1）因为，所以设直线的方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）因为点，的中点为，,所以直线的方程为，即.（3）设所求圆方程为，则，解得，所以圆的方程为.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为的中点.（1）求平面的一个法向量；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）因为平面，且底面是正方形，所以两两互相垂直，所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：由，所以又点为中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，令，所以，所以平面的一个法向量为.（2）由（1）知，所以，设直线与平面所成角为，且平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.18.已知椭圆的左右焦点分别为，.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求椭圆的离心率；（3）若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值.解：（1）由椭圆，得，所以，所以，所以椭圆的左右焦点坐标为，.（2）由（1）可得，所以，所以椭圆的离心率为.（3）由，可得，整理得.因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以，解得，所以直线与椭圆有且只有一个交点，实数的值为.19.已知圆经过点，且与轴相切.（1）若，直线与圆交于两点，求线段的长；（2）点为坐标原点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求圆的方程.条件①：直线的方