2025年中考数学专题 相似三角形综合练习

2025年中考数学专题相似三角形综合练习相似三角形，作为平面几何的核心内容之一，始终是中考数学考查的重点与难点。其综合性强，常与三角形、四边形、圆、函数等知识紧密结合，能有效考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，顺利应对中考，我们特组织了本次相似三角形综合练习专题。一、必备知识梳理在进入综合练习之前，让我们先简要回顾一下相似三角形的核心知识，确保基础扎实。1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2.相似三角形的判定定理：*判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.相似三角形的性质：*对应角相等，对应边成比例。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。4.常见的相似模型：如“A”型相似、“X”型（或“8”型）相似、“K”型相似（一线三垂直）、母子型相似等，熟悉这些基本模型能帮助我们快速找到解题的突破口。二、综合练习与解析（一）基础巩固型例题1已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长。思路点拨：本题是“A”型相似的基本应用。由DE∥BC，可直接得出△ADE∽△ABC。根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求解。解答过程：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD/AB=AE/AC∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5设EC=x，则AC=AE+EC=4+x∴3/5=4/(4+x)解得：3(4+x)=2012+3x=203x=8x=8/3故EC的长为8/3。反思总结：本题直接应用了平行线分线段成比例定理的推论（即“A”型相似），是相似三角形中最基础也最常用的模型。解题关键在于准确识别相似三角形，并找准对应边。（二）判定与性质综合型例题2已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。(1)求证：△ACD∽△ABC∽△CBD；(2)若AC=6，BC=8，求AD和CD的长。思路点拨：(1)要证明三个三角形两两相似，可利用“AA”判定定理。在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小直角三角形，这是一个非常重要的“母子型相似”模型。(2)在(1)的结论基础上，利用相似三角形对应边成比例的性质，可以求出AD的长；再利用面积法或勾股定理可求出CD的长。解答过程：(1)证明：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC（AA）∵∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC（AA）∴△ACD∽△ABC∽△CBD(2)在Rt△ABC中，AC=6，BC=8∴AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=√100=10由(1)知△ACD∽△ABC∴AC/AB=AD/AC即6/10=AD/6解得AD=36/10=18/5=3.6∵S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD∴1/2×6×8=1/2×10×CD解得CD=(6×8)/10=48/10=24/5=4.8故AD的长为18/5，CD的长为24/5。反思总结：“双垂直”模型（即直角三角形斜边上的高）及其衍生的相似关系（射影定理的基础）是中考的高频考点。同学们不仅要会证明，更要熟练掌握由此产生的比例线段，如AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，CD²=AD·BD等（射影定理内容），这些结论在计算中能带来很大便利。（三）动态探究型例题3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<6）。连接PQ。(1)当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？(2)在P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。思路点拨：(1)这是一个动态点问题。△PCQ与△ACB都是直角三角形，要使它们相似，需分两种情况讨论：①△PCQ∽△ACB；②△PCQ∽△BCA。根据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解。(2)线段PQ的长度可以用含t的代数式表示出来，然后转化为二次函数求最值问题。解答过程：由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm∵AC=5cm，BC=12cm∴PC=AC-AP=(5-t)cm(0<t<5)(1)∵∠C=∠C=90°∴当△PCQ与△ACB相似时，有两种情况：①PC/AC=CQ/CB即(5-t)/5=2t/12化简得：12(5-t)=10t60-12t=10t22t=60t=30/11②PC/CB=CQ/AC即(5-t)/12=2t/5化简得：5(5-t)=24t25-5t=24t29t=25t=25/29∵0<t<6，且t=30/11≈2.73<5，t=25/29≈0.86<5，均符合题意。∴当t=30/11秒或t=25/29秒时，△PCQ与△ACB相似。(2)在Rt△PCQ中，PQ=√[PC²+CQ²]=√[(5-t)²+(2t)²]=√[25-10t+t²+4t²]=√[5t²-10t+25]设y=5t²-10t+25(0<t<5)∵a=5>0，∴y有最小值。当t=-b/(2a)=-(-10)/(2×5)=1时，y取得最小值。y最小值=5(1)²-10(1)+25=5-10+25=20∴PQ最小值=√20=2√5cm故线段PQ的长度存在最小值，最小值为2√5cm。反思总结：动态几何问题常常与相似三角形、函数最值等知识结合考查。解决这类问题的关键是：1.用含时间t（或其他变量）的代数式表示出相关线段的长度。2.根据题目条件（如相似）列出方程或函数关系式。3.注意分类讨论，特别是涉及到三角形相似时，对应顶点可能不唯一。4.求最值时，可借助二次函数的性质或基本不等式等方法。（四）与四边形结合型例题4如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长。思路点拨：(1)要证明△ADF∽△DEC，需找到两组对应角相等或对应边成比例且夹角相等。已知∠AFE=∠B，可利用平行四边形的性质（AD∥BC，AB∥CD，∠B+∠C=180°）进行角的转化。(2)在(1)的相似结论下，利用对应边成比例可求出DE的长，再在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE的长。解答过程：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠ADC∴∠ADF=∠DEC（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，∴∠C+∠B=180°∵∠AFE=∠B，且∠AFE+∠AFD=180°∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中∠ADF=∠DEC∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC（AA）(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴CD=AB=8由(1)知△ADF∽△DEC∴AD/DE=AF/DC即6√3/DE=4√3/8解得DE=(6√3×8)/4√3=12∵AD∥BC，AE⊥BC∴AE⊥AD，即∠EAD=90°在Rt△ADE中，AD=6√3，DE=12∴AE=√[DE²-AD²]=√[12²-(6√3)²]=√[144-108]=√36=6故AE的长为6。反思总结：本题将相似三角形置于平行四边形背景下，综合考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理。解题时要善于利用平行四边形中对边平行、对角相等、邻角互补等性质进行角的等量代换，从而为相似三角形的判定创造条件。三、总结与提升相似三角形的综合应用是中考数学的重中之重，其题型多变，难度不一。通过以上练习，我们再次体会到：1.夯实基础是前提：熟练掌握相似三角形的定义、判定定理和性质是解决一切综合题的基础。特别是“AA”、“SAS”、“SSS”判定定理的灵活运用。2.模型识别是关键：善于从复杂图形中分解出常见的相似模型，如“A”型、“X”型、“K”型、“母子型”等，能大大提高解题效率。3.转化思想是核心：在解决问题时，常常需要将边的关系转化为角的关系，或将角的关系转化为边的关系；将未知量转化为已知量，或将复杂问题转化为简单问题。4.分类讨论要牢记：当题目中存在不确定因素时（如相似三角形对应顶