2025-2026学年福建省福州市九师联盟高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市九师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C.0 D.不存在【答案】C【解析】由方程，可知直线与轴平行，倾斜角为0，故选：C.2.已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点在平面内，且，所以，解得.故选：D.3.若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的短轴长是焦距的倍，，即，则，即，则，椭圆的离心率为.故选：B.4.已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴两圆方程相减得，，化简得.故选：B.5.直线与椭圆交点个数为（）A.1 B.2 C.1或2 D.无法确定【答案】C【解析】由直线，得，即直线过定点.又因为，所以此定点在椭圆上.即直线与椭圆有1个或2个交点.故选：C.6.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得，为的重心，所以，，，则，，，故点到直线的距离为.故选：A.7.已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知到的距离，要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得，故选：A.8.已知椭圆两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】由题可知，所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上，其椭圆方程为.联立即即两式相加可得，则，当时，的最小值为4，即的最小值为2.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为，且直线的方程为，设直线的方程为，，根据题意得，解得或，所以直线的方程为或．故选：BC．10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（）A.若，则B.面积的最大值为C.的最大值为D.满足是直角三角形的点有4个【答案】BC【解析】在椭圆中，，，，且，对于A，当时，则，由余弦定理得，而，则，A错误；对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大，因此面积的最大值为，B正确；对于C，由，即，得，C正确；对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，解得，此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误.故选：BC11.在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则，，，四点共面C.直线与直线所成角的余弦值为D.四棱柱的体积为【答案】ABD【解析】由题意知，若，则，故A正确；由题意知，若，则，可得，所以，即，所以，，，四点共面，故B正确；因为，，，且，所以，又，所以，所以，所以，即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误；记点在平面内的投影为，设，所以，又，，所以，，解得，，所以，所以，即四棱柱高为，所以四棱柱的体积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量，若，则__________.【答案】【解析】因为，所以存在实数使得，即，所以，解得，所以.故答案为：.13.过点与圆相切的直线方程为____________．【答案】或【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆外，当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切；当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即，则，解得，故方程为；综上所述：直线方程为或.故答案为：或.14.已知点是直线上一点，则的最小值是__________.【答案】【解析】，记，则原代数式表示，作点关于直线的对称点，则，所以，当三点共线时等号成立，所以的最小值为5.故答案为：5.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线与直线相交于点．（1）求过点且与直线垂直的直线的方程；（2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程．解：（1）由得所以点．设过点且与直线垂直的直线的方程为，将点代入方程得，解得，所以所求直线的方程为．（2）当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意，设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线方程为．当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得，故所求直线方程为，即．综上所述，所求直线的方程为或．16.如图，在四面体中，平面分别为中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为分别为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）解：因为，所以，即.因平面平面，所以，故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则即不妨设，则，所以.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为．（1）求的方程；（2）过的直线交于、两点，若，求直线的方程．解：（1）设，因为，所以，，因为的周长为，面积为,所以，，即，，又，所以，，，所以C的方程为.（2）由（1）知，因为的长轴长为4，故的斜率不为0，设的方程为，，，与的方程联立，得，消去并整理，得，恒成立，所以，，又，解得，故的方程为，即．18.如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，.（1）证明：；（2）求的长；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：易知，因为，所以，所以，故.（2）解：由（1）知，因为，所以，所以.（3）解：如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则由，得解得，所以，则.设平面的法向量为，由即取，则，设平面的法向量为，由即取，则，设二面角的大小为，因为，所以.所以，整理得，解得或(舍去).故线段上存在满足题意的点，且点为线段的中点.19.设圆C过点且与圆：相切于点．（1）求C的方程；（2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值；（3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值.（1）解：由已知，将圆的一般方程化为标准方程为，所以圆的圆心，半径，因为圆C与圆相切于点，所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆C的圆心，因为，在圆C上，所以，所以，解得，则圆心C坐标为，半径，所以圆C的方程为．（2）解：设，因为，，三点，所以，因为点P在圆上运动，则，解得，所以，当时，取得最大值88，当时，取得最小值72．（3）证明：解法一：由题可知，，因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在，所以设直线m的方程为，将代入，得：．设，，所以，，所以，所以为定值，这个定值为12．解法二：取中点H，连，则，，所以．所以为定值，这个定值为12．福建省福州市九师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C.0 D.不存在【答案】C【解析】由方程，可知直线与轴平行，倾斜角为0，故选：C.2.已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点在平面内，且，所以，解得.故选：D.3.若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的短轴长是焦距的倍，，即，则，即，则，椭圆的离心率为.故选：B.4.已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴两圆方程相减得，，化简得.故选：B.5.直线与椭圆交点个数为（）A.1 B.2 C.1或2 D.无法确定【答案】C【解析】由直线，得，即直线过定点.又因为，所以此定点在椭圆上.即直线与椭圆有1个或2个交点.故选：C.6.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得，为的重心，所以，，，则，，，故点到直线的距离为.故选：A.7.已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知到的距离，要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得，故选：A.8.已知椭圆两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】由题可知，所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上，其椭圆方程为.联立即即两式相加可得，则，当时，的最小值为4，即的最小值为2.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为，且直线的方程为，设直线的方程为，，根据题意得，解得或，所以直线的方程为或．故选：BC．10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（）A.若，则B.面积的最大值为C.的最大值为D.满足是直角三角形的点有4个【答案】BC【解析】在椭圆中，，，，且，对于A，当时，则，由余弦定理得，而，则，A错误；对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大，因此面积的最大值为，B正确；对于C，由，即，得，C正确；对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，解得，此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误.故选：BC11.在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则，，，四点共面C.直线与直线所成角的余弦值为D.四棱柱的体积为【答案】ABD【解析】由题意知，若，则，故A正确；由题意知，若，则，可得，所以，即，所以，，，四点共面，故B正确；因为，，，且，所以，又，所以，所以，所以，即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误；记点在平面内的投影为，设，所以，又，，所以，，解得，，所以，所以，即四棱柱高为，所以四棱柱的体积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量，若，则__________.【答案】【解析】因为，所以存在实数使得，即，所以，解得，所以.故答案为：.13.过点与圆相切的直线方程为____________．【答案】或【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆外，当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切；当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即，则，解得，故方程为；综上所述：直线方程为或.故答案为：或.14.已知点是直线上一点，则的最小值是__________.【答案】【解析】，记，则原代数式表示，作点关于直线的对称点，则，所以，当三点共线时等号成立，所以的最小值为5.故答案为：5.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线与直线相交于点．（1）求过点且与直线垂直的直线的方程；（2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程．解：（1）由得所以点．设过点且与直线垂直的直线的方程为，将点代入方程得，解得，所以所求直线的方程为．（2）当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意，设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线方程为．当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得，故所求直线方程为，即．综上所述，所求直线的方程为或．16.如图，在四面体中，平面分别为中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为分别为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）解：因为，所以，即.因平面平面，所以，故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则即不妨设，则，所以.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为．（1）求的方程；（2）过的直线交于、两点，若，求直线的方程．解：（1）设，因为，所以，，因为的周长为，面积为,所以，，即，，又，所以，，，所以C的方程为.（2）由（1）知，因为的长轴长为4，故的斜率不为0，设的方程为，，，与的方程联立，得，消去并整理，得，恒成立，所以，，又，解得，故的方程为，即．18.如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，.（1）证明：；（2）