相似三角形教学全案与习题集

相似三角形教学全案与习题集相似三角形是平面几何中的核心内容，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是后续学习解直角三角形、圆以及解决复杂几何问题的重要工具。掌握相似三角形的概念、判定与性质，能够有效提升学生的逻辑推理能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。本教学全案旨在系统梳理相似三角形的知识体系，并辅以精心设计的习题，帮助学习者扎实掌握这一重要几何内容。一、引言：相似三角形的世界在我们的日常生活中，相似的身影无处不在：缩放的地图、照片的放大与缩小、建筑的模型与实物、艺术作品中的透视效果……这些都蕴含着相似的数学原理。相似三角形，作为相似形中最简单也最基本的图形，其概念的形成源于人们对形状相同但大小可能不同的三角形的观察与抽象。教学启示：在引入相似三角形概念时，可引导学生观察生活中的相似现象，从直观感知入手，逐步过渡到数学上的精确描述。同时，应强调与全等三角形的联系与区别——全等是相似的特殊情况（相似比为1），而相似则是全等的推广。预备知识：学生应已掌握全等三角形的概念、判定与性质，以及比例线段的相关知识（如比例的基本性质、合比性质、等比性质）。二、核心概念与定义2.1相似形定义：形状相同的图形叫做相似形。*要点：“形状相同”是指图形的对应角相等，对应边成比例。大小可以相同（此时也是全等形），也可以不同。2.2相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。*表示法：若△ABC与△DEF相似，则记作△ABC∽△DEF。符号“∽”读作“相似于”。*对应关系：表示相似时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出对应角和对应边。例如，△ABC∽△DEF，则点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F；∠A对应∠D，∠B对应∠E，∠C对应∠F；边AB对应边DE，边BC对应边EF，边CA对应边FD。2.3相似比（或相似系数）定义：相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。*若△ABC∽△DEF，且AB/DE=BC/EF=CA/FD=k，则k叫做△ABC与△DEF的相似比。*注意：相似比具有顺序性。若△ABC与△DEF的相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k。*当相似比k=1时，两个三角形全等，即全等三角形是相似三角形的特例。教学启示：在讲解定义时，应通过具体图形实例，让学生清晰辨认对应顶点、对应边和对应角。可以通过提问、小组讨论等方式，强化学生对“对应”二字的理解，这是后续学习判定和性质的基础。三、相似三角形的判定判定两个三角形相似，是相似三角形研究的核心问题之一。我们可以类比全等三角形的判定方法，引导学生探究相似三角形的判定条件。3.1相似三角形的预备定理（平行法）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。图形语言：（教师可在黑板上画出两种情况：截两边、截两边延长线）已知：在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E（或交AB、AC的延长线于点D、E）。求证：△ADE∽△ABC。证明思路：由平行线性质可得对应角相等（∠ADE=∠B，∠AED=∠C），再通过构造全等或利用比例线段证明对应边成比例（可利用平移、作高或面积法等辅助手段，初中阶段此定理可作为基本事实直接应用，重点在于理解和应用）。教学启示：此定理是后续判定定理推导的基础，也是证明线段成比例的重要依据。教学中应引导学生观察图形，理解“平行”与“相似”的内在联系。3.2相似三角形的判定定理判定定理1（AA或AAA判定法）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。*已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。*求证：△ABC∽△DEF。*证明思路：可通过在大三角形中作一个与小三角形一角相等且夹边平行的辅助线，利用预备定理证明。由于三角形内角和为180°，所以只要有两个角对应相等，第三个角必然对应相等，因此“AA”即可判定。判定定理2（SAS判定法）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。*已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。*求证：△ABC∽△DEF。*证明思路：同样可通过在大三角形中构造与小三角形夹等角且对应边成比例的线段，利用预备定理或构造全等三角形证明。判定定理3（SSS判定法）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。*已知：在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=CA/FD。*求证：△ABC∽△DEF。*证明思路：通过在大三角形中截取与小三角形对应边成比例的线段，构造相似三角形，再证明其与原大三角形全等或重合。直角三角形相似的特殊判定：*定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（可简记为：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。）*这是直角三角形特有的相似判定方法，类似于直角三角形全等的“HL”判定。教学启示：1.判定定理的教学应注重引导学生经历“观察-猜想-验证-证明-概括”的过程，培养其探究能力。2.强调“夹角”在SAS判定中的重要性，可通过反例说明若不是夹角，结论不一定成立。3.鼓励学生将相似三角形的判定与全等三角形的判定进行对比记忆，找出异同点。例如，全等是特殊的相似（相似比为1），因此SSS,SAS,ASA/AAS（对应到AA）都有联系。四、相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们具有以下性质：4.1对应角相等，对应边成比例。（定义本身）4.2对应线段的比等于相似比。*对应高的比等于相似比。*对应中线的比等于相似比。*对应角平分线的比等于相似比。*证明思路：以对应高为例，可通过证明包含高的两个小直角三角形相似（AA或SAS），从而得到对应高的比等于相似比。4.3周长的比等于相似比。*若△ABC∽△DEF，相似比为k，则(AB+BC+CA)/(DE+EF+FD)=k。*证明：由对应边成比例AB/DE=BC/EF=CA/FD=k，根据等比性质即可得证。4.4面积的比等于相似比的平方。*若△ABC∽△DEF，相似比为k，则S_△ABC/S_△DEF=k²。*证明：利用“面积=1/2×底×高”，结合对应底和对应高的比都等于相似比k，可得面积比为k×k=k²。教学启示：1.性质的学习应与判定相结合，性质是由相似推导出的结论。2.对于“面积比等于相似比的平方”这一性质，学生容易记混，教学中应通过具体计算实例加以强调，并引导学生理解其推导过程，而不是死记硬背。3.可适当拓展，如相似三角形对应周长的比、对应内切圆半径比、对应外接圆半径比等也都等于相似比。五、相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛，主要包括：5.1证明线段成比例或角相等。*利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质。*常见辅助线：遇中点、中线，考虑倍长；遇比例，考虑作平行线构造相似（预备定理）；遇角平分线，考虑其性质等。5.2测量不能直接到达的物体的高度或宽度。*原理：利用阳光下的影子（同一时刻，物高与影长成正比）。*原理：利用标杆或镜子反射（构造相似三角形）。*教学启示：此部分是培养学生应用数学意识的好素材，可组织学生进行实际测量活动。5.3解决与几何图形相关的综合问题。*如与圆结合（圆幂定理的证明常需用到相似）、与动态几何问题结合、与函数知识结合等。教学启示：应用问题的教学，关键在于引导学生如何将实际问题或复杂问题转化为相似三角形的数学模型，即“数学建模”思想的渗透。六、习题集A组（基础巩固）1.判断题（对的打“√”，错的打“×”）(1)所有的等边三角形都相似。()(2)所有的直角三角形都相似。()(3)所有的等腰三角形都相似。()(4)两个相似三角形的相似比为1，则它们全等。()(5)若△ABC∽△DEF，且AB=3,DE=6，则△DEF与△ABC的相似比为2。()2.选择题(1)下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠EB.AB/DE=AC/DF，∠A=∠DC.AB/DE=BC/EF=AC/DFD.AB/DE=AC/DF，∠C=∠F(2)若△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，则它们的周长比为（），面积比为（）A.2:3,2:3B.3:2,4:9C.2:3,4:9D.3:2,2:3(3)如图，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为（）(图形描述：△ABC中，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上)A.1.5B.2C.2.5D.33.解答题(1)已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，AB=4，DE=6，求∠F的度数及△ABC与△DEF的相似比。(2)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠ADE=∠C。求证：AD·AB=AE·AC。(图形描述：△ABC中，D在AB上，E在AC上，连接DE，∠ADE=∠C)(3)两个相似三角形的一对对应边长分别为3cm和4.5cm，若它们的面积和为65cm²，求这两个三角形的面积。B组（能力提升）1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。(1)求证：△ABC∽△ACD∽△CBD。(2)若AD=4，BD=9，求CD的长。(图形描述：直角三角形ABC，∠C为直角，CD是斜边AB上的高)2.如图，点O是△ABC内一点，点D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DE∥AB，EF∥BC。求证：DF∥AC。(图形描述：△ABC，O为内部一点，连接OA,OB,OC，D在OA上，E在OB上，F在OC上，DE//AB，EF//BC)3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。(1)求证：四边形AEDF是平行四边形。(2)当点D位于BC的什么位置时，四边形AEDF是菱形？并证明你的结论。(3)在(2)的条件下，如果△ABC是等边三角形，那么四边形AEDF是什么特殊的平行四边形？(图形描述：等腰三角形ABC，AB=AC，D在BC上，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F)C组（综合应用与拓展）1.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。当P、Q两点分别到达B、C两点时停止移动。设移动时间为t秒。(1)当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？(2)设△PBQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值。(图形描述：矩形ABCD，AB为短边，BC为长边，A在左下，B在右下，C在右上，D在左上。P从A向B运动，Q从B向C运动)2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ。(1)当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？(2)设四边形APQB的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式。(图形描述：直角三角形ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，P从A向C运动，Q从C向B运动)3.古希腊数学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理测量金字塔的高度。如果你是泰勒斯，请你设计一个测量学校旗杆高度的方案，写出所需工具、测量步骤，并说明其中的数学原理。七、教学建议与常见误区教学建议：1.注重直观感悟与动手操作：利用几何画板、模型、剪纸等工具，让学生直观感受相似形的特征，通过测量、计算验证相似三角形的性质。2.强化图形的变式训练：通过改变图形的位置、方向、大小等，让学生在复杂图形中准确辨认相似三角形的对应关系。3.强调数学思想方法的渗透：如转化思想（将复杂问题转化为相似三角形问题）、数形结合思想、方程思想（利用相似比列方程求解）、分类讨论思想（如涉及动点相似问题）。4.精讲多练，及时反馈：习题设计应有层次性，满足不同学生的需求。对学生练习中出现的共性问题要