第12课时　角平分线的性质与判定

1.角平分线的性质(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离

;

(2)几何语言:如图所示,因为OP是∠MON的平分线,G为OP上任意一点,GE⊥OM,GF⊥ON,所以

。

第12课时角平分线的性质与判定相等GE=GF2.角平分线的判定(1)在一个角的内部,到角的两边距离

的点在这个角的平分线上;

(2)几何语言:如图所示,因为GE⊥OM,GF⊥ON,GE=GF,所以

。

相等OP是∠MON的平分线探究点1角平分线的性质例1

如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,且E是AB的中点,DE=3,求BC的长。解:∵∠C=90°,∴DC⊥AC。∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴DC=DE=3,∠DAB=∠CAD。∵E是AB的中点,∴DB=AD。∴∠DAB=∠B。∴∠CAD=∠DAB=∠B。∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°,∴∠CAD=∠EAD=∠B=30°。∴在Rt△BED中,BD=2DE=6,∴BC=BD+CD=6+3=9。如图所示,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PE⊥AC于点E,若PE=9,则点P到AB的距离是()A.18 B.12 C.6 D.9D探究点2角平分线的判定例2

如图所示,P是∠MON内的一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA,求证:OP平分∠MON。证明:∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB。∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,∴点P在∠MON的平分线上,即OP平分∠MON。1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是()A.2 B.3 C.4 D.52.如图所示,AD∥BC,AP,BP分别平分∠DAB,∠ABC,CD过点P且与AD垂直。若CD=8,AB=10,则△ABP的面积为

。

A201.如图所示,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是()A.线段CD的中点B.OA与OB的垂直平分线的交点C.CD与∠AOB的平分线的交点D.OA与CD的垂直平分线的交点C33.如图所示,BD平分∠ABC,BA=BC,点P在直线BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N。求证:PM=PN。证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中,∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD(SAS)。∴∠ADB=∠CDB。∴∠ADP=∠CDP。∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN。4.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,则BD的长为()A126.探究发现:如图(1)所示,在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE=DF。探究应用:如图(2)所示,在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在AB和AC上”。若∠AED+∠AFD=180°,则DE与DF是否仍相等?若相等,请证明;若不相等,请举反例说明。解:相等。证明如下:如图所示,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N。∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN。∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180