吉林省吉林市朝鲜族四校2026届高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

吉林省吉林市朝鲜族四校2026届高一下数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知a>0,b>0,a,b的等比中项为2，则a+1A．3 B．4 C．5 D．422．如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则()A． B．C． D．3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B．akmC．akm D．2akm4．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）A．90° B．45° C．60° D．30°5．己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A． B． C． D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．2 B． C． D．127．同时抛掷两枚骰子，朝上的点数之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．8．下列不等式正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．若,,则的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.12．已知是等差数列，公差不为零，若，，成等比数列，且，则________13．若数列满足（）,且，，__.14．函数的定义域为________15．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.16．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．18．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若没有实数根，求的取值范围.19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；20．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若D为BC边上一点，，求DC的长度．21．已知数列满足：．（1）若为等差数列，求的通项公式；（2）若单调递增，求的取值范围；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由等比中项得：ab=4，目标式子变形为54【详解】∵a+1等号成立当且仅当a=b=2，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.2、A【解析】

利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.【详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.3、B【解析】

先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．4、A【解析】

取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，，故本题选A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.5、D【解析】

利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案．【详解】由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．6、C【解析】

由该几何体的三视图可知该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，再结合棱柱的表面积公式求解即可.【详解】解：由该几何体的三视图可知，该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，又由图可知底面等腰直角三角形的直角边长为1，棱柱的高为1，则该几何体的表面积是，故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了棱柱的表面积公式，属基础题.7、A【解析】

分别求出基本事件的总数和点数之和为奇数的事件总数,再由古典概型的概率计算公式求解.【详解】同时抛掷两枚骰子,总共有种情况,朝上的点数之和为奇数的情况有种,则所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,属于基础题.8、B【解析】试题分析：A.若c<0，则不等号改变，若c=0，两式相等，故A错误；B.若，则，故，故B正确；C.若b=0，则表达是不成立故C错误；D.c=0时错误.考点：不等式的性质.9、B【解析】

方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．【详解】由得由题意半圆与直线有两个不同交点，直线过定点，作出半圆与直线，如图，当直线过时，，，当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．所以的取值范围是．故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．10、B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、45【解析】

直接利用对数的运算性质计算即可,【详解】.故答案为：45.【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.12、【解析】

根据题设条件，得到方程组，求得，即可得到答案.【详解】由题意，数列是等差数列，满足，，成等比数列，且，可得，即且，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的应用，其中解答中熟练利用等差数列的通项公式和等比中项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13、1【解析】

由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．【详解】由题意，数列满足，即，又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得．所以．故答案为：1.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解析】

根据反余弦函数的定义，可得函数满足，即可求解.【详解】由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解析】

点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.【详解】将点代入直线得，，解得，又，，于是的方程为，整理得.故答案为：【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.16、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。详解：（1）时满足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立对于一切的恒成立，即，令，则当且仅当时等号成立，故所以为所求.点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。18、（1）；（2）【解析】

（1）由可构造方程求得结果；（2）根据一元二次方程无实根可知，解不等式求得结果.【详解】（1）（2）由题意知：无实数根，解得：或的取值范围为【点睛】本题考查根据函数值求解参数值、根据一元二次方程无实根求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解问题，属于基础题.19、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根据频率分布直方图得出样本中分数不小于的频率，然后算出样本中分数小于的频率，最后计算出分数小于的概率；（2）首先计算出样本中分数不小于的频率，然后计算出分数在区间内的人数，最后计算出总体中分数在区间内的人数。【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为，所以样本中分数小于的频率为．所以从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计为。（2）根据题意，样本中分数不小于的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为。【点睛】遇到频率分布直方图问题时需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在结合三角形内角的性质即可的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出边的长．【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因为，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．经检验，都符合题意．【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于基础题．21、（1）（2）【解析】

（1）设出的通项公式，根据计算出对应的首项和公差