6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章

计数原理§6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理§6.2排列与组合§6.3二项式定理

汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容。那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？

这就需要“数出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数。

在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法。这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式。1.分类加法计数原理

【引例1-1】用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

【分析】因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码。

首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示。因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同。这两类号码数相加就得到号码的总数。上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数。

一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m+n

种不同的方法。完成事件A方案1方案2……方案nm1种方法m2种方法……mn种方法完成这件事共有N种方法分类加法计数原理的适用条件：（1）完成一件事​​有若干种​​独立的、互斥的​​方案。（2）“互斥”意味着：各种方案之间没有重叠，选择任何一种方案都可以​​独立地​​完成这件事。（3）核心关键词是“​​或​​”——方案1​​或​​方案2​​或​​方案3……都可以完成这件事。【例1】书架共有3层，第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为(

)BA.3

B.8

C.12

D.18

【例2】每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有(

)BA.22种

B.33种

C.300种

D.3600种

【例3】用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中的任意一个数作分母，可以构成____个不同的真分数.10

2.分步乘法计数原理

【引例1-2】按照引例1-1的编号方法分别给教室里的两个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

【分析】我们已知一个座位可以编出36种不同的号码，那么我们可以通过画树状图分析问题。座位1座位236种编号36种编号36+36=72？这个结果表示的是：如果只给一个座位编号（要么只编第一个，要么只编第二个），总共有多少种方法。​​而题目要求的是​​给两个座位都编上号。上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位和另一个座位都需要编号且一个座位可以编出36种不同的号码。因此得到一个座位号要经过先确定编号，后确定另一个座位的编号这两个步骤。N=36×36=1296

一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m×

n

种不同的方法。完成事件A步骤1步骤2……步骤nm1种方法m2种方法……mn种方法完成这件事共有N种方法分步乘法计数原理的适用条件：（1）完成一件事​​需要分成若干个​​相互关联的步骤​​。（2）每个步骤都是必不可少的，​​缺少任何一步，这件事都无法完成​​。（3）各步骤之间是“串联”关系，前一步的选择会影响后一步的选择范围（或数量）。（4）核心关键词是“​​与​​”、“​​然后​​”——先做步骤A，​​然后​​做步骤B，​​然后​​做步骤C……所有步骤都做完，这件事才算完成。

B

【例5】某小组有4名男生，3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和学习委员，则共有____种不同的结果.24

【例6】垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措,现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶,则不同的投法有(

)CA.7种

B.12种

C.64种

D.81种

3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合运用

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析需要分类还是需要分步。

分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分步），最后用分类加法计数原理求和，得到总数。

分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立。分步后再计算每一步的方法数（可能需要分类），最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。下面介绍几种常见类型的计数问题。类型一

路径问题D

A.8

B.12

C.16

D.24【解析】

中途共转向三次可以分为两类:

13

类型二

数字问题

DA.720

B.648

C.320

D.328

【例10】由数字0,1,2,3,4,5组成三位数（允许重复）,各位数字之和等于6的有(

)DA.13个

B.15个

C.17个

D.20个

【例11】地图涂