2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.3.1平面向量基本定理（3知识点+7考点）（解析版）

9.3.1平面向量基本定理

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析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练考点强知识：核心题型举一反三精准练

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，

使a1e12e2．我们把两个不共线的向量e1,e2叫作表示这个平面的一组基底．

2、对平面向量基本定理的理解

（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分

解式是不同的．

（2）基底给定时，分解形式唯一．1,2是被a,e1,e2唯一确定的数值．

（）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当

3e1,e2ae120ae210a0

时，120．

（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．

【多选】（2025高一·辽宁大连·期末）下列结论正确的是（）

A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底

B．若ae1be2ce1de2(a,b,c,dR，e1,e2是单位向量)，则ac,bd

C．向量a与b共线存在不全为零的实数1,2,使1a2b0

D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OPxOAyOB,则xy1

【答案】CD

【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD.

【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，

故A错误；

对于B，不妨设e1e2，ab1,cd0，此时有ae1be2ce1de20，但ac,bd不成立，故B错误；

对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；

对于D，由向量共线定理可知OPOAAPOAABOAAOOB1OAOB，

其中APAB,R，

若OPxOAyOB,则xy11，故D正确.

故选：CD.

知识点2：平面向量基本定理的应用

1、唯一性的应用

x1x2

设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则

abx1ay1bx2ay2b

y1y2

2、重要结论

设是平面内一个基底，若，

e1,e2a1e12e2

①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，；

20ae110ae2120a0

1

（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在ABC中，点D为边BC上一点，且BDBC，设ABa，ACb，

3

则（）

1221

A．ADabB．ADab

3333

1221

C．ADabD．ADab

3333

【答案】B

【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果.

11

【详解】因为BDBC，所以BDBC，

33

1

则ADABBDABBC

3

12121

ABACABABACab．

33333

故选：B．

知识点3：平面向量的正交分解

由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称

ae1,e2a1e12e2

为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解．

1e12e2ae1,e2a

（2025高一·上海·课后作业）平面直角坐标系内，O为坐标原点，若点A3,5，则向量OA的向量正交分解

形式是．

【答案】OA3i5j

【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.

【详解】因为点A3,5，所以OA3i5j

故答案为：OA3i5j

题型一：平面向量基本定理辨析

【例1】（2024高一·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）

（1）基底中的向量不能为零向量．()

（2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．()

（3）若a,b不共线，且1a1b2a2b，则12,12.()

（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．()

【答案】正确错误正确正确

【分析】根据题意，结合向量的定义，平面向量基底的定义，平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解

【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确；

对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误；

对于（3）中，由a,b不共线，且1a1b2a2b，

根据向量的运算法则，可得12,12，所以（3）正确；

对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的

任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确.

故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确.

【变式1-1】【多选】（2025高一·全国·随堂练习）下列选项中，正确的是（）

A．基中的向量可以有零向量

B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基

C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基

D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的

【答案】CD

【分析】理解平面内一组不共线的向量可以作为一个基底，对平面内任意向量进行线性表示即可依次判断

各选项．

【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意；

B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符

合题意；

C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意；

D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意；

故选：CD．

【变式1-2】【多选】（2025高一·重庆綦江·期中）下列说法正确的是（）

A．长度为0的向量都是零向量

B．若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba

C．若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角

．若、是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量

De1e21e12e21,2R

【答案】AD

【分析】利用零向量的定义可判断A选项；取a0，可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C

选项；利用平面向量基本定理可判断D选项.

【详解】对于A选项，长度为0的向量都是零向量，A对；

对于B选项，若非零向量b与a共线，且a0，则不存在实数，使得ba，B错；

对于C选项，若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角为钝角或180，C错；

对于选项，由平面向量的基本定理可知，若、是同一平面内两个不共线的向量，

De1e2

则1e12e21,2R可以表示该平面内所有向量，D对.

故选：AD.

【变式1-3】【多选】（2025高一·甘肃武威·月考）若e1,e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正

确的是（）

A．e1e2,R可以表示平面内的所有向量

B．对于平面中的任一向量a，使ae1e2的实数,有无数多对

C．1,1,2,2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使

1e11e22e12e2

D．若存在实数,，使e1e20，则0

【答案】BC

【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项.

【详解】由题意可知：e1,e2可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项

不正确；

对于C项，当12120时，则1e11e22e12e20，

此时任意实数均有1e11e22e12e2，故C项不正确.

故选：BC.

题型二：判断两个向量是否可作基底

【例2】（2026高三·全国·专题练习）设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为

基底的是（）

A．e1与e1e2

B．e1e2与e13e2

C．e12e2与3e16e2

D．2e13e2与e12e2

【答案】C

【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可.

【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线

e1,e2e1e2.

1

对于，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立

Ae1e1e2e1e1e2.

0

所以e1与e1e2不共线，所以能作为基底，所以A错误；

1

对于，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成

Be1e2e13e2e1e2e13e2

31

立.

所以与不共线，所以能作为基底，所以错误；

e1e2e13e2B

对于，因为，所以与共线，不能作为基底，所以正确；

C3e16e23e12e2e12e23e16e2C

2

对于D，假设2e13e2与e12e2共线，则存在实数，使2e13e2e12e2，所以，所以假设不

23

成立.

2e13e2与e12e2不共线，所以能作为基底，所以D错误.

故选：C.

【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）设e1,e2为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底

的是（）

．和．和

Ae1e2e1e2B4e12e22e14e2

1

C．2ee和eeD．e2e和4e2e

121221212

【答案】C

【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.

【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，

11

C选项中，2e1e22e1e2，即2ee和e1e2为共线向量，

2122

所以它们不能作为基底．

其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．

故选：C

【变式2-2】（2025高一·甘肃庆阳·期中）若a，b是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组

基底向量的为（）

①ab和2026b2026a；②ab和ab；③3a2b和2a3b；④2ab和3b6a.

A．①②B．②③C．③④D．①④

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可.

【详解】对于①，2026b2026a2026(ab)，①不是；

对于④，3b6a3(2ab)，④不是，

对于②，因为a，b是平面内一组不共线的非零向量，故ab和ab均不是零向量，

1

若ab和ab共线，则存在实数，使得abab，即，无解，

1

故ab和ab不共线即它们可以形成基底向量，故②是；

对于③，同理3a2b和2a3b均为非零向量，

若3a2b和2a3b共线，则存在实数，使得3a2b2a3b，

3

2

即，无解，故3a2b和2a3b不共线即它们可以形成基底向量，故③是；

2

3

因此可以作为一组基底向量的为②③.

故选：B

【变式2-3】（2025高一·上海·课后作业）设点O是ABCD两条对角线的交点，下列组合中：①AD与AB；

②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为表示平行四边形ABCD所在平面所有向量的基的是

（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

【答案】B

【分析】根据基底的定义判断即可.

【详解】①AD,AB不共线可以做基底，②DA//BC不可以做基底；

③CA,DC不共线可以做基底，④OD//OB不可以做基底；

故所在平面所有向量的基的是①③.

故选：B.

题型三：利用基底表示向量

【例3】【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB2CD，．且BC3EC，F

为AE的中点．若AB=a，ADb，则（）

1212112

A．BCabB．AEabC．BFabD．CFab

2333363

【答案】ACD

【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可.

11

【详解】对于A：BCBAADDCabaab，故选项A正确；

22

2

对于B：由BC3EC知E在BC上，且BE:EC2:1，则BEBC，

3

2122

计算得：AEABBEaabab，故选项B错误；

3233

111

对于C：F为AE中点，则AFAEab，于是：

233

1121

BFBAAFa(ab)ab，故选项C正确；

3333

1

对于D：CFAFAC，其中ACABBCab，

2

11112

则：CF(ab)(ab)ab，故选项D正确.

33263

故选：ACD

【变式3-1】（25-26高三·新疆·月考）在ABC中，D是线段BC的中点，点E满足AE2ED，则BE（）

21213131

A．ABACB．ABACC．ABACD．ABAC

33334444

【答案】A

11

【分析】根据D是线段BC的中点，得到ADABAC，再根据AE2ED，利用BEAEAB求解.

22

【详解】因为D是线段BC的中点，

11

所以ADABAC.

22

211

因为AE2ED，所以AEADABAC，

333

21

则BEAEABABAC.

33

故选：A

1

【变式3-2】（2026高三·广东·学业考试）如图，在ABC中，BDBC,ABa,ACb，用a,b表示AD，

3

则AD．

21

【答案】ab

33

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

1

【详解】因为BDBC,ABa,ACb，由向量的三角形法则，得

3

11

ADABBDABBCABACAB

33

1121

ABACABab．

3333

21

故答案为：ab

33

【变式3-3】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE2EB，DF3FB，设AB=a，

ADb．注：本小题几何方法求解不得分．

(1)用a，b表示BD，AF；

(2)用平面向量证明：E，F，C三点共线．

31

【答案】(1)ba，ab

44

(2)证明见解析

1

【分析】（1）根据题意，结合BDADAB和AFABBFABBD，即可求解；

4

111

（2）根据题意，求得EFab，ECab，得到EC4EF，即可得证.

1243

【详解】（1）由题意知，向量ABa,ADb可得BDADABba，

1

又由DF3FB，可得BFBD，

4

1131

所以AFABBFABBDabaab，

4444

2

（2）因为AE2EB，可得AEAB，

3

31211

所以EFAFAEabaab，

443124

1

且ECEBBCab，可得EC4EF，所以E,F,C三点共线.

3

题型四：利用基底法求向量的数量积

【例4】（25-26高三·陕西宝鸡·月考）正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为BC的中点，则

AFBE．

【答案】0

【分析】用AB,AD表示AF,BE，再根据向量数量积运算求解.

【详解】在正方形ABCD中，ABAD2，且ABAD，

11

AFABBFABAD，BEBCCEADAB，

22

11

AFBEABADADAB

22

1212111

ABADABADABAD440.

22422

故答案为：0.

【变式4-1】（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知在矩形ABCD中，AB23，点E是边BC的中点，则

AEACAB.

【答案】24

【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可

【详解】在矩形ABCD中，因为ABAD，所以ABAD0.

由平面向量的运算法则可得：

32323

AEACABABBEABBCAB2ABADAB2ABADAB223024

222

.

故答案为：24.

【变式4-2】（25-26高三·天津滨海新·月考）已知平行四边形ABCD，DEEC，点F满足BE2EF，记

uuurruuurr1

ABa,ADb．用a,b表示DF；若AMMF,AB2,AD2，则

2

DMAF．

1117

【答案】ab；

4212

11

【分析】根据平面向量基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得DFab，用a,b表示出

42

DM,AF，再由平面向量数量积运算律计算可得结果.

【详解】如下图所示：

111

根据题意可知DFDEEFDEBEDEBEDEBCCE

222

111111111

DEBCDEBCDEADABab；

222222242

33

易知AFABBFABBEABBCCE

22

3313313

ABBCCDABADABab；

2222442

111311

又DMDAAMDAAFbabab；

3342122

因为AB2,AD2可知a2,b2；

所以DMAFababaababb

421224882124

12321317

ab42；

48448412

1117

故答案为：ab；；

4212

【变式4-3】（25-26高三·天津西青·月考）如图，在ABC中，点D､F分别为BC､AC中点，AD与BF相

交于点P，点E满足AE2EB.记ABa，ACb，用a，b表示BP；若AB3，AC4，BAC60，

则BPED.

214

【答案】ab

333

【分析】利用平面向量基本定理将BP表示出来，利用向量的数量积运算律和数量积的定义求出BP·ED.

222121

【详解】由题意知，BPBFBAAFABACab.

333233

2111

EDEAADBAABACab.

3262

211112111212712

所以BP·EDab·abaab·ab·baab·b.

3362931869186

1

因为AB3,AC4,BAC60，所以a·babcosBAC346.

2

2111127127164

所以BP·EDab·abaa·bb16.

336291861863

214

故答案为：①ab②.

333

题型五：平面向量基本定理逆向求参

1

【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在ABC中，AN2NC，P是BN上一点，若APtABAC，

3

则实数t的值为（）

1111

A．B．C．D．

2346

【答案】A

【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性

质求解即可.

【详解】AN2NC，

AN2ACAN，

3

ACAN，

2

1

APtABAC，

3

131

APtABANtABAN，

322

P是线段BN上一点，

B,P,N三点共线，

1

t1，

2

1

解得t.

2

故选A.

【变式5-1】（26-27高三·全国·月考）已知点G为ABC的重心，若BGBCAG，则（）

3

A．0B．1C．D．3

2

【答案】B

【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数,即可求得结果.

【详解】如下图所示，延长AG交BC于点D，

易知D为BC的中点，且AG2GD

11

又BGBDDGBCAG，

22

11

因为BGBCAG，且BC,AG不共线，所以可知,；

22

因此1.

故选：B

【变式5-2】（25-26高一·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形ABCD中，M、N分别为边AB、AD上的

32

点，且AMAB，ANAD，连接AC，MN交于点P，若APAC，则.

43

6

【答案】

17

【分析】设MPMN，利用基底AB,AD表示AP，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可得，APACABAD，

因为M,N,P三点共线，所以设MPMN，

23

则MPMNANAMADAB，

34

323233

则APAMMPABADABADAB，

434344

233

由平面向量基本定理可得，，得6.

34417

6

故答案为：

17

【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）在ABC中，点D满足4BD3BC，当点E在线段AD（不含端

点A,D）上移动时，若AEABAC，则．

【答案】3

k3k

【分析】设AEkAD0k1，则AEABAC，结合AEABAC，可求.

44

313

【详解】如图所示，在ABC中，由已知BDBC，所以ADABAC，

444

k3k

又点E在线段AD上移动，设AEkAD,0k1，所以AEABAC，

44

k3k

又AEABAC，所以,，所以3，

44

故答案为：3．

题型六：列方程组求参

2

【例6】（25-26高二·河北张家口·开学考试）如图，在ABC中，已知CDCB，AE3EC，P是线段AD

3

与BE的交点，若APmABnAC，则mn的值为.

9

【答案】

10

【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出.

21

【详解】由A，P，D三点共线，设APAD01，由CDCB得BDBC，

33

12

故APADABBDABBCABACABABAC，

3333

4

由AE3EC得ACAE，

3

24

故APABAE，——①

39

再由B，P，E三点共线，设BPBE(01)，

所以APAB(AEAB)，即AP(1)ABAE——②

2

1

39

由①②及向量AB与不共线，由平面向量基本定理，得，解得.

AE4

10

9

291933

故得APABACABAC

310310510

33

又APmABnAC，故m，n，

510

339

所以mn.

51010

9

故答案为：.

10

2

【变式6-1】（25-26高三·河南·月考）在ABC中，若BD=mBC,AD=AC+lAB，则（）

5

4619

A．B．C．1D．

5515

【答案】C

【分析】先将AD用AB和BD表示，再结合已知条件将BD用BC表示，最后根据向量的线性运算将AD用AB

和AC表示，从而求出和的值，进而得到的值.

【详解】因为BD=mBC，所以BD//BC，又因为两向量有公共点B，所以点B,D,C三点共线，又

ADABBDABBCABACABAC1AB,

2

又AD=AC+lAB，

5

ì2

ïm=23

所以í5，解得，，

ï55

î1-m=l

因此1.

故选：C．

π

【变式6-2】（25-26高三·上海宝山·期末）已知等腰ABC中，A,E,F分别为AB,BC的中点，若

2

BCAFCE，则．

2

【答案】

3

【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，

π

由题意得，在等腰ABC中，A，

2

且E,F分别为AB,BC的中点，

11

则AFABAC，CEAEACABAC，

22

由平面向量的减法法则可得BCACAB，

1

而AFCEABACABACABAC，

22222

2

则1,1，所以解得.

2223

2

故答案为：.

3

【变式6-3】（25-26高三·河北·月考）如图，在ABC中，P为AC的中点，AB4AF,Q为BC上一点，且

满足CB4CQ，PQCFE.若CECACB，则.

2

【答案】/0.4

5

【分析】设CEmCF0m1，在△CAB中，利用向量加减法的三角形法则表示出CF，进而表示出CE；

设PEnPQ0n1，同理，在CPQ中表示出CE