山东省临沂市第一中学2026届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

山东省临沂市第一中学2026届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为()A． B． C． D．2．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（）A． B． C． D．3．已知为直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12 B．16 C． D．5．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为()A． B．C． D．6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．207．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．8．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．39．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．10．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（）A．8 B．6 C．4 D．16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在中，，是边上一点，，则．12．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.13．计算：__________．14．若,则____________.15．函数的单调递减区间为______.16．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，，．（1）求的最小值（2）证明：．18．已知函数，（1）若，求a的值，并判断的奇偶性；（2）求不等式的解集.19．已知函数的周期为，且图像上一个最低点为.（1）求的解析式（2）若函数在上至少含20个零点时，求b的最小值.20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．21．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，证明．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

通过向量垂直的条件即可判断基本事件的个数，从而求得概率.【详解】基本事件总数为，当时，，满足的基本事件有，，，共3个，故所求概率为，故选B.【点睛】本题主要考查古典概型，计算满足条件的基本事件个数是解题的关键，意在考查学生的分析能力.2、C【解析】

直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.3、C【解析】

利用直线与平面平行、垂直的判断即可。【详解】对于A.若，，则或，所以A错对于B.若，，则，应该为，所以B错对于D.若，，则或，所以D错。所以选择C【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。4、B【解析】

根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解.【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形，因为正方形的边长为2cm，所以原图形cm，，则，所以原平面图形的周长为，故选：B.【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题.5、C【解析】

利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．【详解】∵，∴由解集为，得，解得．故选C．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．6、B【解析】

根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.【详解】如图所示，扇形的半径为，所以扇形的面积为，又三角形的面积为，所以弧田的面积为，又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢，所以两者的差为.故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7、B【解析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【详解】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.8、D【解析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．9、C【解析】

设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．10、A【解析】

直接利用扇形的面积公式求解.【详解】扇形的弧长l=8，半径r=2，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积S=1故选A【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由图及题意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.12、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．【详解】由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．13、【解析】

分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.14、【解析】故答案为.15、【解析】

利用二倍角降幂公式和辅助角公式可得出，然后解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【详解】，解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.16、【解析】

利用方差的性质直接求解．【详解】一组数据，，，的方差为5，这组数据，，，的方差为：．【点睛】本题考查方差的性质应用。若的方差为，则的方差为。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）见解析【解析】

（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根据基本不等式即可证明【详解】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值1．（2）．当且仅当时等号成立，【点睛】本题考查了基本不等式求最值和不等式的证明，属于中档题．18、（1），，是偶函数（2）或【解析】

（1）先由已知求出，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可；（2）讨论当时，当时对数函数的单调性求解不等式即可.【详解】解：（1）由题意得，，即，则，，则，函数的定义域为，则，是偶函数；（2）当时，在上是减函数，，，解得，所以原不等式的解集为；当时，在上是增函数，，，即，所以原不等式的解集为，综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.19、（1）（2）【解析】

（1）由周期得，利用最低点坐标可得，得解析式；（2）直接求出零点，根据零点排列得出有20个零点时，的最小值．【详解】（1）由最低点为，得，由，得，由点在图像上得，即，，即，又，，.（2）由（1）得，周期，在长为的闭区间内有2个或3个零点，由，得，或，所以或..又，则当时恰有20个零点，此时b的最小值为.【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查函数的零点个数问题．掌握三角函数的性质如周期性质，最值是解本题的基础．本题零点问题可直接求出零点，然后由零点分析得出结论．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC

即可．【详解】（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，∴F为AC中点，又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，平面∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC【点睛】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．21、（1）;（2）见解析.【解析】【试题分析】（1）借助题设中的数