2026年大三线性代数期末考核通知试题及真题

2026年大三线性代数期末考核通知试题及真题考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在二维空间中，向量a=(1,2)与向量b=(3,-1)的向量积为（）A.5B.-5C.7D.-72.若矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.2B.4C.8D.163.线性方程组Ax=b中，若矩阵A的秩rank(A)=2，增广矩阵rank(A|b)=3，则该方程组（）A.有唯一解B.无解C.有无穷多解D.解不确定4.在线性空间R^4中，向量组{(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1)}的秩为（）A.1B.2C.3D.45.若向量组{v1,v2,v3}线性无关，则向量组{v1+v2,v2+v3,v3+v1}（）A.线性无关B.线性相关C.可能相关可能无关D.无法判断6.矩阵P=(1,0;0,2)的特征值为（）A.1,2B.-1,-2C.0,2D.1,-27.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵为A，则A的秩为（）A.1B.2C.3D.48.在线性变换T下，若向量v的像为T(v)=(2v1+v2,v1+v2)，则T(3,1)等于（）A.(7,4)B.(4,7)C.(9,6)D.(6,9)9.若矩阵A可逆，且B=A^T，则矩阵B的逆矩阵B^-1等于（）A.A^-1B.A^TC.(A^-1)^TD.(A^T)^-110.在线性空间R^3中，向量w=(1,1,1)的长度|w|等于（）A.1B.√2C.√3D.√6二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若向量a=(1,2,3)与向量b=(x,y,z)正交，则x+y+z=______。12.矩阵A=(1,2;3,4)的转置矩阵A^T=______。13.若线性方程组Ax=0的基础解系含2个向量，则矩阵A的秩rank(A)=______。14.在线性空间R^2中，向量组{(1,0),(0,1)}是______基。15.若向量组{v1,v2,v3}的秩为3，则向量组{v1+v2,v2+v3,v3+v1}的秩为______。16.矩阵P=(1,0;0,2)的特征多项式为______。17.若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵为A，则A的特征值为______。18.在线性变换T下，若T(1,0)=(1,1)，T(0,1)=(1,-1)，则T(2,3)=______。19.若矩阵A=(1,2;3,4)的逆矩阵A^-1=(a,b;c,d)，则a+d=______。20.在线性空间R^3中，向量w=(1,1,1)的单位向量e_w=______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若向量组{v1,v2,v3}线性无关，则向量组{v1+v2,v2+v3,v3+v1}线性无关。22.矩阵A的特征值之和等于其迹tr(A)。23.若线性方程组Ax=b有解，则其增广矩阵rank(A|b)=rank(A)。24.在线性空间R^n中，任意n个线性无关的向量构成一组基。25.若向量a与向量b正交，则向量a与向量b的向量积为零向量。26.矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为零。27.若二次型f(x)=x^TAx为正定二次型，则其矩阵A的特征值全为正。28.在线性变换T下，若向量v的像为T(v)，则T(v)的长度等于v的长度。29.若矩阵A与矩阵B相似，则A和B的特征值相同。30.在线性空间R^3中，向量w=(1,1,1)的长度等于其单位向量的长度。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.解释什么是向量空间的基，并举例说明。32.简述矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质。33.什么是二次型的标准形？如何将一般二次型化为标准形？五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.已知线性方程组：x1+x2+x3=12x1-x2+x3=2-x1+2x2+x3=-1求该方程组的解。35.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+3x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3-4x2x3，求其矩阵A，并判断该二次型是否正定。【标准答案及解析】一、单选题1.D解析：向量积a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=(2×(-1)-3×0,3×1-1×1,1×(-1)-2×3)=(-2,2,-7)，故|a×b|=|-7|=7。2.B解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)=|A|^2=4。3.B解析：增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，故方程组无解。4.C解析：向量组中三个向量线性相关当且仅当其中一个向量是另外两个向量的线性组合，经验证，(1,0,1,0)+(0,1,0,1)=(1,1,1,1)，故秩为3。5.A解析：若{v1,v2,v3}线性无关，则任意两个向量的线性组合仍线性无关，故{v1+v2,v2+v3,v3+v1}线性无关。6.A解析：特征多项式f(λ)=|P-λI|=(1-λ)(2-λ)=0，解得λ=1,2。7.C解析：矩阵A的秩等于其非零特征值的个数，A的特征值为1,2,0，故秩为3。8.A解析：T(3,1)=T(3×(1,0)+1×(0,1))=3T(1,0)+T(0,1)=(3×(1,1)+(1,-1))=(7,4)。9.D解析：B^-1=(A^T)^-1。10.C解析：|w|=√(1^2+1^2+1^2)=√3。二、填空题11.0解析：a·b=1×x+2×y+3×z=0，即x+2y+3z=0。12.(1,3;2,4)解析：转置即行变列，列变行。13.1解析：基础解系含n-rank(A)个向量，故rank(A)=n-2=1。14.标准基解析：{(1,0),(0,1)}是R^2的标准基。15.3解析：向量组线性无关，秩不变。16.λ^2-4λ解析：f(λ)=|P-λI|=(1-λ)(2-λ)=λ^2-4λ+2。17.1,2,3解析：特征值为矩阵对角线元素之和。18.(3,1)解析：T(2,3)=2T(1,0)+3T(0,1)=(2×(1,1)+3×(1,-1))=(3,1)。19.5解析：A^-1=(1/10,-2/10;-3/10,4/10)，a+d=1/10+4/10=5/10=0.5。20.(1/√3,1/√3,1/√3)解析：单位向量e_w=w/|w|=(1/√3,1/√3,1/√3)。三、判断题21.√22.√23.√24.×解析：需线性无关且个数等于维度。25.√26.√27.√28.×解析：线性变换可能改变长度。29.√30.√四、简答题31.向量空间的基是指线性无关且能生成整个空间的向量组。例如，R^3中的{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}是基。32.特征值λ是使det(A-λI)=0的数，对应的特征向量v是满足(A-λI)v=0的非零向量。性质：特征值之和等于矩阵迹，特征值之积等于行列式。33.二次型的标准形是形如λ1x1^2+λ2x2^2+...+λnxn^2的形式，通过