平面几何轴对称知识点归纳复习题

同学们，我们又到了梳理知识、温故知新的时刻。今天，我们一同回顾平面几何中一个非常重要的概念——轴对称。它不仅是图形变换的基础，也在我们的日常生活和解决实际问题中扮演着不可或缺的角色。掌握好轴对称的知识，能帮助我们更深刻地理解图形的性质，提升空间想象能力和逻辑推理能力。下面，我们就系统地对轴对称的相关知识点进行归纳，并配以适量的复习题，希望能为大家的复习提供有力的支持。一、轴对称的核心概念谈到轴对称，我们首先要明确两个既紧密联系又有所区别的概念：轴对称图形和两个图形成轴对称。轴对称图形指的是一个图形自身所具有的特性。如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。我们熟悉的等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等，都是轴对称图形，它们有的只有一条对称轴，有的则有多条。而两个图形成轴对称则描述的是两个图形之间的一种位置关系。如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线同样称为对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。理解这两个概念时，要注意它们的共性：都有对称轴，都满足折叠后重合的特性。区别在于，轴对称图形是对一个图形而言，而两个图形成轴对称是对两个图形而言。但它们之间也可以相互转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，它就成为了一个轴对称图形；反过来，一个轴对称图形如果沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形就关于这条对称轴对称。二、轴对称的基本性质轴对称的性质是我们解决相关问题的依据，需要我们牢牢掌握：1.对称轴是对应点连线的垂直平分线：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。反过来，如果两个图形各对对应点的连线都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这是判断两个图形是否成轴对称以及确定对称轴位置的重要依据。2.对应线段相等，对应角相等：由于折叠后能够重合，所以成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）的对应线段长度相等，对应角的度数相等。这意味着它们的形状和大小完全相同，即全等。3.对应图形上的点到对称轴的距离相等：对称点到对称轴的距离相等。4.对称轴上的点的对称点是它本身。三、常见的轴对称图形及其对称轴熟练识别常见的轴对称图形，并能找出它们的对称轴，是学习轴对称的基本要求。*线段：是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条是线段的垂直平分线。*角：是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。*等腰三角形：是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线（或顶角的平分线所在的直线，或底边上的高所在的直线，这三线合一）。*等边三角形：是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是各边的垂直平分线。*矩形：是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线。*菱形：是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。*正方形：是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线。*圆：是轴对称图形，它有无数条对称轴，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴。四、轴对称图形的画法绘制一个图形关于某条直线的对称图形，是轴对称知识的基本应用。其基本思路是找到图形的关键点关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点，即可得到对称图形。具体步骤如下：1.确定关键点：对于一个多边形，关键点通常是它的各个顶点；对于曲线图形（如圆），关键点是圆心及圆上的特殊点等。2.作关键点的对称点：过每个关键点作对称轴的垂线，并延长至对称轴的另一侧，使垂线上对称轴两侧的线段长度相等，得到的点就是该关键点的对称点。3.连接对称点：按照原图形中关键点的连接顺序，依次连接各对称点，就得到了原图形关于这条直线的对称图形。在作图时，要注意规范使用直尺和圆规，确保图形的准确性。五、轴对称的应用轴对称的应用十分广泛，除了美化设计、图案创作等，在解决几何问题，特别是最短路径问题时，轴对称的性质能给我们带来意想不到的简便。最经典的例子就是“牧马饮水”问题：牧马人从A地出发，到河边饮马，然后到B地，如何选择饮马点，才能使所走的路径最短？解决这类问题的思路就是利用轴对称，作出点A（或点B）关于河岸（对称轴）的对称点A'（或B'），连接A'B（或AB'）与河岸的交点，即为所求的最短路径的饮马点。其依据就是“两点之间，线段最短”以及“对称轴上的点到对应点的距离相等”。六、复习题精练（一）基础巩固1.选择题：下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.圆2.填空题：等腰三角形的对称轴是_________________；圆有______条对称轴。3.判断题：（1）两个全等的图形一定成轴对称。（）（2）轴对称图形的对称轴是唯一的。（）（二）综合应用4.如图，已知△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A=，∠B'=，BC=，求∠C'的度数及B'C'的长度。5.已知点P(a,b)关于x轴的对称点是P1，点P1关于y轴的对称点是P2，求点P2的坐标，并说明点P与点P2的位置关系。6.如图，在直线l上求作一点P，使PA+PB的值最小，其中A、B是直线l同侧的两个定点。（要求：保留作图痕迹，不写作法）（三）拓展思考7.在一个矩形纸片上，如何只剪一刀，将其分成两个部分，使这两个部分既能拼成一个三角形，也能拼成一个平行四边形，还能拼成一个梯形？请画出示意图，并简要说明剪裁方法。8.如图，∠AOB内有一点P，试在OA、OB上各找一点M、N，使得△PMN的周长最小。七、参考答案与提示（一）基础巩固1.B（提示：一般的平行四边形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合。）2.底边的垂直平分线所在的直线；无数。3.（1）×（提示：全等只保证形状大小相同，位置不一定成轴对称。）（2）×（提示：如正方形有4条对称轴。）（二）综合应用4.∠C'=，B'C'=（提示：利用轴对称的性质，对应角相等，对应边相等。先求∠C=∠C'。）5.P2(-a,-b)，点P与点P2关于原点对称。（提示：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数。）6.提示：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求。（三）拓展思考7.提示：沿矩形一边的中点与对边一个顶点的连线剪开（具体需结合图形说明，此处略）。8.提示：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB