人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理及其应用》专项测试卷及答案

第第页人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理及其应用》专项测试卷及答案知识点梳理01：互逆命题与互逆定理互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理称这两个定理互为逆定理.1、对互逆命题的理解：①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.知识点梳理02：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：①找：找出三角形三边中的最长边；②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.【易错点拨】（1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C=90°在△ABC中，a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系.知识点梳理03：勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：①确定是否为三个正整数a，b，c;②确定最大数c；③计算较小两数的平方和是否等于c2;④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.题型1：判断三边能否构成直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中求的度数．【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中不能构成直角三角形的一组是（）A．345 B．357 C．6810 D．51213【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为如果试判断三角形的形状．题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图在方格中作以为一边的要求点C也在格点上这样的能作出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．7个【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图在中AB边上的垂直平分线DE与ABAC分别交于点DE且(1)求证：(2)若求CE的长．【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中点A和点B均为图中格点．点C也在格点上满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型3：在网格中判断直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图在的网格中每个小正方形的边长都为1四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上．(1)求线段和的长．(2)是直角吗？请说明理由．【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图在正方形的网格中每个小正方形的边长都为1的顶点都在网格线的交点上下列说法错误的是（）A． B．C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图网格中每个小正方形的边长都是1三点都是格点（水平线和垂直线的交点）．(1)判断的形状并证明(2)若是某个平行四边形的三个顶点在网格中画出所有符合题意的平行四边形．题型4：利用勾股定理的逆定理求解【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图一张三角形纸片已知将该纸片折叠若折叠后点与点重合折痕与边交于点与边交于点．(1)求的面积．(2)求折痕的长．【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图在中D为边上的一点．(1)求证：(2)求的面积．【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图中求的面积．题型5：勾股定理逆定理的实际应用【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年某小区在创城工作过程中在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图已知．(1)求的长度(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元试计算绿化这片空地共需花费多少元？【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形）经测量在四边形中．(1)是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境想要在空地上铺草坪已知草坪每平方米50元试问铺满这块空地共需花费多少元？【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境我区某中学有一块空地四边形如图所示学校计划在空地上种植草皮经测量米米米米．(1)求出空地的面积(2)若每种植1平方米草皮需要400元问总共需投入多少元？题型6：勾股定理逆定理的拓展问题【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中则（）A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：abc为正整数若则称c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．如则13是“完美勾股数”512是13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）(2)已知的三边abc满足．求证：c是“完美勾股数”．(3)已知m且c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式求该多项式的另一个因式．【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间小明拿着王老师的等腰直角三角板玩三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的如图．王老师没有批评他但要求他完成如下两个问题：（1）试说明（2）从三角板的刻度知AC＝25cm算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图中CA＝CB∠ACB＝90°AD⊥DE于DBE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．1．（2024·河北沧州·中考真题）在中D为中点则的长为（）A． B．2 C． D．2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边满足则的形状是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．（2024·上海·中考真题）如图在中P为边上一动点（不与端点重合）垂足分别为EFM为的中点设的长为x则x的取值范围是．4．（2024·全国·中考真题）如图在平行四边形中分别为边的中点是对角线交的延长线于连接．下列结论：①②四边形是菱形③④若那么．其中所有正确结论的序号是．5．（2024·云南丽江·中考真题）如图在直角三角形．(1)求的长．(2)试判断的形状．(3)求出四边形的面积．基础夯实1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结然后以个结间距个结间距个结间距的长度为边长构成一个三角形（如图）这个三角形其中一个角便是（）A． B． C． D．2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①②③④．以每组数据分别作为三角形的三边长能构成直角三角形的组数有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为则的面积为．5．（2024·湖南·模拟预测）如图在的正方形网格中点ABC都在正方形网格的格点上则．6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中的对边分别是若三边关系为则是直角．7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长满足则这个三角形是三角形．8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图在中D为边上的一点．(1)请说明．(2)求的面积．9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图在一条东西走向的河的一侧有一村庄河边原有两个取水点由于某种原因由到由到的路现在均不通该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上）并新修一条路测得米米米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明．10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图两条公路相交于点从点沿直线再修建一条公路到点．若．求证：．培优拔高11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为715202425现将它们摆成两个直角三角形摆放正确的是（）A． B．C． D．12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为715202425现将它们摆成两个直角三角形下列图形正确的是（）A． B．C． D．13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数则对这样的三角形描述正确的是（）A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图每个小正方形的边长都相等点均在小正方形的顶点上则的度数为．15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图有一块铁皮（图中阴影部分）测得则阴影部分的面积为．16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图在中分别以AB为圆心以大于的长为半径作弧两弧相交于FG两点作直线分别交于点MD再分别以AC为圆心以大于的长为半径作弧两弧相交于HI两点作直线分别交于点NE若则的长为．17．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为abc且满足则的形状为．18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：．19．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图某港口P位于东西方向的海岸线上“龙腾”号“海天”号轮船同时离开港口各自沿一固定方向航行“龙腾”号每小时航行16海里“海天”号每小时航行12海里它们离开港口小时后分别位于QR处且相距30海里如果知道“龙腾”号沿东北方向航行能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？20．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图在四边形中是边上的点连接．已知．现要在边上找一点使得是以为腰的等腰三角形则的长为（）A． B． C．或 D．或参考答案知识点梳理01：互逆命题与互逆定理互逆命题：如果两个命题题设结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理：一般地如果一个定理的逆命题经过证明是正确的那么它也是一个定理称这两个定理互为逆定理.1对互逆命题的理解：①“题设结论正好相反”是指位置相反即第一个命题的题设是第二个命题的结论第二个命题的题设是第一个命题的结论而不是指它们的意义相反②每个命题都有逆命题只有将原命题的题设改写成结论并将结论改成题设就可以得到原命题的逆命题但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构分清命题的条件和结论再改写成“如果……那么……”的形式.1每个命题都有逆命题但并不是每个定理都有逆定理只有当一个定理的逆命题为真命题时它才有逆定理也就是说定理一定有逆命题但不一定有逆定理.知识点梳理02：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长abc满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.1用勾股定理判定直角三角形的步骤：①找：找出三角形三边中的最长边②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方③判：若两者相等则这个三角形是直角三角形否则不是.【易错点拨】（1）a2+b2=c2只是一种表达形式只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形其中最长边即为斜边.（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法也可以用定义或其他方法来证明.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中∠C=90°在△ABC中a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2是由“形”到“数”.勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系.知识点梳理03：勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数称为勾股数．1三个数必须是正整数例如：2.566.5满足a2+b2＝c2但是它们不是正整数所以它们不是够勾股数．2一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．3记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：345681051213…4判断一组数是否为勾股数的一般步骤：①确定是否为三个正整数abc;②确定最大数c③计算较小两数的平方和是否等于c2;④若相等则这三个数是一组勾股数否则不是一组勾股数.题型1：判断三边能否构成直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在中求的度数．【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理掌握知识点是解题的关键．通过计算可得进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形据此即可求．【规范解答】解：∴为直角三角形且．【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中不能构成直角三角形的一组是（）A．345 B．357 C．6810 D．51213【答案】B【思路点拨】本题主要考查勾股定理逆定理熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键根据勾股定理逆定理若三角形三边满足（c为最长边）则该三角形为直角三角形分别计算各组线段是否满足此条件即可．【规范解答】解：对于选项A：∵∴能构成直角三角形对于选项B：∵∴不能构成直角三角形对于选项C：∵∴能构成直角三角形对于选项D：∵∴能构成直角三角形故选：B．【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为如果试判断三角形的形状．【答案】该三角形是直角三角形【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质．根据非负数的性质可得再解出的值利用勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形．【规范解答】解：该三角形是直角三角形．理由如下：∵∴．解得．∵∴∴该三角形是直角三角形．题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图在方格中作以为一边的要求点C也在格点上这样的能作出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．7个【答案】C【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理正确进行讨论把每种情况考虑全是解决本题的关键当是斜边时有四个当是直角边时有2个．【规范解答】解：当是斜边时则第三个顶点所在的位置有：CDEH四个当是直角边A是直角顶点时第三个顶点是F点当是直角边B是直角顶点时第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选C．【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图在中AB边上的垂直平分线DE与ABAC分别交于点DE且(1)求证：(2)若求CE的长．【答案】(1)证明见解析(2)【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质勾股定理的逆定理勾股定理根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可．（1）连接根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证（2）设在（1）的结论上利用勾股定理列出方程计算即可求解．【规范解答】（1）证明：连接∵是的垂直平分线∴∵∴即∴是直角三角形∴（2）∵∴设则∵∴解得∴【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中点A和点B均为图中格点．点C也在格点上满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【规范解答】解：如图满足条件的点C共有4个故选D．题型3：在网格中判断直角三角形【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图在的网格中每个小正方形的边长都为1四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上．(1)求线段和的长．(2)是直角吗？请说明理由．【答案】(1)(2)是直角理由见解析【思路点拨】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理解答即可（2）根据勾股定理逆定理即可．【规范解答】（1）解：根据题意得：（2）解：是直角理由如下：如图连接根据题意得：∴∴为直角三角形且即是直角．【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图在正方形的网格中每个小正方形的边长都为1的顶点都在网格线的交点上下列说法错误的是（）A． B．C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理三角形面积公式．根据勾股定理可判断AC进而根据勾股定理逆定理可判断B最后根据三角形面积公式判断D即可．【规范解答】解：A说法正确则三边长均为无理数C说法错误则即B说法正确设边上的高为则解得D说法正确故选：C．【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图网格中每个小正方形的边长都是1三点都是格点（水平线和垂直线的交点）．(1)判断的形状并证明(2)若是某个平行四边形的三个顶点在网格中画出所有符合题意的平行四边形．【答案】(1)是直角三角形证明见解析(2)见解析【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理平行四边形的判定对于（1）根据勾股定理求出再根据勾股定理的逆定理判断即可对于（2）以为边过点AB作的平行线两直线交于点四边形是平行四边形再以为对角线作四边形是平行四边形然后以为对角线作四边形是平行四边形.【规范解答】（1）解：是直角三角形．证明：由已知．∴∴是直角三角形（2）解：题型4：利用勾股定理的逆定理求解【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图一张三角形纸片已知将该纸片折叠若折叠后点与点重合折痕与边交于点与边交于点．(1)求的面积．(2)求折痕的长．【答案】(1)(2)【思路点拨】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理勾股定理与折叠问题熟知折叠的性质是解答此题的关键．（）先根据勾股定理逆定理判断为直角三角形然后根据三角形的面积公式解答即可（）连接根据折叠的性质可知设则在中利用勾股定理即可求出的长同理在中利用勾股定理即可求出的长．【规范解答】（1）解：∵∴∴∴（2）解：连接设∵折叠后点与点重合折痕与边交于点与边交于点．∴∴设则在中即解得∴∵∴．【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图在中D为边上的一点．(1)求证：(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)84【思路点拨】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理熟练掌握勾股定理勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据得证明（2）根据勾股定理得求得计算的面积即可．【规范解答】（1）解：∵∴∴∴.（2）解：∵∴∴∴的面积为：．【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图中求的面积．【答案】【思路点拨】此题考查了勾股定理逆定理勾股定理三角形面积熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出再根据勾股定理逆定理推出是直角三角形最后根据三角形面积公式求解即可．【规范解答】解：由题意得∵∴∴（负值舍去）∵∴∴是直角三角形且∴的面积．题型5：勾股定理逆定理的实际应用【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年某小区在创城工作过程中在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图已知．(1)求的长度(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】(1)的长度为(2)共需花费元【思路点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用掌握以上知识是解题的关键．（1）根据题意可知在中根据勾股定理即可求解（2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形由此即可求解绿化空地的面积由此即可求解．【规范解答】（1）解：∵∴在中∴的长度为．（2）解：已知∴∴即∴是直角三角形∴∴空地的绿化的面积为∵平均每平方米空地的绿化费用为元∴绿化这片空地共需花费（元）∴共需花费元．【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形）经测量在四边形中．(1)是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境想要在空地上铺草坪已知草坪每平方米50元试问铺满这块空地共需花费多少元？【答案】(1)是直角三角形见解析(2)1800元【思路点拨】(1)根据勾股定理计算根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形解答即可．(3)根据三角形面积公式确定四边形的面积后面积乘以单价计算即可．本题考查了勾股定理及其逆定理熟练掌握定理是解题的关键．【规范解答】（1）解：是直角三角形理由如下：如图连接∵∴∵且∴故是直角三角形．（2）解：根据题意得四边形面积为：=．根据题意得（元）．【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境我区某中学有一块空地四边形如图所示学校计划在空地上种植草皮经测量米米米米．(1)求出空地的面积(2)若每种植1平方米草皮需要400元问总共需投入多少元？【答案】(1)(2)9600元【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键（1）连接利用勾股定理求得再根据勾股定理的逆定理判断出由求解即可（2）由总面积每平米的费用求解即可．【规范解答】（1）解：连接在中答：空地的面积为24．（2）解：总共需投入（元）答：总共需投入9600元．题型6：勾股定理逆定理的拓展问题【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中则（）A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能【答案】A【思路点拨】本题主要考查了三角形边角关系由已知条件入手把进行变形变形为再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式再利用完全平方公式得可得可得一定是锐角．【规范解答】解：∵∴∴∵是三角形的三边∴∴∵∴即∴∴一定是锐角．故选：A．【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：abc为正整数若则称c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．如则13是“完美勾股数”512是13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）(2)已知的三边abc满足．求证：c是“完美勾股数”．(3)已知m且c为“完美勾股数”ab为c的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式求该多项式的另一个因式．【答案】(1)是(2)见解析(3)【思路点拨】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．（1）根据完美勾股数的定义可得答案（3）利用完全平方公式证明即可（3）由勾股定理可得mn的关系式将mn的关系式代入根据多项式有一个因式求解即可．【规范解答】（1）解：数10是“完美勾股数”故答案为：是（2）证明：是“完美勾股数”（3）解：由题意得：又即有一个因式为∴另一个因式为．【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间小明拿着王老师的等腰直角三角板玩三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的如图．王老师没有批评他但要求他完成如下两个问题：（1）试说明（2）从三角板的刻度知AC＝25cm算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图中CA＝CB∠ACB＝90°AD⊥DE于DBE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．【答案】（1）证明见解析（2）5cm【思路点拨】（1）根据题意可得AC＝BC∠ACB＝90°AD⊥DEBE⊥DE进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【规范解答】证明：（1）如图：∵AD⊥DEBE⊥DE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∴∠1+∠2＝90°∵∠ACB＝90°∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°∵∠ADC＝∠BEC＝90°∴∠1＝∠3由∠ADC＝∠BEC＝90°∠1＝∠3CA＝CB∴△ADC≌△CEB（2）设每块砖厚度为xcm由①得DC＝BE＝3xcmAD＝4xcm∵∠ADC＝90°∴AD2+CD2＝AC2即（4x）2+（3x）2＝252解得x＝5（x=﹣5舍去）∴每块砖厚度为5cm．1．（2024·河北沧州·中考真题）在中D为中点则的长为（）A． B．2 C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．先证明再利用勾股定理可得从而可得答案．【规范解答】解：如图：∵∴∴∴∵点D是的中点∴∴故选：D．2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边满足则的形状是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理掌握以上定理是解题的关键．根据因式分解利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解．【规范解答】解：由得当时此时的形状是等腰三角形当时此时的形状是直角三角形∴的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D．3．（2024·上海·中考真题）如图在中P为边上一动点（不与端点重合）垂足分别为EFM为的中点设的长为x则x的取值范围是．【答案】【思路点拨】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形得出四边形是矩形求出求出即可得出答案．【规范解答】解：如图所示连接．∵∴∴∴∵∴∴四边形是矩形∴∵M为中点∴∵当时值最小∴此时∴∴即当P和C重合时∵P和BC不重合∴即∴即故答案为：．4．（2024·全国·中考真题）如图在平行四边形中分别为边的中点是对角线交的延长线于连接．下列结论：①②四边形是菱形③④若那么．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定勾股定理的逆定理三角形中线的性质直角三角形的性质菱形的判定与性质先由平行四边形的性质得到再由线段中点的定义推出则可证明四边形是平行四边形据此可判断①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到据此可判断②由三角形中线平分三角形面积得到据此可判断③证明四边形是平行四边形得到再假设可证明此时则这与矛盾据此可判断④．【规范解答】解：∵四边形是平行四边形∴∵分别为边的中点∴∴∴四边形是平行四边形∴故①正确∵点E为的中点∴∴平行四边形是菱形故②正确∵为的中点∴即故③正确∵∴四边形是平行四边形∴∴∵四边形是菱形∴当时则则∴这与矛盾∴不成立故④错误故答案为：①②③．5．（2024·云南丽江·中考真题）如图在直角三角形．(1)求的长．(2)试判断的形状．(3)求出四边形的面积．【答案】(1)5(2)直角三角形(3)36【思路点拨】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）在中利用勾股定理求出的长（2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形（3）利用（2）的结论然后根据四边形的面积的面积的面积进行计算即可解答．【规范解答】（1）解：（2）解：是直角三角形是直角三角形（3）解：四边形的面积的面积的面积四边形的面积为36．基础夯实1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结然后以个结间距个结间距个结间距的长度为边长构成一个三角形（如图）这个三角形其中一个角便是（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】此题考查了勾股定理的逆定理设结间距为再根据勾股定理的逆定理即可求解掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．【规范解答】解：设结间距为∴∴这个三角形其中一个角是故选：．2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形已知三角形三边的长只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【规范解答】解：A∵∴能构成直角三角形不符合题意B∵∴能构成直角三角形不符合题意C∵∴能构成直角三角形不符合题意D∵∴不能构成直角三角形符合题意．故答案为：D．3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①②③④．以每组数据分别作为三角形的三边长能构成直角三角形的组数有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组【答案】C【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理和三角形三边关系对于每组数据先判断是否能构成三角形（任意两边之和大于第三边）再判断是否满足勾股定理．【规范解答】解：①故不能构成直角三角形②故能构成直角三角形③不能构成三角形④故能构成直角三角形∴能构成直角三角形的组数为②和④共2组故选：C．4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为则的面积为．【答案】【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式由三边长度利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形根据直角三角形面积公式求解即可．【规范解答】解：设所以是直角三角形且为直角边为斜边故故答案为：．5．（2024·湖南·模拟预测）如图在的正方形网格中点ABC都在正方形网格的格点上则．【答案】/度【思路点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理先用勾股定理分别计算的长由此即可判断是等腰直角三角形即可．【规范解答】解：根据勾股定理得∴∴.故答案为：．6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中的对边分别是若三边关系为则是直角．【答案】【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理熟练掌握以上知识是解题的关键．考查了勾股定理的逆定理运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．【规范解答】解：在中的对边分别是三边关系为是直角．故答案为：．7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长满足则这个三角形是三角形．【答案】直角【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形．【规范解答】解：∵∴∴∴三角形是直角三角形故答案为：直角．8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图在中D为边上的一点．(1)请说明．(2)求的面积．【答案】(1)说明见解析(2)的面积为84【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理勾股定理求三角形的面积对于（1）根据可知为直角三角形即可得出答案对于（2）先根据勾股定理求出即可得出然后根据的面积得出答案．【规范解答】（1）证明：∵∴即∴为直角三角形∴（2）解：∵为直角三角形∴∴∴∴的面积．9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图在一条东西走向的河的一侧有一村庄河边原有两个取水点由于某种原因由到由到的路现在均不通该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上）并新修一条路测得米米米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明．【答案】是从村庄到河边最近的路见解析【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段由已知条件可知进而得到根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论．【规范解答】解：是从村庄到河边最近的路．证明：米米米是直角三角形且是从村庄到河边最近的路．10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图两条公路相交于点从点沿直线再修建一条公路到点．若．求证：．【答案】证明过程见解析【思路点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用准确利用公式求解是解题的关键．根据已知数据利用进行判断即可【规范解答】．培优拔高11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为715202425现将它们摆成两个直角三角形摆放正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算判定即可解答．【规范解答】解：∵∴∴以72425三根木棒能摆成直角三角形以152025三根木棒能摆成直角三角形即C选项符合题意．故选：C．12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为715202425现将它们摆成两个直角三角形下列图形正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形这里给出三边的长只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【规范解答】解：A．故A不正确B．故B正确C．故C不正确D．故D不正确．故选：B．13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数则对这样的三角形描述正确的是（）A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形【答案】A【思路点拨】本题考查了三角形三边关系完全平方公式整式的加减勾股定理的逆定理及应用理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形反之则为钝角三角形．由三角形的三边长是连续偶数分三边为246468681081012逐一判断再当三角形的最小边不小于8时设三角形的三边分别为再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形反之则为钝角三角形进行判断即可．【规范解答】解：由三角形的三边长是连续偶数当三边为246时∵∴246不能组成三角形当三边为468时∵∴最大角为钝角则三边为468时三角形是钝角三角形当三边为6810∵∴三边为6810时三角形是直角三角形当三边为81012∵∴三边为81012时三角形是锐角三角形（最大角为锐角）当三角形的最小边不小于8时设三角形的三边分别为有解得∵∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形综上只有1个钝角三角形．故选A．14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图每个小正方形的边长都相等点均在小正方形的顶点上则的度数为．【答案】【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用利用网格先计算再进一步解答即可．【规范解答】解：设小正方形边长为1连接∵∴且∴是等腰直角三角形．故答案为：．15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图有一块铁皮（图中阴影部分）测得则阴影部分的面积为．【答案】24【思路点