雨课堂学堂在线学堂云《泛函分析（北京交通）》单元测试考核答案

第1题对于所有非空集合,下面结论成立的是()A可以赋予距离B有的不可以赋予距离C只能赋予唯一距离第2题空间的默认距离是指(）ABC第3题设则不等式是指()ABC第4题所有距离都有()A正定性B对称性C三角不等式正确答案：ABC第5题空集也可以赋予距离。()第6题实值连续函数空间是有界函数空间的真子空间。()第7题不等式在空间不成立。()

第8题实直线是一个度量空间,若其度量为d(x,y)=|x-y|.()第9题实值连续函数空间是一个度量空间,其度量为.()第10题是可分的.()第11题离散集合是一个度量空间，其度量为.()第12题有界函数空间是一个度量空间，其度量为.()第13题若集合不是开集，则就是闭集.()第14题两个度量空间和的笛卡尔积可以以多种方式构成度量空间,即的定义方式不唯一.()第15题对于赫尔德不等式:,其中参数应满足()A且B或CD或第1题的中的任一开球都是(

)。A开集B闭集C既是开集又是闭集第2题设是闭集,则中的点()。A都是内点B都是聚点C不确定第3题对于空集和全空间,下列说法正确的是()。A都是开集B都是闭集C全空间是开集,空集不是开集正确答案：AB第4题设则。(

)第5题有理数集的聚点全体组成的集合是空集。()第6题有理数集是实数集的一个稠密子集。()第7题开集中存在点不是内点.()第8题若在中稠密,则对任意的及任意的,总存在中的点,使得.()第9题若是集合的一个聚点,则

的任一邻域都含有的无穷多个点.()第10题有界函数空间是可分空间.()第11题下列集合中除哪个集合外均既是开集又是闭集()A实数空间B离散空间的任意子集C空集D第12题下列哪个空间是不可分的()A实直线B复平面C空间D空间习题第1题中任意收敛点列的极限与的关系为()。A一定属于B一定不属于C不一定属于第2题度量空间中收敛点列的极限具有下面的性质()。A唯一B不唯一C有界正确答案：AC第3题若是闭集,则有()。ABC有界正确答案：AB第4题则有()。A一定属于BC使得正确答案：BC第5题完备度量空间的任意子空间也完备。(

)第6题度量空间中点的邻域是指。(

)

第7题是一个有界集⟺.()第8题度量空间中的Cauchy序列一定是收敛序列.()第9题度量空间中的收敛序列不一定是Cauchy序列.()第10题所有闭区间都是完备的.()第11题设和是两个度量空间,是一映射,对,则在处连续当且仅当时,就有.()第12题下列哪个命题是正确的()A实直线是完备度量空间B复平面不是完备度量空间C有理直线是完备度量空间D所有多项式组成的集合是完备度量空间习题第1题对于的所有子空间来说,下列哪种情形是完备的。()A任一子空间B任意闭子集C任一开子集第2题有理数集Q是()。A完备的B不完备的C的闭子集第3题离散度量空间具有下列性质()。A是完备的B不具备完备性C它的任意子集都具有完备性正确答案：AC第4题同一非空集合给以不同的度量,其完备性可能不同。()第5题任意度量空间都可以完备化。()第6题是完备的。()第7题次可和序列空间不是完备的.()第8题有界序列空间是完备的.()第9题下列命题正确的是()A且,则开区间是的完备子空间B且,则闭区间是的不完备子空间C且,则开区间是的不完备子空间D且,则开区间是的完备子空间第10题若是度量空间中有限个点组成的子空间,则是完备的.()第11题若是完备的,令,则也是完备的.()第12题若中的和收敛且有相同的极限,则.()习题第1题设是一个集合,是一个映射,称为的一个不动点,则满足(

)。ABC第2题下面说法正确的是()。A压缩映射都是连续的B压缩映射都不是连续的C不是所有的压缩映射都是连续的第3题在上,令,则的不动点个数为()。A1B2C无穷多个第4题设是非空完备距离空间,是压缩映射,则(

)。A有多个不动点B有唯一不动点C也可能没有不动点第5题在上,定义,则是一个压缩映射。(

)第6题在上,定义,则有唯一不动点。(

)第7题压缩映射也可以定义为。()第8题任一距离空间上的压缩映射都存在唯一不动点。()第9题度量空间X上的压缩映射T是连续映射。()第10题对于一个函数且M为闭区间。若,则为压缩映射。()第11题度量空间X上的T是压缩映射，则Tn是连续映射。第12题下列说法正确的是()A在上,令,则有一个不动点B在上,令,则没有不动点C在上,令,则有无穷多个不动点D在上,令,则有两个不动点第一章测试第1题若,,则=()。ABC第2题下列哪个空间是不可分的()A实直线B复平面C空间D空间第3题设是有限点集,则的聚点集合为(

)。A自身B空集C全空间第4题任意子集的聚点一定(

)。A属于B不属于C属于第5题下列命题错误的是()A设是一个度量空间,若是闭集,则完备B设是一个度量空间,若完备,则是闭集C若是一个完备的度量空间,是它的子集,则是闭集⇔完备D若是一个度量空间,是它的子集且是闭集,则不一定完备第6题离散的度量空间具有下列性质(

)。A完备性B它的任意子空间也完备C它的任意子集没有聚点正确答案：ABC第7题度量空间具有(

)。A正定性B对称性C三角不等式正确答案：ABC第8题下列哪些集合是完备的(

)。ABC正确答案：BC第9题任意集合都可以赋予度量。(

)第10题一个非空集合只能赋予一个度量。(

)第11题柯西列一定是收敛列。()第12题所有度量空间都是可分的。(

)第13题一个完备度量空间的任意子空间也是完备的。(

)第14题每一压缩映射必是连续的。()第15题设X=(X,d)是度量空间,对于映射,若存在正实数使得对所有的有,则称T在X上是压缩的。()第16题

假设X=(X,d)是非空的完备度量空间,是X上的压缩映射,则T恰好有一个不动点。()第17题若是完备度量空间X到X上的连续映射,假设存在正整数n,满足为压缩映射,则有至少n个不动点。()第18题离散集合不是一个度量空间，其度量为.()第19题度量空间中的收敛序列一定有界,且极限唯一.()第20题同一个非空集合给以不同的度量其完备性也可能不相同.()习题第1题若是矢量空间,则对任意则有与的关系为(

)。A属于B不属于C无法确定第2题若是矢量空间,,则由张成的集合满足(

)。A是的子空间B是的真子空间C第3题若是矢量空间,下列说法正确的为(

)。A此空间一定存在零元素B每一元素都有逆元素C对正确答案：AB第4题下列哪些空间是无限维的(

)。ABC正确答案：BC第5题矢量空间的任意子集也是矢量空间。()第6题有限维矢量空间只有唯一的一组基。()第7题空集和全空间都是的子空间。()第8题的任意子空间也是有限维的。()第9题每个无限维空间都存在哈梅尔基。()第10题设是一向量空间,若对所有以及任意标量,都有,则称Y是X的一个子空间.()第11题设是维矢量空间,则的任一真子空间的维数都小于.()第12题设是无穷维向量空间,则的任一真子空间的维数都是有限的.()第13题按照通常的加法和乘法,所有实数的集合构成一维实向量空间,所有复数的集合构成一维复向量空间.()第14题指出下列的子集中哪个构成的子空间,这里.()A满足的所有B满足的所有C满足的所有D满足的所有第15题下列的子集中哪个构成的子空间()ABCD第16题下列的子集中哪个构成的子空间()ABCD习题第1题所有的赋范空间都具有下列性质(

)。A可成为度量空间B是指C都是巴拿赫空间第2题巴拿赫空间的一个子空间是完备的,则有(

)。A是开集B是闭集C=第3题赋范空间的范数须满足()。A非负性B非齐次性C三角不等式正确答案：AC第4题设是赋范空间,则由范数诱导的度量满足(

)。ABC正确答案：AB第5题下列哪些空间是巴拿赫空间(

)。ABC正确答案：BC第6题所有的赋范空间都是巴拿赫空间。()第7题可分的赋范空间都存在Schauder基。()第8题数轴上任意区间都是巴拿赫空间。()第9题赋范空间中,任意级数的绝对收敛蕴含着收敛。()第10题赋范空间不一定是度量空间.()第11题度量空间不一定是赋范空间.()第12题巴拿赫空间的赋范子空间是完备的⇔在中是闭的.()第13题在赋范空间中,任意级数的绝对收敛推出收敛当且仅当是完备的.()第14题所有的赋范空间都存在Schauder基.()第15题在巴拿赫空间中,绝对收敛的级数也是收敛的.()第16题赋范空间一定是线性空间.()习题第1题有限维矢量空间中,任意两种范数的关系为()。A等价B不等价C无法确定第2题下列哪些集合是紧集()。ABC第3题紧集的任意子集是()。A紧集B有界集C闭集第4题有限维赋范空间的一个子集是紧集当且仅当它是()。A有界集B闭集C有界闭集第5题赋范空间的每一个有限维子空间满足()。A是完备的B是闭子空间C是有界的正确答案：AB第6题有限维赋范空间都是巴拿赫空间。()第7题两个紧集之并仍是紧集。()第8题无限维赋范空间的单位球面是紧集。()第9题无限维矢量空间上的任意两种范数都是等价的.()第10题度量空间中任一子集是紧集当且仅当是有界闭集.()第11题赋范空间是有限维的当且仅当中的闭单位球是紧的.()第12题维欧几里得空间是紧的.()第13题下列关于紧集说法正确的是()A度量空间中有界闭集是紧集B度量空间中紧集与有界闭集是等价的C度量空间中有界闭集不一定是紧集D度量空间中紧集不一定是有界闭集第14题下列说法正确的是()A紧集通过连续映射作用后还是紧集B连续映射在紧集上没有最大值和最小值C连续映射在紧集上只有最大值没有最小值D连续映射在紧集上只有最小值没有最大值第15题下列说法正确的是()A中的有界闭集不一定是紧集,反之亦然B中的有界闭集不一定是紧集C中的紧集不一定是有界闭集D中的有界闭集与紧集是一致的习题第1题零算子具有下列性质()。A是非线性的B有界的C范数为1第2题每一个线性算子的逆算子满足()。A还是线性算子B不再是线性算子C有界第3题任意两个有界线性算子的复合算子是()。A还是线性的B非线性的C还是有界的正确答案：AC第4题有限维赋范空间上的每个线性算子具有下列性质()。A有界B无界C连续正确答案：AC第5题若是线性算子,则。(

)第6题恒等算子的范数都是1。()第7题设是数域,则一定是巴拿赫空间。()第8题有界线性算子不一定是连续线性算子。()第9题微分算子不是线性算子.()第10题若线性算子存在逆算子,则逆算子是线性算子.()第11题下列哪个算子不是线性算子()A恒等算子B零算子C三角函数算子D积分算子第12题下列定义的从到的算子中哪个不是线性算子()ABCD第13题设是两个向量空间,是一个线性算子,其中且,则下列说法正确的是()A逆算子存在是的充分必要条件B逆算子存在是的充分不必要条件C逆算子存在是的必要不充分条件D逆算子存在是的既不充分也不必要条件第14题设X和Y是两个赋范空间，是线性算子，，则连续当且仅当有界.()第15题

设X和Y是两个赋范空间,

是一个线性算子,其中,则在一点连续当且仅当点点连续.

()第16题令是作用在上的有界线性算子,则()ABCD第17题下列哪个算子不是有界线性算子()A恒等算子B零算子C积分算子D微分算子第18题设是有界线性算子,下列说法正确的是()A零空间是闭的B零空间是开的C若,则由可推出D若,由不可推出习题第1题在上,令,则()。A是有界线性泛函B是无界的C不是线性的第2题从赋范空间到的一个线性映射是同构的,则须满足(

)即可。A是满射B是单射C是双射,且第3题下列说法正确的是()。A有界线性泛函也是连续线性泛函B在某点连续的线性泛函就是连续线性泛函C任意连续函数都是有界线性泛函正确答案：AB第4题若是有界线性泛函,则()。A使B使C正确答案：AC第5题连续线性泛函也为有界线性算子。()第6题赋范空间上的范数||⋅||:X→R是线性泛函。(

)第7题在上,则。()第8题

为定义在上的有界线性泛函(其中

固定)。()第9题,其中,为定义在上的有界线性泛函。()第10题

赋范空间(X,||||)上的范数是X上的泛函,但不是线性的。()第11题B(X,Y)是X到Y的所有有界线性算子,若Y是Banach空间,则B(X,Y)也是Banach空间。()第12题赋范空间X的对偶空间也是Banach空间。()第13题

赋范空间X不是Banach空间,则其对偶空间也不是Banach空间。()第14题的对偶空间是。()第15题空间的对偶空间是()ABCD第二章测试第1题矢量空间的任意子集具有下列性质()。A都是子空间B都不是子空间C对加法和数乘运算封闭就是子空间第2题一个有界线性算子,若满足,则()。ABC第3题下列的子集中哪个构成的子空间()ABCD第4题巴拿赫空间的子空间是完备的等价于(

)。A是开集B是闭集C是有界集第5题的对偶空间为(

)。ABC第6题若线性算子有界等价于(

)。A它是连续的B它在某一点连续C正确答案：AB第7题有限维赋范空间有下列性质()。A是巴拿赫空间B任意有界子集是紧集C它的单位球面是紧集正确答案：AC第8题下列哪些空间是无限维的(

)。ABC正确答案：BC第9题有限维矢量空间有唯一的一组基。()第10题矢量空间的子空间一定是闭集。()第11题巴拿赫空间的任意闭子空间也是巴拿赫空间。()第12题紧集的任意子集也是紧集。()第13题线性算子的逆算子也是线性的。()第14题可分的赋范空间存在Schauder基。(

)第15题任一有界线性算子的零空间都是开集。()第16题任意赋范线性空间的对偶空间都是巴拿赫空间。(

)第17题两个同构的赋范空间所含元素是相同的。(

)第18题在赋范空间中,若任意级数的绝对收敛推出收敛当且仅当是完备的.()第19题在有限维向量空间上,任意两种范数都是等价的.()第20题有界线性算子的逆一定是有界算子.

()习题第1题在同一矢量空间上可以定义不同的内积,从而构成不同的内积空间。()第2题所有的内积空间都是赋范空间,其范数为内积诱导的范数。()第3题赋范空间一定是内积空间。()第4题范数不满足平行四边形法则,则该空间不是内积空间。()第5题若内积空间按诱导范数是完备的,则为Hilbert空间。()第6题内积空间都是Hilbert空间。()第7题若X是内积空间,Y是X的有限维子空间。则Y不一定是完备的。()第8题若X是完备的内积空间，Y是X的子空间，则Y是完备的当且仅当Y是闭集。()第9题以下不是内积空间的是()。AB[a,b]CD第10题内积满足下列性质()。A正定性BC对第一元有线性性质正确答案：AC第11题设为内积空间,则则()。ABC正确答案：AB第12题内积空间也是距离空间。()第13题空间是希尔伯特空间。()第14题等号成立当且仅当线性相关。()第15题若和,不一定推出。()第16题不是Banach空间。()3.2习题第1题矢量空间中,子空间与凸子集的关系为()。A子空间必是凸子集B凸子集必是子空间C二者关系不确定第2题设是内积空间,是中一个完备的子空间,则对有下列性质成立()。A存在无穷多个使B存在唯一的使C不存在使第3题下列说法正确的是()。ABC若,则第4题设H是希尔伯特空间，Y是H的闭子空间，则对任意x∈H,一定有下列性质成立()。Ax在Y上有无穷多个正交投影Bx在Y上有唯一的正交投影Cx在Y上没有正交投影第5题设是希尔伯特空间到闭子空间上的正交投影算子,且,则下列说法正确的为()。ABC正确答案：AC第6题设是内积空间的子空间,则。()第7题内积空间中的任意子集的正交补都是闭子空间。()第8题设是希尔伯特空间的非空子集,若,则。()第9题正交投影算子都是有界线性算子。()第10题正交补空间并不唯一。()第11题设X是内积空间,

且,

有<x,y>=0,则称M是正交集。()第12题标准正交集不一定是线性无关的。()第13题代数补空间是唯一的。()第14题正交和是直和。()第15题设Y是Hilbert空间H的闭子空间,则。()第16题设M是Hilbert空间H的非空子集,spanM在H中稠密,则。()习题第1题内积空间中的标准正交集是指()。ABC第2题若是正交集,则()。ABC第3题设是内积空间,为中的一个标准正交集,则对任意都有()。ABC第4题设为希尔伯特空间,为中的一标准正交集,则有()。A的有有限个B的有无限个C的有至多可数个第5题设是内积空间,则下列说法正确的为()。A标准正交集一定线性相关B任一线性无关的集合都可化成标准正交集C标准正交集一定线性无关正确答案：BC第6题任意内积空间中,勾股定理都成立。()第7题中不存在标准正交集。()第8题设为希尔伯特空间,为中的一标准正交集,则不一定收敛。()第9题任意内积空间中,为中的一标准正交集,对任意,贝赛尔不等式总是成立的。()

第10题

任意n维内积空间都有标准正交基。()第11题

中,设,k=1,2,...,n(第k项为1,其他项为0)则是的一组标准正交集。()第12题设是Hilbert空间H中的标准正交序列,若级数收敛,则级数收敛。()第13题设是Hilbert空间H中的标准正交序列,若级数收敛,则级数收敛。()第14题设是Hilbert空间H中的标准正交序列,x∈H.若收敛,则。()第15题设是Hilbert空间H中的标准正交序列.若级数发散,则级数收敛。()

习题第1题希尔伯特空间空间的完全标准正交集等价于()。A它是正交集B它是完全集C它是标准正交基第2题的标准正交基是()。A唯一的B无穷多个C不存在的第3题以下空间存在标准正交基()。ABC正确答案：BC第4题设为希尔伯特空间,为中的一标准正交基,则对,有()。ABC正确答案：AB第5题内积空间的每个标准正交集都是标准正交基。()第6题设为希尔伯特空间,为中的一标准正交序列,则对,有贝赛尔等式成立。()第7题是的一个标准正交基。()第8题

在每一个Hilbert空间中都存在完全标准正交集。()第9题

Hilbert空间中的标准正交集M中是完全的,当且仅当对所有的,成立。()第10题设H是Hilbert空间,若H是可分的,则H中的每一个标准正交集都是可数的。()第11题

设H是Hilbert空间,若H中的每一个标准正交集都是可数的,则H不一定是可分的。()第12题设M是内积空间X中的完全集。若对所有的有,则有v=w。()第13题

完全标准正交集可以增添新元素成为更大的标准正交集。()第14题设M是Hilbert空间X的子集,若不存在非零向量,它和M中的每个向量都正交,即,则M在X中是完全的。()第15题是可分的。()第16题对任意的紧区间,都有完全标准正交序列。()习题第1题设为内积空间,,若对,则有()。ABC关系不确定第2题设令,则是()。A有界的B无界的C半线性的第3题下列说法正确的是()。A每个非零希尔伯特空间都存在无穷多个有界线性泛函B每个非零希尔伯特空间都存在唯一个有界线性泛函C有的非零希尔伯特空间不存在有界线性泛函第4题设是双线性或半线性形式,称为有界的,是指()。ABC第5题设是两个矢量空间,定义是双线性的,则有以下结论成立()。ABC正确答案：BA第6题设是内积空间,定义,则是有界的双线性形式。()第7题设是两个希尔伯特空间,设是一个有界半线性形式,则能表示成,其中为有界线性算子。()第8题设是希尔伯特空间,设是上一有界线性泛函,则存在唯一的,使。()第9题的对偶空间是。()第10题上的任意线性泛函f都能表示成。()第11题

内积是有界的一个半线性形式。()

习题第1题设是两个希尔伯特空间,都为到的有界线性算子,,则有下列性质成立()。ABC若,则第2题设是希尔伯特空间,是的任意闭子空间,是正交投影算子,则有()。A不存在B存在,且C

存在,且第3题设是两个内积空间,是有界线性算子,若等价于()。A使B使C使第4题设令,则()。ABC第5题设是两个希尔伯特空间,为有界线性算子,则下列说法正确的是()。A的希尔伯特伴随算子是唯一存在的B的希尔伯特伴随算子有无穷多个C有界,且正确答案：AC第6题从希尔伯特空间到希尔伯特空间的每个有界线性算子都一定存在希尔伯特伴随算子。()第7题。()第8题每个有界线性算子的希尔伯特伴随算子也是有界线性算子。()第9题Hilbert伴随算子是存在唯一的。()第10题设,是两个Hilbert

空间,,都是有界线性算子,为任意标量,

则错误的是()ABCD第11题

设,是两个Hilbert

空间,,都是有界线性算子,

若,

则。()第12题

设,是两个Hilbert

空间,是有界线性算子,则。()第13题

设X和Y是内积空间,是有界线性算子,若对所有的和有<Qx,y>=0,则有。()第14题

设X是内积空间,X

是有界线性算子,若对所有的,<Qx,x>=0,则有。()第15题设H是Hilbert

空间,是有界线性算子,其逆也是有界的,则存在且。()

第16题设,是两个Hilbert

空间,,都是有界线性算子,为任意标量,

则错误的是()ABCD习题第1题设是希尔伯特空间,是有界线性算子,若是正规算子,则有下列说法成立()。A可逆BC也是酉算子第2题设是复希尔伯特空间上的有界线性算子,若是自伴算子,则有下列性质成立()。ABC是实数正确答案：AC第3题设是复希尔伯特空间,是自伴算子,则有()。A是自伴算子B是自伴算子C对任意数是自伴算子正确答案：AB第4题设是希尔伯特空间,是酉算子,则有()。AB可逆,且C正确答案：ABC第5题下列说法正确的是()。A自伴算子也