高中数学空间几何综合练习题集

高中数学空间几何综合练习题集同学们，空间几何是高中数学的重要组成部分，它不仅能够培养我们的空间想象能力，也是进一步学习高等数学及相关学科的基础。本练习题集旨在帮助大家系统梳理空间几何的核心知识，提升分析和解决复杂几何问题的能力。题目选取力求典型性与综合性，涵盖了空间几何体的结构特征、三视图与直观图、表面积与体积的计算，以及空间点、直线、平面之间的位置关系（平行与垂直的判定及性质）等核心内容，并适当融入了空间角与距离的求解。希望通过这份题集的练习，大家能够巩固基础，开拓思路，熟练运用数学思想方法解决实际问题。一、核心知识回顾与要点提示在进入练习题之前，让我们简要回顾一下空间几何的核心知识模块，这将有助于我们更高效地完成后续练习。1.空间几何体的认识与度量：*多面体与旋转体：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征是解决一切空间几何问题的基础。要能准确描述它们的顶点、棱、面的特点。*三视图与直观图：掌握三视图的画法规则（长对正、高平齐、宽相等），能由三视图还原几何体的形状，并能画出简单几何体的直观图（斜二测画法）。*表面积与体积：熟记常见几何体的表面积（侧面积）和体积公式，并能结合几何体的结构特征进行组合体的表面积与体积计算。注意区分表面积与侧面积，以及体积公式中各个参数的含义。2.空间点、直线、平面的位置关系：*基本性质与公理：平面的基本性质（公理1、2、3及其推论）是确定平面、判断点线面位置关系的依据。平行公理（公理4）和等角定理是研究平行关系的基础。*平行关系：线线平行、线面平行、面面平行的定义、判定定理和性质定理是重点。要深刻理解定理的条件与结论，能进行三者之间的相互转化。*垂直关系：线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理是难点也是核心。特别是线面垂直的判定（“线线垂直→线面垂直”）和面面垂直的性质（“面面垂直→线面垂直”）在证明和计算中应用广泛。*空间角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角是定量描述空间位置关系的重要概念。掌握它们的定义、范围及求解方法（通常需要转化为平面角，利用解三角形来求）。*空间距离：点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线间的距离、异面直线间的距离、平行平面间的距离等。其中点到平面的距离是基础，常可利用等体积法求解。3.空间向量在立体几何中的应用（理科重点）：*空间直角坐标系的建立：能根据几何体的对称性或已知的垂直关系建立适当的空间直角坐标系。*向量的坐标表示与运算：掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示。*利用向量判断位置关系：平行（向量共线）、垂直（向量数量积为零）。*利用向量求空间角与距离：异面直线所成角、线面角、二面角的余弦值（或正弦值）都可以通过向量的数量积来计算。点到平面的距离也可以用向量法求解。二、综合练习题（一）选择题（单选）1.下列命题中，正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C.圆柱的侧面展开图是一个矩形D.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥2.某几何体的三视图如图所示（单位：长度单位），则该几何体的体积为（）（*此处应有三视图，但文本无法显示，故略去具体图形描述，同学们可自行脑补常见三视图对应的几何体，如一个简单的组合体*）A.6B.9C.12D.183.设*m*，*n*是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若*m*∥α，*n*∥α，则*m*∥*n*B.若*m*∥α，*m*∥β，则α∥βC.若*m*⊥α，*m*⊥*n*，则*n*∥αD.若*m*⊥α，*m*∥β，则α⊥β4.在正方体*ABCD*-*A*₁*B*₁*C*₁*D*₁中，异面直线*A*₁*B*与*AD*₁所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.已知三棱锥*P*-*ABC*的三条侧棱*PA*，*PB*，*PC*两两互相垂直，且*PA*=*a*，*PB*=*b*，*PC*=*c*，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.π(*a*²+*b*²+*c*²)B.2π(*a*²+*b*²+*c*²)C.4π(*a*²+*b*²+*c*²)D.π(*a*+*b*+*c*)²/3（二）填空题6.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则圆锥的体积为_________。7.如图，在棱长为2的正方体*ABCD*-*A*₁*B*₁*C*₁*D*₁中，点*E*是棱*CC*₁的中点，则三棱锥*A*-*BDE*的体积为_________。（*此处应有正方体图形及点E位置标注*）8.已知平面α∥平面β，直线*a*⊂α，直线*b*⊂β，且*a*与*b*所成的角为θ，则θ的取值范围是_________。（三）解答题9.如图，在直三棱柱*ABC*-*A*₁*B*₁*C*₁中，∠*BAC*=90°，*AB*=*AC*=*AA*₁=1，点*M*，*N*分别为*A*₁*B*和*B*₁*C*₁的中点。（*此处应有直三棱柱图形*）（Ⅰ）求证：*MN*∥平面*A*₁*ACC*₁；（Ⅱ）求三棱锥*A*₁-*MNC*的体积。10.如图，在四棱锥*P*-*ABCD*中，底面*ABCD*是菱形，∠*BAD*=60°，*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*=*AB*=2，*E*是*PC*的中点。（*此处应有四棱锥图形*）（Ⅰ）求证：*BE*∥平面*PAD*；（Ⅱ）求直线*PB*与平面*PCD*所成角的正弦值。11.如图，在矩形*ABCD*中，*AB*=2，*AD*=1，*E*为*CD*的中点。将△*ADE*沿*AE*折起，使得平面*ADE*⊥平面*ABCE*，记折起后点*D*的位置为*P*。（*此处应有折叠前后的两个图形*）（Ⅰ）求证：*BE*⊥平面*PAE*；（Ⅱ）求二面角*P*-*BE*-*C*的余弦值。三、练习题解答与思路分析（一）选择题1.答案：C思路分析：A选项忽略了“其余各面都是有公共顶点的平行四边形”；B选项忽略了“棱台是由棱锥截得的，各侧棱延长后应交于一点”；D选项，若绕斜边旋转一周，则形成的是两个同底圆锥的组合体。C选项正确，圆柱侧面展开图是矩形，一边为母线长，一边为底面圆周长。2.答案：（根据实际三视图确定，此处假设为B选项9）思路分析：首先要根据三视图还原出几何体的直观形状。通常先看俯视图确定底面形状，再结合主视图和侧视图确定高度及叠加方式。还原后，根据对应的几何体体积公式进行计算。例如，若还原后是一个底面为直角三角形的直三棱柱，则体积为底面积乘以高。3.答案：D思路分析：A选项，*m*与*n*可能平行、相交或异面；B选项，α与β可能平行或相交；C选项，*n*可能在α内；D选项，过*m*作一平面与β交于直线*l*，由*m*∥β知*m*∥*l*，又*m*⊥α，故*l*⊥α，从而α⊥β，正确。4.答案：C思路分析：连接*BC*₁，*A*₁*C*₁。在正方体中，*AD*₁∥*BC*₁，所以异面直线*A*₁*B*与*AD*₁所成的角即为*A*₁*B*与*BC*₁所成的角。由于△*A*₁*BC*₁是等边三角形，故该角为60°。5.答案：A思路分析：由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，可将其补形为一个以*PA*，*PB*，*PC*为棱的长方体。该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其直径为长方体的体对角线长√(*a*²+*b*²+*c*²)。因此，外接球半径*R*=√(*a*²+*b*²+*c*²)/2，表面积*S*=4π*R*²=π(*a*²+*b*²+*c*²)。（二）填空题6.答案：12π思路分析：设圆锥母线长为*l*，则侧面积*S*=π*r*l=3π*l*=15π，解得*l*=5。圆锥的高*h*=√(*l*²-*r*²)=√(25-9)=4。体积*V*=(1/3)π*r*²*h*=(1/3)π*9*4=12π。7.答案：4/3思路分析：求三棱锥体积，关键是确定底面积和对应的高。可以利用“等体积法”转换顶点。本题求*V*_(*A*-*BDE*)，可转化为求*V*_(*E*-*ABD*)。底面△*ABD*的面积为(1/2)*AB**AD*=(1/2)*2*2=2。点*E*到平面*ABD*的距离即正方体的棱长*CC*₁的长度的一半（因为*E*是中点），为1。所以体积为(1/3)*2*1=2/3？（*此处原思路有误，重新计算：E在CC₁中点，CC₁=2，故E到面ABD距离为2。V_E-ABD=(1/3)*S_ABD*h=(1/3)*2*2=4/3。故正确答案为4/3。*）8.答案：[0°,90°]思路分析：两平行平面内的直线可能平行（此时θ=0°），也可能异面。而异面直线所成角的范围是(0°,90°]。综合起来，θ的取值范围是[0°,90°]。（三）解答题9.（Ⅰ）证明：思路分析：要证线面平行，通常有两种思路：一是在平面内找到一条直线与已知直线平行（线线平行→线面平行）；二是通过证明过已知直线的平面与已知平面平行（面面平行→线面平行）。证明过程：方法一（构造中位线）：取*A*₁*C*₁的中点*F*，连接*NF*，*AF*。在△*A*₁*B*₁*C*₁中，*N*，*F*分别为*B*₁*C*₁，*A*₁*C*₁的中点，所以*NF*∥*A*₁*B*₁，且*NF*=(1/2)*A*₁*B*₁。在直三棱柱*ABC*-*A*₁*B*₁*C*₁中，*A*₁*B*₁∥*AB*，且*A*₁*B*₁=*AB*。因为*M*是*A*₁*B*的中点，所以*AM*∥*A*₁*B*₁，且*AM*=(1/2)*A*₁*B*₁。因此，*NF*∥*AM*且*NF*=*AM*，所以四边形*AMNF*是平行四边形，从而*MN*∥*AF*。又因为*AF*⊂平面*A*₁*ACC*₁，*MN*⊄平面*A*₁*ACC*₁，所以*MN*∥平面*A*₁*ACC*₁。（Ⅱ）解：思路分析：求三棱锥体积，关键是合理选择底面和高。本题可考虑以△*MNC*为底面，但高不易求；也可考虑转换顶点，如*V*_(*A*₁-*MNC*)=*V*_(*C*-*A*₁*MN*)。解答过程：（此处提供一种方法）由（Ⅰ）知*MN*∥平面*A*₁*ACC*₁，所以点*M*到平面*A*₁*NC*的距离等于点*N*到平面*A*₁*ACC*₁的距离。因为*N*是*B*₁*C*₁的中点，且*B*₁*C*₁∥*BC*，*BC*⊥*A*₁*A*（直棱柱），*BC*⊥*AC*（由∠*BAC*=90°及棱柱性质），所以*BC*⊥平面*A*₁*ACC*₁，从而*B*₁*C*₁⊥平面*A*₁*ACC*₁。因此，*NC*₁⊥平面*A*₁*ACC*₁，点*N*到平面*A*₁*ACC*₁的距离即为*NC*₁的长度。在Rt△*A*₁*B*₁*C*₁中，*A*₁*B*₁=*A*₁*C*₁=1，∠*B*₁*A*₁*C*₁=90°，所以*B*₁*C*₁=√2，*NC*₁=√2/2。（或者，取*AC*中点*G*，连接*NG*，易证*NG*⊥平面*A*₁*ACC*₁，*NG*=1/2*