2026高考数学涨分秘籍：第2讲 一些“非主流”对称性的应用

第2讲一些“非主流”对称性的应用

在教学函数的性质中的对称性时，老师们一般立足奇偶性奠基讲对称性，然后对称

性、周期性、单调性综合应用，侧重求值方面的研究，常忽略与其知识的综合，与其他

知识结合考察时一般作为选填的中档偏难，或者压轴题出现.本专题就五个面归纳，力

争突破这个考点的学习.

题型一函数的零点对称分布

名师导航

解决具有对称性的函数的零点问题，首先要明确函数的性质，比如周期性

对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键

在于要能正确的作出函数图象.

函数yf(x)的定义域为D，xD，存在常数a，b使得

f(x)f(2ax)2bf(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)图象关于点(a,b)

对称.

π

【典例1】设函数fxsinx，gxex1.当x2023,2025时，fx与gx的图象

2

所有交点的横坐标之和为（）

A．4051B．4049C．2025D．2023

【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得

答案.

解析：

π

函数fxsinx的最小正周期为2，直线x1为其一条对称轴

2

x1

e,x1

x1

gxex1，其图象关于直线x1对称

e,x1

π

故可作出函数函数fxsinx，gxex1得图象如图：

2

由图像可知，在直线x1的右侧，(1,2025]包含fx的1012个周期

fx在(1,3],(3,5],,(2023,2025]每个周期内和gx的图象都有2个交点

则共有2024个交点

根据对称性可知，在直线x1的左侧，fx和gx的图象也有2024个交点

且在直线x1的两侧的交点是关于直线x1两两对称的

故这4048个交点的横坐标之和为202424048

而x1也是这两函数图象的一个交点的横坐标

故fx与gx的图象所有交点的横坐标之和为404814049，故选：B

【典例2】已知fx的定义域是R，f1xf1x0，且函数fx1为偶函数．当

x0,1时，fxx．方程x2fx10在区间3,6上的所有根之和为（）

A．2B．4C．6D．8

【分析】由f1xf1x0得函数fx在R上是奇函数.由函数fx1为偶函数，

得fx关于直线x1对称.画出函数图像，由函数图像即可得到方程x2fx10在区

间3,6上的所有根之和.

解析：

由f1xf1x0得fxfx0

所以fx在R上是奇函数.

又因为函数fx1为偶函数，所以fx1fx1

所以fx关于直线x1对称.

当x0,1时，fxx，如图，做出fx在区间3,6上的图像.

11

由方程x2fx10解得fx,x2，令gx,x2

x2x2

如图，做出gx在区间3,6上的图像.

由图可知，fx与gx在区间3,6上有4个交点：A、B、C、D.

xxxx

且fx与gx均关于直线x2对称.所以AD2,BC2,

22

所以xAxBxCxD8

即方程x2fx10在区间3,6上的所有根之和为8.

故选：D

【典例3】若函数f(x)的定义域为Z，且f(xy)f(xy)f(x)[f(y)f(y)]，

f(1)0，f(0)f(2)1，则曲线y|f(x)|与ylog2x的交点个数为（）

A．2B．3C．4D．5

【分析】利用赋值法求出当xZ，且x依次取0,1,2,3，时的一些函数值，从而找到y|f(x)|

函数值变化的规律，同理找到当xZ，且x依次取1,2,3，时，y|f(x)|函数值变化的

规律，数形结合，即可求得答案.

解析：

由题意函数f(x)的定义域为Z，且f(xy)f(xy)f(x)[f(y)f(y)]

f(1)0，f(0)f(2)1

令y1，则f(x1)f(x1)f(x)[f(1)f(1)]f(x)f(1)

令x1，则f(2)f(0)f2(1)，即f2(1)2

令x2，则f(3)f(1)f(2)f(1)，即f(3)0，

令x3，则f(4)f(2)f(3)f(1)，即f(4)1

令x4，则f(5)f(3)f(4)f(1)，即f(5)f(1)

令x5，则f(6)f(4)f(5)f(1)，即f(6)1f2(1),f(6)1

令x6，则f(7)f(5)f(6)f(1)，即f(7)f(1)f(1),f(7)0

令x7，则f(8)f(6)f(7)f(1)，即f(8)10,f(8)1

依次类推，可发现此时当xZ，且x依次取0,1,2,3，时

函数y|f(x)|的值依次为1，2，1,0，1，2，1,0，，即每四个值为一循环

此时曲线y|f(x)|与ylog2x的交点为(2,1)

令x=1，则f(0)f(2)f(1)f(1)0,f(2)1

令x2，则f(1)f(3)f(2)f(1)f(1),f(3)f(1)

令x3，则f(2)f(4)f(3)f(1)f2(1),f(4)1

令x4，则f(3)f(5)f(4)f(1)f(1),f(5)0

令x5，则f(4)f(6)f(5)f(1)0,f(6)1

令x6，则f(5)f(7)f(6)f(1)f(1),f(7)f(1)

令x7，则f(6)f(8)f(7)f(1)f2(1),f(8)1

依次类推，可发现此时当xZ，且x依次取1,2,3，时

函数y|f(x)|的值依次为0,1，2，1,0，1，2，1,0，，即每四个值为一循环

此时曲线y|f(x)|与ylog2x的交点为(1,0),(2,1)；

故综合上述,曲线y|f(x)|与ylog2x的交点个数为3，故选：B

【点睛】确定曲线y|f(x)|与ylog2x的交点个数，要明确函数y|f(x)|的性质，因此

要通过赋值求得y|f(x)|的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数y|f(x)|的函数值循

环的规律特点，这是解答本题的难点所在.

x

【典例4】（多选）已知f(x)(x1)，若,分别是方程f(x)ex和f(x)lnx的根，

x1

则下列说法正确的是（）

11

A．2ln2B．1C．6D．ln4

【分析】先分析得fx、gx与hx的图像关于直线yx对称，从而作出它们的图像；

对于A，结合图像分析x1且趋近于1与x2ln2时，fx与gx大小关系得到2ln2；

对于B，利用fx的对称性得到，从而得以判断；对于C，先结合图像分析x2

与x4时，fx与hx大小关系得到4，再结合选项B即可判断；对于D，利用

ln与基本不等式判断即可.

1

解析：

x1

因为fx1(x1)，则fx1

x1x1

1

所以fx的图像是由y的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得

x

则fx在1,上单调递减，

a

不妨设点a,ba1,b1是fx上的一点，则b，即abba

a1

b

故abab，则a，所以b,a也是fx上的点

b1

故fx的图像关于直线yx对称

yx

x2

联立x，解得，

yx1y2

x1

又gxex与hxlnx互为反函数

所以gxex与hxlnx的图像也关于直线yx对称

因为,分别是方程f(x)ex和f(x)lnx的根

x

所以画出函数yex，ylnx与fx的图像，如图

x1

.

1

对于A，当x1且趋近于1时，由y的性质可知fx趋于无穷大，g1e

x

则fxg1

12

当x2ln2时，f2ln21，g2ln2e2ln2eln24

2ln21

41

因为e443，所以4ln433ln4，则ln4，即12ln2

33

111

所以2ln21，则3，即14，则f2ln2g2ln2

32ln212ln21

由图像可知，fx与gx的图像的交点的横坐标落在区间1,2ln2中

因为是方程f(x)ex的根，即为fx与gx的图像的交点的横坐标

所以1,2ln2，故2ln2，故A正确

对于B，因为,分别是方程f(x)ex和f(x)lnx的根

所以fx与gx的图像的交点为,，fx与hx的图像的交点为,

11

又fx的图像关于直线yx对称

所以,与,关于直线yx对称，则或

1111

11

所以，故1，故B错误

对于C，当x2时，f22，h2ln2，则f2h2

44

当x4时，f4，h4ln4

413

4

由选项A知ln4，则f4h4

3

所以fx与hx的图像的交点的横坐标落在区间2,4中，即4

又2ln22，所以6，故C正确

对于D，因为是方程f(x)lnx的根，则ln

1

11

所以ln122214

111

1

当且仅当1，即2时，等号成立

1

而由选项C可知2，即等号不成立，所以ln4，故D错误.

故选：AC.

【点睛】本题解决的关键是分析得函数fx、gx与hx的图像关于直线yx对称，从

而结合图像判断得2ln2、4与，从而得解.

能力达标训练

1.已知函数f(x)logax（a0且a1），若关于x的方程fx2m有4个解x1,x2,x3,x4，

且x1x2x3x4，则x1x2x3x4（）

A．16B．10C．8D．4

【分析】当a1时，根据已知画出函数yfx2与ym的图象，即可根据对称性结合

已知得出x1x4x2x34，且fx12m，fx22m，fx32m，

fx42m，根据对数的运算得出x32x421,2x12x21，即可两式作和

化简代入得出答案.

解析：

logax2,x3

logax2,2x3

当a1时，fx2

loga2x,1x2

loga2x,x1

在坐标系下作出函数yfx2与ym的图象如图所示：

由图形的对称性知x1x4x2x34

且fx12m，fx22m，fx32m，fx42m

则根据对数运算得出x32x421,2x12x21

、、

x32x420，2x12x20

则x32x421,2x12x21

即x3x42x3x441,x1x22x1x241

两式作和得x1x2x3x42x1x2x3x482

又由于x1x4x2x34，所以x1x2x3x410．

logax2,x3

logax2,2x3

当0a1时，fx2，同理仍得x1x2x3x410

loga2x,1x2

loga2x,x1

故选：B.

2.已知定义在R上的奇函数fx满足fx2fx，当1x2时，fxx2．若

n

11x,yx,y

yx与fx的图象交于点11、22、、xn,ynnN，则xiyi

63i1

（）

A．6B．8C．10D．14

【分析】分析可知函数fx是以4为周期的周期函数，且直线x1是函数fx图象的一条

11

对称轴，点2,0是函数fx图象的一个对称中心，直线yx关于点2,0对称，作

63

出图形，结合对称性可求得结果.

解析：

由题意可得fx2fxfx，所以，fx4fx2fx

故函数fx是以4为周期的周期函数，且直线x1是函数fx图象的一条对称轴

且fx4fx2fx，故点2,0是函数fx图象的一个对称中心

作出函数fx的图象如下图所示：

1111

且当x8时，yx1；当x4时，yx1.

6363

11

且直线yx关于点2,0对称

63

11

由图可知，直线yx与曲线yfx有7个不同的公共点

63

故x1x2x3x77214，y1y2y3y70

7

因此，xiyi14.

i1

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象

并结合对称性来处理.

3.定义在R上的函数fx满足f(x)f(x)0,f(x)f(2x)；且当x[0,1]时，

π

f(x)tanx．则方程7f(x)x20所有的根之和为（）

4

A．8B．10C．12D．14

【分析】根据题意判断出函数fx的奇偶性以及对称性和周期，进而作出其大致图象，将

x2

7f(x)x20的根的问题转化为yf(x),y的图象的交点问题，结合图象的对称

7

性即求得答案.

解析：

由定义在R上的函数fx满足f(-x)+f(x)=0可知fx为奇函数

由f(x)f(2x)可知函数关于直线x1对称

又f(x)f(x)f(2x)，则f(x)f(2x)，即f(2x)f(x)

所以f(x4)f(x2)f(x)，即4为函数fx的周期

又f(x)f(2x)，且f(x)f(2x)，故f(2x)f(2x)

即函数fx的额图像关于点(2,0)对称

由此可作出函数fx的部分图象如图示：

x2

方程7f(x)x20即f(x)

7

x2

因此方程7f(x)x20所有的根及转化为函数yf(x),y的图象的交点问题

7

x2

作出函数y的图象，如图示，可以看到两图象的交点关于点(2,0)对称

7

其中在点(2,0)的两侧对称的交点各有三个

故方程7f(x)x20所有的根之和为34214

故选：D.

4.定义在R上的函数fx满足fxfx0,fxf2x，且当x0,1时，

fxx2.则函数y7fxx2的所有零点之和为（）

A．7B．14C．21D．28

【分析】根据分析得到fx是周期为4的周期函数，且关于点2,0对称，函数

x2

y7fxx2的所有零点之和即为函数fx与gx的图像的交点的横坐标之和，

7

画出函数图象，数形结合求出答案.

解析：

依题意，fx是奇函数.又由fxf2x知，fx的图像关于x1对称.

fx4f1x3f1x3f2xf2x

f2xfxfx

所以fx是周期为4的周期函数.

f2xf11xf11xfxfxf2x

x2

所以fx关于点2,0对称.由于y7fxx20fx

7

x2

从而函数y7fxx2的所有零点之和即为函数fx与gx的图像的交点

7

的横坐标之和.

x2

而函数gx的图像也关于点2,0对称.

7

x2

画出yfx，gx的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，

7

所以函数y7fxx2所有零点和为7214.

故选：B

1112x2

5.已知函数fx3图像与函数gx图像的交点为(x1,y1)，

xx2x42x21

m

(x2,y2)，…，(xm,ym)，则(xiyi)（）

i1

A．20B．15C．10D．5

【分析】分析函数fx，gx的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答.

解析：

111

函数fx3定义域为(,0)(0,2)(2,4)(4,)

xx2x4

其图象是4条曲线组成，在区间(,0)，(0,2)，(2,4)，(4,)上都单调递减

当x0时，fx3，

当0x2或2x4时，fx取一切实数，

当x4时，fx3

111111

f4xfx(3)(3)6，

x4x2xxx2x4

即fx的图象关于点(2,3)对称

8

函数gx4定义域为R，在R上单调递增，值域为2,4

2x4

其图象夹在二平行直线y2,y4之间

8822x8

g4xgx448()6

24x42x42x42x4

gx的图象关于点(2,3)对称

因此，函数fx的图象与gx的图象有4个交点，即m4，它们关于点(2,3)对称

不妨令点(x1,y1)与(x4,y4)相互对称，(x2,y2)与(x3,y3)相互对称

则x1x4x2x34，y1y4y2y36

4

所以(xiyi)20.

i1

故选：A

题型二构造具有对称性的函数研究函数的性质

名师导航

有些函数自身不具有对称性，但通过变形可以构造具有对称性的函数，从而把无从

下手的题目，转化为较简单的问题

【典例5】已知函数f(x)lnx21x1，正实数a,b满足f(2a)f(b4)2，则

4ba

的最小值为（）

a2abb2

65

A．1B．2C．4D．

8

【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出a,b之间的关系可求.

解析：

fxfxlnx21x1lnx21x12

故函数fx关于0,1对称，又fx在R上严格递减

f(2a)f(b4)2,2ab40

4ba4ba4ba4ba

即2ab4.22.

a2abb2ab2aba4ba4b

164

当且仅当a,b时取得.

99

故选：B.

lnx11

【典例6】已知函数ye2x1的图象与函数y的图象关于某一条直线l对称，若

2

P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）

2ln22ln224ln2

A．B．C．D．24ln2

242

【分析】由于Pa,b为函数ye2x1图象上任意一点，关于直线yx1的对称点为

lnx11lnx11

Qb1,a1在y的图象上，所以函数ye2x1的图象与y的图象

22

关于直线yx1对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线yx1距

离最小值的2倍，然后利用导求出与直线yx1平行，且与曲线ye2x1相切的直线，从而

可求得答案

解析：

设Pa,b为函数ye2x1图象上任意一点

则be2a1，Pa,b关于直线yx1的对称点为Qb1,a1

设ub1，va1，则av1，bu1

lnu11

所以u1e2v11，所以v

2

lnx11

即函数ye2x1的图象与y的图象关于直线yx1对称

2

所以这两点之间距离的最小值等于P到直线yx1距离最小值的2倍.

2x12x01

函数ye在点P(x0,y0)处的切线斜率为k2e

1ln21

令k2e2x011得,x，y

0202

1ln21

1

所以点P到直线yx1距离的最小值为222ln2

d

24

2ln2

所以这两点之间距离的最小值为2d.

2

故选：A

【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和

lnx11

计算能力，解题的关键是得到函数ye2x1的图象与y的图象关于直线yx1

2

对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线yx1距离最小值的2倍，

属于较难题

能力达标训练

6.已知实数a,b,c,d满足aeb1，cln(d1)，则(ac)2(bd)2的最小值为（）

1

A．B．1C．D．2

22

【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.

解析：

b122b122

ae,clnd1,acbdelnd1b1d1

2222

b1x,d1xx1

令12，则acbdelnx2x1x2

x1

其几何意义为点Ax1,e与点Bx2,lnx2之间距离的平方

设fxex,gxlnx，则点A和B分别在fx和gx的图像上，如下图

显然fx和gx互为反函数，其图像关于y=x对称

则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称

不妨设Bx,lnx，则Alnx,x

21x1

AB22xlnx，设hxxlnx，h'x1

xx

当x1,h'x0，0x1,h'x0，在x=1处取得最小值h11

即hx10

∴当hx取最小值时，即是AB2取得最小值，AB2的最小值为2122

故选：D.

1

7.已知直线xy20分别与yex和yln2x的图象交于Ax,y，Bx,y两点，则

21122

下列结论正确的是（）

lnx1

x1x1

A．x2lnx20B．x1x2C．4e2x1D．eln2x22

x1

1

【分析】先分析得出函数yex和yln2x的图象关于直线yx对称，从而得出xx2,

212

1

lnx

结合零点存在定理得出x2的范围.选项A.结合基本不等式得出0x11，设gx，

x2x

<<

求出单数得出其单调性可判断;选项B.由x11x2可判断;选项C.由x1y12，可得

1

2xex14可判断;选项D.由对称性有yy2，结合函数解析式得到ex1ln2x2，

11222

从而可判断.

解析：

11

在函数yex的图像上任取一点a,b，则bea，即2bea

22

由2bea，两边取以e为底的对数，得到ln2ba

即点b,a满足函数yln2x表达式

1

所以在函数yex的图像上任取一点a,b，都有点b,a在函数yln2x的图像上

2

1

故函数yln2x及函数yex的图象关于直线yx对称

2

又直线yx2与直线yx垂直，且相交于点1,1.

1

从而直线yx2与函数yln2x及函数yex的图象的交点Ax，y，Bx,y也

21122

关于直线yx对称，

x2y1，x1y2，又Ax1,y1在yx2上

即有x1y12，故x1x222x1x2

则x1x21，由于x1x2，所以x1x21．对于A

lnx1lnx

令gx，x0,1gx0

xx2

1

所以gx在0,1上单调递增，因为0x1x21，所以0x11

x2

1

ln

1x2

所以gx1gx2lnx2

x21

x2

lnx1lnx1

所以x2lnx2，所以x2lnx20，故A错误．

x1x1

<<

由图象易知x11x2，故B错误．

1x1x1x1

ye，2ye，又2x12y14，2xe4，C错误．

1211

1x1

由x1x22，可得yy2，即eln2x2

1222

1

又由ex1ex1，可得ex1ln2x2，故D正确.故选：D

22

【点睛】本题考查函数的对称性的应用，利用导数求单调性、最值等.解答本题的关键是先

1

分析出函数yex和yln2x的图象关于直线yx对称，从而得到xx2，yy2，

21212

lnx

以及构造函数gx利用其单调性比较大小，属于难题.

x

x

8.已知fxx1，若,分别是方程fxex和fxlnx的根，则下列说法不正确

x1

的是（）

11

A．2ln2B．1C．6D．ln4

【分析】通过验证函数对称性，可得到fx图象关于yx对称，作出fx、yex与ylnx

的图象，设gxex，hxlnx，结合图象，通过说明f2ln2g2ln2可得的范围，

知A正确；由对称性可确定，代入整理可得B错误；根据f2h2、f4h4

可得的范围，结合可知C正确；利用基本不等式，根据取等条件不成立可知D

正确.

解析：

x1

fx1x1，fx1

x1x1

1

fx的图象是由y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到

x

\f(x)在1,上单调递减

a

设点a,ba1,b1是fx上的一点，则b，abba

a1

b

a，即b,a也是fx上的点，\f(x)图象关于直线yx对称

b1

yx

x2

由x得：，又yex与ylnx图象关于yx对称

yx1y2

x1

则可作出yex，ylnx与fx图象如下图所示

1

对于A，当x2ln2时，f2ln21

2ln21

设gxex，则g2ln2e2ln2eln44

41

e443，4ln433ln4，ln42ln21

33

11

2ln21，即03

32ln21

1

114，即f2ln2g2ln2

2ln21

\f(x)与gx的交点横坐标落在区间1,2ln2中，即1,2ln2

2ln2，A正确；

对于B，,分别是方程fxex和fxlnx的根，设hxlnx

\f(x)与gx图象的交点为,，fx与hx图象的交点为,

11

又fx图象关于直线yx对称，,与,关于直线yx对称

11

11

或，整理可得：，1，B错误；

11

对于C，当x2时，f22，h2ln2，则f2h2

44

当x4时，f4，h4ln4，由A知：ln4，f4h4

33

\f(x)与hx图象交点的横坐标落在区间2,4中，即24

又2ln22，6，C正确；

对于D，是方程fxlnx的根，则ln

1

11

ln122124

111

1

（当且仅当1，即2时取等号）

1

由C知：24，等号不成立，即ln4，D正确.

故选：B.

【点睛】本题考查与方程的根有关的取值范围问题的求解，本题求解的关键是能够说明fx

图象关于yx对称，进而确定其与yex,ylnx的交点也关于yx对称，利用对称关系

可得,满足的关系式.

题型三函数性质综合比较函数值大小

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小题不小，比较大小，高考经常考，其中一种题型就是结合函数性质，转化到同一

单调区间比较

【典例7】已知fxxsinx，xR，则（）

ππππ

A．ff1fB．f1ff

4334

ππππ

C．ff1fD．fff1

3434

πππ

【分析】由fxfx可知，fx为偶函数，则ff，易知fx在0,上

442

ππ

为增函数，由1，则可选出答案.

34

解析：

因为fxxsinxxsinxfx，所以fx为偶函数

ππ

所以ff．

44

π

因为在0,上yx0且单调递增，ysinx0且单调递增

2

πππ

所以fx在0,上为增函数，且1

234

πππ

所以ff1ff

344

故选：C．

【典例8】定义在R上的偶函数fx满足fxfx20,当1≤x≤0

时,fx1xex,则（）

13e0.30.313e

A．f2023flnfeB．f2023fefln

1010

0.313e13e0.3

C．feflnf2023D．flnfef2023

1010

【分析】根据偶函数和fxfx20,判断出周期,根据1≤x≤0的解析式判断出单

13e0.3

调性,将f2023,fln,fe根据奇偶性,周期性,对称性,转化至同一单调区间,判断x

10

的大小即可判断函数值的大小比较,不好判断时可利用放缩或构造函数进行大小判断.

解析：

由题知fx为偶函数,fxfx

fxfx20，fxfx20①

将x代换为x-2可得:fx2fx40②

①-②可得,fxfx4,\f(x)的一个周期为4