2025年中考数学一元二次方程解法与应用试题

2025年中考数学一元二次方程解法与应用试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)的根为（）A.\(x_1=2\),\(x_2=3\)B.\(x_1=-2\),\(x_2=-3\)C.\(x_1=1\),\(x_2=6\)D.\(x_1=0\),\(x_2=5\)2.用配方法解方程\(2x^2-8x-10=0\)，下列变形正确的是（）A.\((x-2)^2=3\)B.\((x+2)^2=3\)C.\((x-4)^2=18\)D.\((x+4)^2=18\)3.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根之和为3，两根之积为2，则\(p\)和\(q\)的值分别为（）A.\(p=3\),\(q=2\)B.\(p=-3\),\(q=2\)C.\(p=3\),\(q=-2\)D.\(p=-3\),\(q=-2\)4.关于\(x\)的方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的一个根为\(x_1=1\)，则方程可化为（）A.\(x^2+bx+c=0\)B.\(ax^2+(b-a)x=0\)C.\(ax^2+(b-c)x=0\)D.\(ax^2+(b+c-a)x=0\)5.若方程\(x^2-mx+9=0\)的一个根为\(x_1=3\)，则\(m\)的值为（）A.4B.6C.9D.126.下列方程中，一定有实数根的是（）A.\(x^2+4x+5=0\)B.\(x^2-4x+5=0\)C.\(x^2+4x-5=0\)D.\(x^2-4x-5=0\)7.若方程\(x^2-kx+1=0\)的两根均为正数，则\(k\)的取值范围是（）A.\(k>2\)B.\(k<-2\)C.\(k\geq2\)D.\(k\leq-2\)8.方程\(x^2-6x+k=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值为（）A.3B.6C.9D.129.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=5\)，\(x_1\cdotx_2=-6\)，则方程为（）A.\(x^2-5x-6=0\)B.\(x^2+5x-6=0\)C.\(x^2-5x+6=0\)D.\(x^2+5x+6=0\)10.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根之差的平方为4，则\(m\)的值为（）A.2B.-2C.4D.-4二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.方程\(x^2-4x+3=0\)的两根之和为________。2.方程\(2x^2-7x+3=0\)的两根之积为________。3.若方程\(x^2+mx+9=0\)的一个根为\(x_1=3\)，则另一个根\(x_2\)为________。4.方程\(x^2-6x+k=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值为________。5.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根均为正数，则\(m\)的取值范围是________。6.方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(x_1=2\)和\(x_2=-3\)，则\(p\)的值为________，\(q\)的值为________。7.若方程\(x^2-kx+1=0\)的两根均为正数，则\(k\)的取值范围是________。8.方程\(x^2-4x+4=0\)的判别式\(\Delta\)的值为________。9.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根之和为5，两根之积为6，则\(p\)的值为________。10.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根之差的平方为4，则\(m\)的值为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.一元二次方程\(x^2-4x+4=0\)的解为\(x=2\)。2.若方程\(x^2+mx+n=0\)的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-m\)，\(x_1\cdotx_2=n\)。3.方程\(x^2-5x+6=0\)的解为\(x=2\)或\(x=3\)。4.若方程\(x^2-kx+1=0\)有两个相等的实数根，则\(k=2\)。5.方程\(x^2+4x+5=0\)有两个不相等的实数根。6.若方程\(x^2+mx+9=0\)的一个根为\(x_1=3\)，则另一个根\(x_2=3\)。7.方程\(x^2-6x+9=0\)的判别式\(\Delta=0\)。8.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根均为正数，则\(m>2\)。9.方程\(x^2+px+q=0\)的两根之积为\(q\)。10.方程\(x^2-4x+5=0\)无实数根。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.用配方法解方程\(x^2+6x-7=0\)。2.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(x_1=2\)和\(x_2=-3\)，求\(p\)和\(q\)的值。3.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根之差的平方为4，求\(m\)的值。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.某长方形花园的周长为20米，面积为24平方米，求花园的长和宽。2.某工厂生产一种产品，固定成本为5000元，每件产品的可变成本为60元，售价为100元。若要使利润最大，该工厂应生产多少件产品？【不要加入标题，不要加入考试时间，不要加入总分数，试卷末尾附标准答案及解析】标准答案及解析一、单选题1.A解析：因式分解\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。2.C解析：方程两边除以2得\(x^2-4x-5=0\)，配方法：\((x-2)^2=9\)，即\((x-2)^2=3\)。3.B解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-p=3\)，\(x_1\cdotx_2=q=2\)，解得\(p=-3\)，\(q=2\)。4.B解析：若\(x_1=1\)，则\(a(1)^2+b(1)+c=0\)，即\(ax^2+bx+c=0\)可化为\(ax^2+(b-a)x=0\)。5.B解析：由根与系数关系，\(3\cdotx_2=9\)，解得\(x_2=3\)，则\(m=x_1+x_2=6\)。6.C解析：判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，选项中只有\(x^2+4x-5=0\)满足\(\Delta=16+20=36>0\)。7.A解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=k>0\)，\(x_1\cdotx_2=1>0\)，且\(\Delta=k^2-4>0\)，解得\(k>2\)。8.C解析：方程有两个相等的实数根，则\(\Delta=b^2-4ac=0\)，即\(36-4k=0\)，解得\(k=9\)。9.A解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-p=5\)，\(x_1\cdotx_2=q=-6\)，解得\(p=-5\)，\(q=-6\)，方程为\(x^2-5x-6=0\)。10.C解析：两根之差的平方为4，即\((x_1-x_2)^2=4\)，由根与系数关系，\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1\cdotx_2=m^2-4\)，解得\(m=4\)。二、填空题1.4解析：两根之和为\(x_1+x_2=-(-4)=4\)。2.3解析：两根之积为\(x_1\cdotx_2=\frac{3}{2}=3\)。3.6解析：由根与系数关系，\(3\cdotx_2=9\)，解得\(x_2=6\)。4.9解析：方程有两个相等的实数根，则\(\Delta=b^2-4ac=0\)，即\(36-4k=0\)，解得\(k=9\)。5.\(m>2\)解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=m>0\)，\(x_1\cdotx_2=1>0\)，且\(\Delta=m^2-4>0\)，解得\(m>2\)。6.\(p=-1\)，\(q=-6\)解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-p=2+(-3)=-1\)，\(x_1\cdotx_2=q=2\cdot(-3)=-6\)。7.\(k>2\)解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=k>0\)，\(x_1\cdotx_2=1>0\)，且\(\Delta=k^2-4>0\)，解得\(k>2\)。8.0解析：判别式\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0\)。9.-5解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-p=5\)，\(x_1\cdotx_2=q=6\)，解得\(p=-5\)。10.4解析：两根之差的平方为4，即\((x_1-x_2)^2=4\)，由根与系数关系，\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1\cdotx_2=m^2-4\)，解得\(m=4\)。三、判断题1.错误解析：方程\(x^2-4x+4=0\)可化为\((x-2)^2=0\)，解得\(x=2\)（重根）。2.正确解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-p\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=q\)。3.正确解析：因式分解\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)。4.错误解析：方程有两个相等的实数根，则\(\Delta=b^2-4ac=0\)，即\(m^2-4=0\)，解得\(m=\pm2\)。5.错误解析：判别式\(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0\)，无实数根。6.错误解析：若\(x_1=3\)，则\(3\cdotx_2=9\)，解得\(x_2=3\)，但方程应为\(x^2+mx+9=0\)，两根之和为\(-m=6\)，即\(m=-6\)。7.正确解析：判别式\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\)。8.错误解析：由根与系数关系，\(x_1+x_2=m>0\)，\(x_1\cdotx_2=1>0\)，且\(\Delta=m^2-4>0\)，解得\(m>2\)。9.错误解析：方程\(x^2+px+q=0\)的两根之积为\(\frac{c}{a}=q\)，但若\(a\neq1\)，则应为\(\frac{q}{a}\)。10.正确解析：判别式\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0\)，无实数根。四、简答题1.解方程\(x^2+6x-7=0\)：配方法：\((x+3)^2-16=0\)，即\((x+3)^2=16\)，解得\(x+3=\pm4\)，即\(x=1\)或\(x=-7\)。2.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(x_1=2\)和\(x_2=-3\)，求\(p\)和\(q\)的值：由根与系数关系，\(x_1+x_2=-p=2+(-3)=-1\)，解得\(p=1\)；\(x_1\cdotx_2=q=2\cdot(-3)=-6\)，解得\(q=-6\)。3.若方程\(x^2-mx+1=0\)的两根之差的平方为4，求\(m\)的值：设两根为\(x_1\)和\(x_2\)，由根与系数关系，\(x_1+x_2=m\)，\(x_1