6.2.1+排列课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合6.2.1排列知识点排列(一)教材梳理填空(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照__________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．明确目标发展素养理解排列的概念，理解树状图法的应用，并能利用树状图法正确写出一些简单问题的所有排列理解排列的概念及简单应用，培养数学抽象、直观想象的核心素养一定的顺序(2)两个排列相同的充要条件：两个排列的_____完全相同，且元素的________也相同．[微思考]课本第14页问题1中，“甲参加上午的活动，乙参加下午的活动”与“乙参加上午的活动，甲参加下午的活动”相同吗？提示：不同．元素排列顺序(二)基本知能小试1．下列问题属于排列问题的是

(

)①从10人中选2人分别去种树和扫地；②从10人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5名组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算．A．①④

B．①②C．③④

D．①③④解析：由排列的定义知①④是排列问题．答案：A2．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看成排列问题

(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．故选B.答案：B3．平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中2个点为端点的有向线段共有

(

)A．25条

B．10条C．20条

D．30条解析：要解决这个问题，可以分2个步骤完成．第一步，确定有向线段的起点，在5个字母中任取1个，有5种方法；第二步，确定有向线段的终点，从余下的4个字母中任取1个，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共可得到5×4＝20(条)不同的有向线段．答案：C题型一排列的有关概念【学透用活】判断是否为排列问题，关键是看选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[典例1]判断下列问题是不是排列问题．(1)从1到10这十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？(4)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？[解]

(1)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标、哪一个数是纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．(3)是．因为从一门进，再从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(4)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列问题．[方法技巧]排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有顺序的就是排列，无顺序的就不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．【对点练清】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．题型二排列的简单应用【学透用活】[典例2]

(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有

(

)A．3种 B．4种C．6种

D．12种(2)从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人1本，试将所有不同的分法列举出来．[解析]

(1)所有的排法有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种．答案：C(2)从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人1本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4，画出树状图如图．由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数[方法技巧]利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：树状图在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．【对点练清】1．从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，则共有_____个不同的两位数．解析：所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．答案：122．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解：作出树状图如图．故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．题型三排列的实际应用问题【学透用活】[典例3]

(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？[解]

(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210种不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343种不同的送法．[方法技巧]对于简单的排列问题，首先要明确研究的元素是什么，有无顺序．一般情况下，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有24种；检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4×4×3×2×6＝576种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4×5×4×3×6×5＋6×5×4×3×2×1＝7920种．由分类加法计数原理知，满足条件的不同测试方法有24＋576＋7920＝8520种．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．甲、乙两名同学解“在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，求满足

a1>a2,a3>a2，a3>a4的排列个数”的过程如下：甲同学：首先注意

a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选．满足a1>a2的树状图是：其次满足

a3>a2的树状图是：所以有2134,2143,3124,3142,3241,4123,4132,4231，共8个．乙同学：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选．满足a1>a2的树状图是：再满足a3>a4的排列有2143,3142,3241,4132,4231，共5个．试分析甲、乙两名同学的解题过程是否正确．原因何在？提示：甲解析存在失误，乙解析正确．错误的根本原因在于甲同学忽视了条件a3>a4，造成失误．二、应用性——强调学以致用2．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽．如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有

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)A．20种 B．24种 C．32种

D．48种解析：根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一、二、三、四、五，分两类：第1类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有24种；第2类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有8种；根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有32种．答案：C3．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：