2025-2026学年北京市通州区高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由命题，所以为：.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故选：C.3.已知，则有（）A.最大值1 B.最小值1C.最大值3 D.最小值3【答案】D【解析】因为，则，所以，当且仅当“”即时，等号成立.所以当时，有最小值为3.故选：D.4.若，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A，由，所以，所以，故A正确；对于B，当时，，所以，故B错误；对于C，当时，所以，故C错误；对于D，当时，，所以，故D错误.故选：A.5.已知函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】是偶函数，.又在上单调递减，故选：C.6.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】，由可得，解得：或，所以“”不能推出“”；当时，可得：，所以“”可以推出“”，“”是“”的必要非充分条件．故选：B．7.已知，，则下列式子不成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，所以，所以，故A正确；由，故B错误；由，由，又，所以（当时取等号），因为，所以等号不能取到，故，故C正确；因为，所以，又由，因为，所以，所以，故D正确，故选：B.8.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为A. B.C. D.【答案】A【解析】分两种情况讨论：（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，从而可以求得，（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得，所以，从而可选出正确的图象，故选A.9.已知，则的大小关系不可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则等价于.因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系.根据图象分析的大小关系共有以下4种情况：①；②；③；④；⑤.故选：D.10.在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）：（分钟）0510754530用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得：当时，，当时，，当时，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，则，所以当时，，即当时，缓存中未被读取的信息比例约为.故选：B.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为____________.【答案】【解析】解：根据函数，可得，求得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.已知幂函数的图象过点，则__________.【答案】【解析】设，则，解得，所以.故答案为：.13.已知函数的对应关系如下表：123424312143则__________；不等式的解集为__________.【答案】；【解析】由表可知，则，又因为，，，，所以满足的只有，即不等式的解集为.故答案为：；14.函数，若时，则的值为__________；若满足且，，则实数的取值范围是__________.【答案】；【解析】当时，，所以；作出函数与的图像，当时，作出的图像，由图可知，且，，即满足题意，当时，作出的图像，由图可知，且，，即满足题意，综上所述，，故答案为：；.15.已知函数，①存在实数，使得函数为奇函数；②任意实数，当时，都有；③任意实数，存在实数，使得方程有三个不相等的实数根；④若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】对于①，若为奇函数，则，故，整理得，其中，故即，其中，故，故①正确；对于②，若，则当时，，而的对称轴为，故在上为增函数，故；若，则，当时，，当时，因为，故，故在上为增函数，故；综上，在上恒成立，故②正确；对于③，，当时，则，故在上为增函数，在为增函数，故在上为增函数，故对任意实数，方程不可能有三个不同的实数根，故③错误；对于④，结合③的分析可得或，若，则，故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数，而有三个不相等的实数根，故，故，故设，由双勾函数的单调性可得，故，故.若，则，故在上为增函数，在上为增函数即为上的增函数，故不可能有三个不相等的实数根，舍；若，则，故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数，而有三个不相等的实数根，故，故，故，同理，故，综上，，故④正确.故答案为：①②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数的图象过点和.（1）求函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）求不等式的解集.解：（1）将两点代入函数得：解得：所以函数的解析式为.（2）不等式等价于所以不等式的解集为.（3）将代入得：，所以，所以，所以，故不等式的解集为.17.设集合，集合，.（1）当时，求；（2）从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：；条件②：若“”是“”的充分条件.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.解：（1）由，即，解得，所以，所以或，当时，，故或.（2）若选条件①，因为，，，所以，所以，解得，故所求实数的取值范围是.若选条件②，因为“”是“”的充分条件，故，所以，解得，故所求实数的取值范围是.18.已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）当时，试比较与的大小，并说明理由.解：（1）由题意得定义域为，因为为偶函数，所以，即，解得，当时，，由二次函数性质得其为偶函数，符合题意.（2）任取，则，因为，所以，得到，则，即，故函数在上单调递增.（3）记恒成立，而，，则，故，由（2）知当时，函数在上单调递增，故.19.某训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.已知该平台的模型训练任务分为“轻量训练”（数据量不高于10千）和“深度训练”（数据量高于10千）两类，其能源消耗费用（单位：千元）与训练数据量（单位：千）的关系为：.平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千数据收入为11千元，深度训练每千数据收入为20千元.（1）求该平台训练的毛利润（单位：千元）关于训练数据量（单位：千）的函数关系式（毛利润=总收入-能源消耗费用）；（2）当训练数据量为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少？解：（1）由题知故.（2）当时，对称轴为，故的最大值.当时，，则，当且仅当千时，等号成立.因为，故当训练数据量为15千时，平台毛利润最大为80千元.20.已知二次函数.（1）若图象恒在轴的下方，求实数的取值范围；（2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.解：（1）因为图象恒在轴的下方，且二次项系数为，则，即，所以.（2）开口向下，对称轴为，因为在区间上是单调函数，故或.（3）在为减函数，故在上值域为，因为对任意，总存在，使，故的值域是值域的子集，当时，在上单调递减，值域为，则，此不等式组无解；当时，在上单调递增，值域为，则，故；当时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，最小值为，则令，故；综上，实数的取值范围是.21.对于正整数，集合，若存在非空子集，满足：①；②；③中元素之和等于元素之积．则称集合为“可拆数集”．（1）判断是否为“可拆数集”，并说明理由；（2）证明：对于任意整数，是“可拆数集”．解：（1），取，，，中元素和为，中元素积为，满足条件①②③，是“可拆数集”；，假设是“可拆数集”，单元素子集与其所对应的：,积为1和为9，不相等；,积为2和为8，不相等；,积为3和为7，不相等；,积为4和为6，不相等；双元素子集与其所对应的：,积为2和为7，不相等；,积为3和为6，不相等；,积为4和为5，不相等；,积为6和为5，不相等；,积为8和为4，不相等；,积为和为3，不相等；三元素子集与其所对应的：,积为6和为4，不相等；,积为8和为3，不相等；,积为和为2，不相等；,积为和为1，不相等；不存在满足条件的，故不是“可拆数集”．（2）当为偶数时，设，不妨取，记积，和，全集和，，满足条件；当为奇数时，设，不妨取，记积，和，全集和，，满足条件，对任意整数，均可构造满足条件的非空子集，故是“可拆数集”，命题得证．北京市通州区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由命题，所以为：.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故选：C.3.已知，则有（）A.最大值1 B.最小值1C.最大值3 D.最小值3【答案】D【解析】因为，则，所以，当且仅当“”即时，等号成立.所以当时，有最小值为3.故选：D.4.若，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A，由，所以，所以，故A正确；对于B，当时，，所以，故B错误；对于C，当时，所以，故C错误；对于D，当时，，所以，故D错误.故选：A.5.已知函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】是偶函数，.又在上单调递减，故选：C.6.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】，由可得，解得：或，所以“”不能推出“”；当时，可得：，所以“”可以推出“”，“”是“”的必要非充分条件．故选：B．7.已知，，则下列式子不成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，所以，所以，故A正确；由，故B错误；由，由，又，所以（当时取等号），因为，所以等号不能取到，故，故C正确；因为，所以，又由，因为，所以，所以，故D正确，故选：B.8.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为A. B.C. D.【答案】A【解析】分两种情况讨论：（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，从而可以求得，（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得，所以，从而可选出正确的图象，故选A.9.已知，则的大小关系不可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则等价于.因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系.根据图象分析的大小关系共有以下4种情况：①；②；③；④；⑤.故选：D.10.在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）：（分钟）0510754530用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得：当时，，当时，，当时，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，则，所以当时，，即当时，缓存中未被读取的信息比例约为.故选：B.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为____________.【答案】【解析】解：根据函数，可得，求得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.已知幂函数的图象过点，则__________.【答案】【解析】设，则，解得，所以.故答案为：.13.已知函数的对应关系如下表：123424312143则__________；不等式的解集为__________.【答案】；【解析】由表可知，则，又因为，，，，所以满足的只有，即不等式的解集为.故答案为：；14.函数，若时，则的值为__________；若满足且，，则实数的取值范围是__________.【答案】；【解析】当时，，所以；作出函数与的图像，当时，作出的图像，由图可知，且，，即满足题意，当时，作出的图像，由图可知，且，，即满足题意，综上所述，，故答案为：；.15.已知函数，①存在实数，使得函数为奇函数；②任意实数，当时，都有；③任意实数，存在实数，使得方程有三个不相等的实数根；④若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】对于①，若为奇函数，则，故，整理得，其中，故即，其中，故，故①正确；对于②，若，则当时，，而的对称轴为，故在上为增函数，故；若，则，当时，，当时，因为，故，故在上为增函数，故；综上，在上恒成立，故②正确；对于③，，当时，则，故在上为增函数，在为增函数，故在上为增函数，故对任意实数，方程不可能有三个不同的实数根，故③错误；对于④，结合③的分析可得或，若，则，故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数，而有三个不相等的实数根，故，故，故设，由双勾函数的单调性可得，故，故.若，则，故在上为增函数，在上为增函数即为上的增函数，故不可能有三个不相等的实数根，舍；若，则，故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数，而有三个不相等的实数根，故，故，故，同理，故，综上，，故④正确.故答案为：①②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数的图象过点和.（1）求函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）求不等式的解集.解：（1）将两点代入函数得：解得：所以函数的解析式为.（2）不等式等价于所以不等式的解集为.（3）将代入得：，所以，所以，所以，故不等式的解集为.17.设集合，集合，.（1）当时，求；（2）从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：；条件②：若“”是“”的充分条件.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.解：（1）由，即，解得，所以，所以或，当时，，故或.（2）若选条件①，因为，，，所以，所以，解得，故所求实数的取值范围是.若选条件②，因为“”是“”的充分条件，故，所以，解得，故所求实数的取值范围是.18.已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）当时，试比较与的大小，并说明理由.解：（1）由题意得定义域为，因为为偶函数，所以，即，解得，当时，，由二次函数性质得其为偶函数，符合题意.（2）任取，则，因为，所以，得到，则，即，故函数在上单调递增.（3）记恒成立，而，，则，故，由（2）知当时，函数在上单调递增，故.19.某训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.已知该平台的模型训练任务分为“轻量训练”（数据量不高于10千）和“深度训练”（数据量高于10千）两类，其能源消耗费用（单位：千元）与训练数据量（单位：千）的关系为：.平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千数据收入为11千元，深度训练每千数据收入为20千元.（1）求该平台训练的毛利润（单位：千元）关于训练数据量（单位：千）的函数关系式（毛利润=总收入-能源消耗费用）；（2）当训练数据量为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少？解：（1）由题知故.（2）当时，对称轴为，故的最大值.当时，，则，当且仅当千时，等号成立.因为，