2026年高等数学复变函数基础题试题及真题

2026年高等数学复变函数基础题试题及真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z满足|z-1|=1，则z在复平面上的轨迹是（）A.以(1,0)为圆心，半径为1的圆B.以(0,1)为圆心，半径为1的圆C.以(1,1)为圆心，半径为1的圆D.以(1,0)为圆心，半径为2的圆2.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=0处的留数是（）A.0B.1/2C.-1/2D.13.设C为正向圆周|z|=2，则积分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz的值是（）A.2πiB.4πiC.6πiD.8πi4.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，系数a_3等于（）A.1B.1/2C.1/6D.1/245.若函数f(z)在区域D内解析，且f(z)≠0，则下列结论正确的是（）A.f(z)在D内必为常数B.f(z)在D内必为整函数C.f(z)的实部在D内必为调和函数D.f(z)的虚部在D内必为调和函数6.函数w=1/(1-z)将点z=-1映射到w的值是（）A.1B.-1C.1/2D.-1/27.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则下列柯西-黎曼方程组成立的是（）A.∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂xB.∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=∂v/∂xC.∂u/∂x=-∂v/∂y，∂u/∂y=∂v/∂xD.∂u/∂x=-∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x8.设函数f(z)=sin(z)，则f(z)的导数f'(z)等于（）A.cos(z)B.-cos(z)C.isin(z)D.-isin(z)9.若函数f(z)在闭区域D上连续，在D内解析，且在边界上f(z)=0，则由柯西定理可知（）A.f(z)在D内恒为0B.∮_∂Df(z)dz=0C.f(z)在D内必为常数D.f(z)在D内必为指数函数10.函数w=ln(z)在z=1处的导数等于（）A.1B.-1C.iD.-i二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z=3+4i，则|z|等于________。2.函数f(z)=z^2在z=1处的留数等于________。3.积分∮_Czdz，其中C为|z|=1的正向圆周，其值等于________。4.函数f(z)=sin(z)的泰勒级数展开式中，z^5项的系数等于________。5.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，且u(x,y)=x^2-y^2，则v(x,y)等于________。6.函数w=1/z将点z=2映射到w的值等于________。7.柯西-黎曼方程组为________。8.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，z^4项的系数等于________。9.若函数f(z)在闭区域D上连续，在D内解析，且在边界上f(z)=1，则由柯西定理可知∮_∂Df(z)dz等于________。10.函数w=arctan(z)在z=0处的导数等于________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z1和z2满足|z1|=|z2|，则z1=z2。（×）2.函数f(z)=z^2在z=0处解析。（√）3.积分∮_C1/zdz，其中C为|z|=1的正向圆周，其值等于2πi。（√）4.函数f(z)=sin(z)在复平面上处处解析。（√）5.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内必为调和函数。（√）6.函数w=1/(1-z)在z=1处不解析。（√）7.柯西-黎曼方程组为∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。（√）8.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，常数项等于1。（√）9.若函数f(z)在闭区域D上连续，在D内解析，且在边界上f(z)=0，则∮_∂Df(z)dz=0。（√）10.函数w=ln(z)在z=0处解析。（×）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述柯西定理的内容及其适用条件。答：柯西定理指出，若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任意简单闭曲线C，有∮_Cf(z)dz=0。适用条件为f(z)在D内解析且D为单连通区域。2.解释什么是解析函数的留数，并举例说明留数定理的应用。答：解析函数在孤立奇点处的留数是该函数在奇点处洛朗级数展开式中(-1)^1·1/z项的系数。留数定理指出，若函数f(z)在闭区域D上连续，在D内除有限个孤立奇点外解析，且C为D的边界，则∮_Cf(z)dz=2πi∑Res(f,z_k)，其中∑Res(f,z_k)为所有孤立奇点处留数的和。例如，函数f(z)=z/(z^2+1)在z=±i处有孤立奇点，其留数分别为1/(2i)和-1/(2i)，则∮_Cf(z)dz=2πi(1/(2i)-1/(2i))=0。3.说明函数w=1/z在复平面上的保角性，并解释其意义。答：函数w=1/z在复平面上除z=0外处处解析，且其导数dw/dz=-1/z^2在z≠0时非零，因此w=1/z在复平面上除z=0外处处保角。保角性意味着该函数在保持角度不变的情况下将复平面映射到其他区域，例如将角形区域映射为带形区域。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.计算积分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz，其中C为正向圆周|z|=2。解：函数f(z)=(z^2+2z+3)/(z-1)在z=1处有孤立奇点，其他点解析。由于|z|=2包含z=1，根据留数定理，∮_Cf(z)dz=2πiRes(f,1)=2πi[(z^2+2z+3)/(z-1)]'_{z=1}=2πi(2z+2)_{z=1}=8πi。2.求函数f(z)=z^2在区域|z|<1内的泰勒级数展开式，并计算f(1/2)的近似值。解：函数f(z)=z^2在z=0处解析，其泰勒级数展开式为f(z)=∑a_nz^n，其中a_n=f^(n)(0)/n!=0（n≥3），a_2=2，a_1=0，a_0=0。因此，f(z)=2z^2。f(1/2)=2(1/2)^2=0.5。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：|z-1|=1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆。2.B解析：f(z)=z/(z^2+1)在z=0处的留数为1/2。3.A解析：根据留数定理，∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz=2πiRes(f,1)=2πi(2z+2)_{z=1}=2πi。4.C解析：e^z的泰勒级数展开式为∑z^n/n!，z^3项系数为1/6，z^4项系数为1/24，z^5项系数为1/120，因此a_3=1/6。5.C解析：解析函数的实部必为调和函数。6.C解析：w=1/(1-z)将z=-1映射到w=1/(1-(-1))=1/2。7.A解析：柯西-黎曼方程组为∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。8.A解析：f(z)=sin(z)的导数f'(z)=cos(z)。9.B解析：根据柯西定理，∮_∂Df(z)dz=0。10.A解析：w=ln(z)在z=1处的导数为1。二、填空题1.5解析：|z|=√(3^2+4^2)=5。2.1解析：f(z)=z^2在z=1处的留数为1。3.2πi解析：∮_Czdz=2πi。4.1/120解析：e^z的泰勒级数展开式中，z^5项系数为1/120。5.-2xy解析：根据柯西-黎曼方程组，v(x,y)=∫u_xdx=-∫x^2dy=-2xy+C。6.1/2解析：w=1/z将z=2映射到w=1/2。7.∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x解析：柯西-黎曼方程组为∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。8.1/24解析：e^z的泰勒级数展开式中，z^4项系数为1/24。9.0解析：根据柯西定理，∮_∂Df(z)dz=0。10.1/(1+z^2)解析：w=arctan(z)在z=0处的导数为1/(1+z^2)_{z=0}=1。三、判断题1.×解析：|z1|=|z2|不一定意味着z1=z2，例如z1=1，z2=-1。2.√解析：f(z)=z^2在复平面上处处解析。3.√解析：∮_C1/zdz=2πi。4.√解析：sin(z)在复平面上处处解析。5.√解析：解析函数的实部必为调和函数。6.√解析：w=1/(1-z)在z=1处不解析。7.√解析：柯西-黎曼方程组为∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。8.√解析：e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，常数项为1。9.√解析：根据柯西定理，∮_∂Df(z)dz=0。10.×解析：ln(z)在z=0处不解析。四、简答题1.柯西定理的内容是：若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任意简单闭曲线C，有∮_Cf(z)dz=0。适用条件为f(z)在D内解析且D为单连通区域。2.解析函数在孤立奇点处的留数是该函数在奇点处洛朗级数展开式中(-1)^1·1/z项的系数。留数定理指出，若函数f(z)在闭区域D上连续，在D内除有限个孤立奇点外解析，且C为D的边界，则∮_Cf(z)dz=2πi∑Res(f,z_k)，其中∑Res(f,z_k)为所有孤立奇点处留数的和。例如，函数f(z)=z/(z^2+1)在z=±i处有孤立奇点，其留数分别为1/(2i)和-1/(2i)，则∮_Cf(z)dz=2πi(1/(2i)-1/(2i))=0。3.函数w=1/z在复平面上的保角性是指该函数在保持角度不变的情况下将复平面映射到其他区域。具体来说，w=1/z在z≠0时处处解析，且其导数dw/dz=-1/z^2在z≠0时非零，因此w=1/z在复平面上的除z=0外处处保角。保角性意味着该函数在保持角度不变的情况下将复平面映射到其他区域，例如将角形区域映射为带形区域。五、应用题1.计算积分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz，其中C为正向圆周|z|=2。解：函数f(z)=(z^2+2z+3)/(z-1)在z=1处有孤立奇点，其他点解析。由于|z|=2包含z=1，根据留数定理