初中数学七年级上册实际问题与一元一次方程分段计费与方案选择知识清单

初中数学七年级上册实际问题与一元一次方程分段计费与方案选择知识清单

一、核心概念与模型特征

【基础】【核心概念】

本部分内容聚焦于运用一元一次方程解决现实生活中的两类典型应用问题：分段计费问题和方案选择问题。这两类问题的核心在于数量关系的复杂化与条件的分化。

分段计费问题，其本质是总费用因数量（如用水量、用电量、通话时间、出行里程等）所处的区间不同而适用不同的计费标准。例如，水费、电费常采用阶梯价格，出租车费常包含起步价和超出后的单价。这种计费方式的数学模型是一个分段函数，但在初中阶段，我们主要通过分析未知量所属的不同范围，建立多个可能的方程，并结合实际情况对解进行取舍。

方案选择问题，其本质是在给定的若干种行动方案（如购物方案、出行方案、租车方案、上网套餐等）中，通过计算和比较，找到在特定条件下最优（通常指费用最省）的方案，或探求不同方案效果相等时的临界点。其数学模型通常是建立两个或多个代数式来表示不同方案的总费用，然后通过解方程求出方案费用相等的点，再通过不等式思想进行不同范围内的方案优劣比较。

二、必备知识储备

【基础】

（一）相关基本数量关系

1.总价与单价、数量的关系：总价等于单价乘以数量。

2.分段计费模型：总费用等于各段费用之和。例如，若用水量为x，第一阶梯用水量为a，单价为m；第二阶梯超出部分单价为n，则总费用可表示为：当x≤a时，费用为mx；当x>a时，费用为ma加上n乘以括号内x减a。

3.方案费用模型：方案总费用等于初始费用加上变动费用。例如，会员卡购物总价等于办卡费加上打折后的应付金额；打车总价等于起步价加上超出里程的计价。

（二）列方程解应用题的一般步骤

【高频考点】

审题：理解题意，分清已知量、未知量，找出能够表示实际问题全部含义的相等关系。这是最关键的一步，尤其要关注临界点、关键词如“超过部分”、“不足部分”、“优惠”、“选择”等。

设元：用字母如x表示题目中的一个未知数。可直接设未知数，也可间接设。

列式：用含x的代数式表示出其他相关的未知量。

列方程：根据找出的相等关系，列出方程。

求解：解所列的方程，求出未知数的值。

检验：既要检验所得结果是否为方程的解，更要检验其是否符合实际问题的意义，如取值是否在对应的分段区间内、人数是否为整数等。

作答：写出答案，包括单位名称。

三、分段计费问题深度解析

【难点】【热点】

（一）模型构建与关键量

1.临界点（分界点）：这是分段计费问题的核心。如用水量的第一阶梯上限、出租车起步里程、通话套餐内包含分钟数等。临界点将自变量的取值范围划分为不同的区间。

2.区间划分：明确自变量的每一个取值范围。通常涉及“不超过某值”、“超过某值但不超过某值”、“超过某值”等多个区间。

3.区间内的计费规则：准确理解并表达在每个区间内，总费用是如何计算的。尤其要注意“超出部分”的计费方式是问题的关键。

（二）解题策略与步骤【非常重要】

1.明确分段标准：仔细阅读题目，用笔勾画出所有分界点和对应的计费标准。

2.判断未知量所属区间：这是解题的第一步，也是最容易出错的一步。在设出未知量后，通常需要先估计其可能所在区间，或根据题意直接判断。若无法直接判断，则需进行分类讨论。

3.分类讨论建立方程：

假设未知量x在第一个区间内，根据该区间的计费规则列出方程并求解。

假设x在第二个区间内，再次根据规则列出新方程并求解。

以此类推，覆盖所有可能的区间。

4.检验解的合理性：对于每个区间求出的解，必须检验它是否落在我们进行假设的那个区间内。只有同时满足方程和区间范围的解，才是实际问题的有效解。若一个解落在其他区间，则需舍去。

5.整合答案：将所有有效解整合，给出最终答案。如果问题问的是在不同范围内分别应付多少钱，则答案可能是分情况的一个表达式或说明。

（三）典型例题精析

例：某市居民用水实行阶梯水价，收费标准如下：年用水量不超过180立方米的部分，单价为5元每立方米；超过180立方米但不超过260立方米的部分，单价为7元每立方米；超过260立方米的部分，单价为9元每立方米。若某用户去年共缴纳水费1290元，求该用户去年的用水量。

分析：此题已知总费用，反求用水量。关键在于判断1290元的费用对应哪个用水区间。

【解题步骤】

第一步：计算各段临界点的费用。

第一段封顶费用：180乘以5等于900元。

第二段封顶费用：900加上括号内260减180乘以7等于900加560等于1460元。

第二步：比较总费用与临界点费用。

因为900小于1290小于1460，所以可以判断该用户的用水量在第二区间内，即超过180立方米但不超过260立方米。

第三步：设未知数并列方程。

设该用户去年用水量为x立方米，且x在180到260之间。则根据第二区间的计费规则，总费用为180乘以5加上括号内x减180乘以7。列出方程：900加7倍括号内x减180等于1290。

第四步：解方程。

7倍括号内x减180等于1290减900等于390。x减180等于390除以7，计算结果不是整数，约为55.714。x约等于235.714立方米。

第五步：检验解。

x约等于235.714，该值确实在180到260的区间范围内，符合假设，因此是有效解。

【★易错点】若未先判断区间，直接假设x在第三区间并列出含9元每立方米的方程，解出的x约为258.89，但代入检验会发现此时总费用应为1460加9倍括号内258.89减260，计算结果不等于1290，且解不在假设的区间内，故舍去。

（四）常见考向与变式

【高频考点】

1.已知总量求总费用：给出数量，直接根据区间计算。这是基础考法。

2.已知总费用反求总量：如上述例题，是逆向思维，常需先估算区间。

3.与统计图、表结合：将分段计费规则以表格或图像形式呈现，考查学生读取信息的能力。

4.含参数的分段计费：题目中某些单价或分界点用字母表示，需进行代数推理。

5.两类计费方式对比：如两种不同的手机套餐，都采用分段计费，询问在某通话量下，哪种更划算。这便过渡到了方案选择问题。

四、方案选择问题深度解析

【难点】【热点】【非常重要】

（一）模型构建与关键量

1.备选方案：题目会给出两个或两个以上的行动方案。每个方案的费用通常可以表示为一个关于某变量x的代数式。

2.方案优劣的比较点：核心是比较不同方案在相同x值下的总费用。通常存在一个临界值，当x等于该值时，两方案费用相等；当x小于该值时，方案A更优；当x大于该值时，方案B更优。

3.最优化目标：根据题目要求，如“最省钱”、“最合算”，在给定的x值范围内或对于特定的x值，选出费用最低的方案。

（二）解题策略与步骤【非常重要】

1.方案代数化：分别用含未知数x的代数式表示出每种方案的总费用。设x通常表示影响方案选择的关键量，如购物金额、通话时间、乘车人数、租车数量等。

2.寻找临界点（平衡点）：令两个方案的费用代数式相等，解方程求出临界值x0。这个x0是方案优劣发生转变的关键点。

3.分类讨论与比较：

当x等于x0时，两方案费用相同，任选其一即可。

在x0的左侧任取一个方便计算的数，代入两个费用代数式，比较大小，得出在这个范围内哪个方案更省钱。

在x0的右侧同样任取一数，代入比较，得出另一范围内的优劣结论。

4.结合实际情况作答：根据题目最终的具体问题，如在给定的x值下选择方案，或探求x为何值时选甲方案更合算，给出明确的答案。

（三）典型例题精析

例：某校七年级组织学生去春游，如果单独租用40座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用50座客车，则少租一辆，并且有10个空座位。求该校七年级有多少人？同时，已知租用40座客车的租金为每辆300元，50座客车的租金为每辆350元。请你帮助设计一种最省钱的租车方案。

分析：本题分为两问，第一问是常规的列方程求人数，第二问是方案选择。

【解题步骤】

第一问：求人数。

设租用40座客车x辆，则学生人数为40x。根据第二种租车方式，租用50座客车辆数为x减1，人数可表示为50乘以括号内x减1再减10。根据人数不变列方程：40x等于50倍括号内x减1减10。解得x等于6。则学生人数为40乘以6等于240人。

第二问：方案选择。

方案一：全部租40座客车。需6辆，总费用为300乘以6等于1800元。

方案二：全部租50座客车。需x减1等于5辆，总费用为350乘以5等于1750元。比较可知，全部租50座比全部租40座省钱。

但问题是否到此结束？不是。我们还应考虑是否可以通过两种车混租，进一步降低成本。这就引出了第三种方案：混合租车方案。

设租用40座客车a辆，50座客车b辆，且要使所有学生都有座位。根据座位数条件：40a加50b大于等于240，且a、b均为非负整数。目标是使总费用w等于300a加350b最小。

我们可以从全部用50座开始逐步调整。全部用50座需5辆，费用1750，空10座。

尝试减少一辆50座，即b等于4，则40a需大于等于240减200等于40，所以a至少为1。此时总座位为40加200等于240，刚好坐满，无空座。费用为300加350乘以4等于300加1400等于1700元。

再尝试b等于3，则40a需大于等于240减150等于90，a至少为3，此时a等于3，b等于3，座位数为120加150等于270，空30座。费用为300乘以3加350乘以3等于900加1050等于1950元，费用更高。

尝试b等于2，a需大于等于4，费用为300乘以4加350乘以2等于1200加700等于1900元。

比较所有可行方案，发现当a等于1，b等于4时，费用1700元是最低的，且刚好坐满，没有浪费。

【解答要点】最终答案应为：最省钱的租车方案是租用40座客车1辆，50座客车4辆，总费用为1700元。

【★易错点】很多同学在比较完方案一和方案二后，就直接选择了较省钱的方案二，而忽略了混合租车这种可能更优的方案。因此，在方案选择问题中，必须考虑是否存在“组合方案”。

（四）常见考向与变式

【高频考点】

1.两方案对比：最基础的形式，如两种商品打折方式对比、两种通讯套餐对比。

2.三方案或多方案对比：可能会给出三种或更多的选择，需要逐一比较。

3.与方程、不等式综合：在方案选择中，除了费用相等的情况，更多时候需要用到不等式来判断在某个范围内哪种方案更优。例如，“当x取何值时，方案A比方案B省钱？”就需要列出不等式并求解。

4.方案设计型问题：如上述租车问题，不仅要在给定方案中选，还要自己设计出满足条件的多种方案，并从中选出最优解。这常与一次函数的最值问题（在初中阶段多为整数解问题）相结合。

5.与函数图像结合：将不同方案的费用与变量之间的关系用函数图像表示出来，通过观察图像的交点和走势来判断方案的优劣，考查数形结合思想。【非常重要】

五、综合拓展与思维提升

【难点】【拓展】

（一）数学思想的渗透

1.建模思想：将实际问题抽象为数学问题，用方程（或不等式、函数）作为工具来描述现实世界中的数量关系和变化规律。分段计费和方案选择是建模思想的经典范例。

2.分类讨论思想：在分段计费中，必须分情况讨论自变量的不同取值范围；在方案选择中，必须分情况讨论在不同范围内哪个方案最优。这是本章节最重要的数学思想。

3.数形结合思想：通过画图，特别是画出方案费用的函数图像，可以直观地看到临界点和方案的优劣变化趋势，有助于理解问题和避免计算错误。

4.优化思想：方案选择问题的核心就是在多种可能性中寻求最优解，这体现了数学的应用价值。

（二）与后续知识的联系

1.一次函数：分段计费问题的数学模型就是分段函数，方案选择问题的费用表达式就是一次函数。学好本节内容，为后续学习一次函数的图像与性质、一次函数与方程、不等式的关系奠定了坚实的基础。

2.不等式与不等式组：方案选择中比较优劣，本质上就是解不等式。临界点就是方程的解，而优劣范围就是不等式的解集。

3.二元一次方程组与一次函数的综合：如租车问题，常涉及设两个未知数，根据约束条件（座位、人数）列出方程或不等式，再寻找最优整数解，是综合能力的体现。

（三）易错点与避坑指南【★易错点】

1.审题不清，忽略分段节点：读题时漏看“超过部分”、“不足部分”等关键词，导致计费规则理解错误。

2.不分情况，盲目列方程：在分段计费问题中，没有先判断或讨论未知量所在区间，直接列出一个方程，导致解出的根不符合实际或漏解。

3.检验环节缺失：解出方程后，只检查计算是否正确，不检查解是否符合题意（是否在假设的区间内、人数是否为整数、钱数是否合理等）。

4.方案选择考虑不周：在租车、租船等问题中，只考虑单一车型，忘记考虑混合搭配的可能性。

5.单位换算错误：涉及里程、时间等单位时，没有统一单位就进行计算。

（四）应考策略与答题规范

【高频考点】【答题要点】

1.规范书写：对于需要分情况讨论的问题，答题时要清晰地写出“当……时”，“解此方程得……”。对于方案选择问题，要明确写出“方案一的费用为……，方案二的费用为……”。

2.步骤完整：应用题切忌跳步。设未知数、列代数式、列方程、解方程、检验、作答，每一步都应体现在卷面上。

3.关键语句：在列方程前，用文字简要写出“根据题意，得”或“由题意得”。在检验时，简写“经检验，x等于某值符合题意”。

4.结果表述：最后作答时，要写清楚单位，对于方案选择要明确指出选择哪个方案或如何设计。

六、知识清单自查与复习建议

【复习要点】

1.你是否能清晰复述分段计费问题的核心特征和解题