八年级数学函数专题辅导资料

八年级数学函数专题辅导：从变量到图像，轻松掌握函数世界的钥匙同学们，进入八年级，数学学习的旅程又翻开了崭新的一页。我们即将接触一个非常重要且充满魅力的概念——函数。函数，听起来似乎有些抽象，但实际上它就隐藏在我们日常生活的方方面面，比如购物时的总价与数量关系，行程问题中的路程与时间关系，甚至是我们成长过程中的身高与年龄的关系。理解函数，不仅能帮助我们解决很多实际问题，更是我们后续学习更高级数学知识的基石。本专题将带你一步步揭开函数的神秘面纱，从最基本的变量关系入手，深入理解一次函数的概念、图像与性质，并学会运用函数知识解决实际问题。一、变量与函数：探索变化中的规律在我们周围的世界里，充满了各种各样的变化。气温会随时间变化，物体运动的路程会随时间变化，购买商品的总价会随数量变化……这些变化的现象背后，往往蕴含着某些确定的数量关系。1.1变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），数值始终不变的量为常量（constant）。例如：*汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时。在这个过程中，速度60千米/小时是常量，路程s和时间t是变量。*一个长方形的长为5厘米，宽为x厘米，面积为y平方厘米。在这个过程中，长5厘米是常量，宽x和面积y是变量。1.2函数的概念在上述两个变化过程中，我们发现：当一个变量（如时间t、宽x）取定一个值时，另一个变量（如路程s、面积y）就有唯一确定的值与之对应。一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。对函数概念的理解要点：*必须有两个变量。*两个变量之间存在“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”的关系，即“单值对应”。例如，在y=2x+1中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值。所以，y是x的函数，x是自变量。思考与辨析：1.在关系式y=x²中，y是x的函数吗？为什么？2.如图1所示的曲线，它表示y是x的函数吗？（假设有一个图像，其中一个x对应两个y值）（此处应有一个简单的辨析，引导学生理解“唯一确定”的核心。例如，问题1中y是x的函数，因为每个x对应唯一y；问题2中若一个x对应两个y，则不是函数。）二、函数的表示方法：多角度描绘函数关系函数关系是丰富多样的，为了更好地研究它们，我们需要采用合适的方法来表示。常用的函数表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。2.1解析法用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法，也称为公式法。这种方法的优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。例如：*s=60t（路程与时间的关系）*y=5x（长方形面积与宽的关系，长为5）*y=2x+3这里的数学式子通常叫做函数的解析式。2.2列表法通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是一目了然，能直接看出部分自变量与函数值的对应关系。例如，某商店售卖某种笔记本，单价为3元/本。购买数量x（本）与总价y（元）的关系如下表：购买数量x（本）12345...:-------------::---::---::---::---::---::---:总价y（元）3691215...2.3图像法用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。这种方法的优点是直观形象，能清晰地反映函数值随自变量变化的趋势。例如，我们可以在平面直角坐标系中，将上述购买笔记本的总价y与数量x的关系用一系列点表示出来，然后连接这些点（在这个例子中是直线），就得到了该函数的图像。注意：通常情况下，列表法只能列出部分自变量与函数值的对应关系，图像法也是对函数关系的一种近似描绘，而解析法则能精确地表示所有自变量与函数值的对应关系（在自变量取值范围内）。这三种方法各有千秋，在实际应用中，我们常常需要根据具体问题选择合适的表示方法，有时甚至会综合运用多种方法。三、一次函数的概念与解析式在众多函数类型中，一次函数是最简单也是最基本的一种，它在现实生活中有着广泛的应用。3.1正比例函数我们先来看一个具体的例子：*汽车以恒定速度v行驶，路程s与时间t的关系是s=vt。如果v=60km/h，那么s=60t。*某种练习本每本2元，购买总价y（元）与购买数量x（本）的关系是y=2x。观察这些函数解析式：s=60t，y=2x。它们有什么共同特点呢？它们都可以写成y=kx（k是常数，且k≠0）的形式。一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（directproportionalfunction），其中k叫做比例系数。3.2一次函数的一般形式现在，我们对正比例函数进行一些“变形”。例如：*若汽车行驶时，除了行驶路程，还考虑它出发时已经距离目的地有10千米，那么路程s与时间t的关系可能是s=60t+10。*若购买练习本时，还需要支付1元的包装袋费用，那么总价y与数量x的关系是y=2x+1。观察这些新的函数解析式：s=60t+10，y=2x+1。它们又有什么共同特点呢？它们都可以写成y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的形式。一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数（linearfunction）。对一次函数概念的理解：*k和b都是常数，k是自变量x的系数，b是常数项。*自变量x的次数必须是1。*关键条件：k≠0。如果k=0，那么函数就变成了y=b（b是常数），这时y不再随x的变化而变化，我们称之为常数函数，它不是一次函数。*当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k≠0），这正是我们前面学过的正比例函数。所以说，正比例函数是一种特殊的一次函数。例题1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=-3x+7(2)y=4x(3)y=x²+1(4)y=(2/x)+3(5)y=6(6)y=-0.5x-2分析与解答：(1)y=-3x+7，符合y=kx+b的形式，k=-3≠0，b=7，所以是一次函数。但b≠0，不是正比例函数。(2)y=4x，可看作y=4x+0，符合y=kx+b的形式，k=4≠0，b=0，所以既是一次函数，也是正比例函数。(3)y=x²+1，自变量x的次数是2，不是1，所以不是一次函数。(4)y=(2/x)+3，可变形为y=2x⁻¹+3，自变量x的次数是-1，不是1，所以不是一次函数。(5)y=6，可看作y=0x+6，但k=0，不符合一次函数k≠0的条件，所以不是一次函数，是常数函数。(6)y=-0.5x-2，符合y=kx+b的形式，k=-0.5≠0，b=-2，所以是一次函数。但b≠0，不是正比例函数。结论：一次函数有(1)(2)(6)；正比例函数有(2)。四、一次函数的图像与性质：“形”与“数”的完美结合图像是研究函数性质的重要工具。一次函数的图像是什么样子的？它又有哪些独特的性质呢？4.1一次函数的图像我们知道，两点确定一条直线。那么一次函数的图像是不是一条直线呢？探究：在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+1和y=-x+2的图像。步骤：1.列表：选取适当的自变量x的值，并计算出对应的y值。对于y=2x+1：x...-101...:---::---::---::---::---::---:y...-113...x...012...:---::---::---::---::---::---:y...210...对于y=-x+2：2.描点：在坐标系中描出表中各组对应值所对应的点。3.连线：用平滑的线将所描出的点连接起来。发现：通过画图我们发现，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b。由于两点确定一条直线，所以今后我们画一次函数的图像时，只需描出两个点，然后连接即可。通常，我们选择与坐标轴的交点比较简便：*与y轴的交点：令x=0，得y=b，所以交点坐标是(0,b)。*与x轴的交点：令y=0，得kx+b=0，解得x=-b/k，所以交点坐标是(-b/k,0)。当然，如果b=0（即正比例函数y=kx），那么它的图像一定经过原点(0,0)，此时我们只需再找一个点，比如(1,k)，就可以画出图像了。4.2一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，这条直线的位置和倾斜程度是由谁决定的呢？我们主要通过系数k和b来研究一次函数的性质。4.2.1比例系数k的作用——决定直线的倾斜方向和倾斜程度*当k>0时：直线y=kx+b从左到右上升。此时，y随x的增大而增大。*k的值越大，直线向上的倾斜程度越陡。*当k<0时：直线y=kx+b从左到右下降。此时，y随x的增大而减小。*k的值越小（即k的绝对值越大），直线向下的倾斜程度越陡。形象记忆：k>0，“上坡路”；k<0，“下坡路”。坡的陡缓由|k|决定。4.2.2常数项b的作用——决定直线与y轴的交点位置直线y=kx+b与y轴的交点是(0,b)。*当b>0时，交点在y轴的正半轴上。*当b=0时，交点是原点（此时函数为正比例函数）。*当b<0时，交点在y轴的负半轴上。4.2.3直线y=kx+b（k≠0）经过的象限综合k和b的符号，我们可以判断直线y=kx+b经过的象限：*k>0,b>0：直线经过第一、二、三象限。*k>0,b=0：直线经过第一、三象限（正比例函数）。*k>0,b<0：直线经过第一、三、四象限。*k<0,b>0：直线经过第一、二、四象限。*k<0,b=0：直线经过第二、四象限（正比例函数）。*k<0,b<0：直线经过第二、三、四象限。思考：你能结合k和b的意义，解释一下为什么直线会经过这些象限吗？例题2：已知一次函数y=(m-1)x+2m+1。(1)若函数图像经过原点，求m的值。(2)若函数图像与y轴的交点在x轴的上方，求m的取值范围。(3)若y随x的增大而减小，求m的取值范围。分析与解答：(1)函数图像经过原点(0,0)，将x=0,y=0代入函数解析式得：0=(m-1)*0+2m+10=2m+1解得m=-1/2。同时，要保证是一次函数，需m-1≠0，即m≠1。m=-1/2满足此条件。(2)函数图像与y轴的交点是(0,2m+1)。交点在x轴上方，意味着交点的纵坐标大于0，即：2m+1>0解得m>-1/2。同样，需满足m-1≠0，即m≠1。所以，m的取值范围是m>-1/2且m≠1。(3)y随x的增大而减小，根据一次函数性质可知，k=m-1<0解得m<1。4.3一次函数图像的平移我们已经知道，k决定直线的倾斜程度和方向，b决定直线与y轴的交点。那么，如果两个一次函数的k值相同，b值不同，它们的图像之间有什么关系呢？例如，直线y=2x，y=2x+3，y=2x-2。它们的k值都是2，所以图像的倾斜程度和方向完全相同，也就是说它们是平行的。它们的b值不同，分别是0，3，-2。所以它们与y轴的交点分别是(0,0)，(0,3)，(0,-2)。结论：直线y=kx+b1与直线y=kx+b2（k≠0，b1≠b2）互相平行。进一步思考，直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx经过怎样的平移得到的呢？*当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度，就得到直线y=kx+b。*当b<0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位长度（或说向上平移b个单位长度），就得到直线y=kx+b。例如：*直线y=2x+3可以看作是由直线y=2x向上平移3个单位长度得到的。*直线y=2x-2可以看作是由直线y=2x向下平移2个单位长度得到的。“上加下减”