新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题

新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题等腰三角形作为平面几何中的基本图形之一，其性质与判定是八年级上册数学学习的重点内容，也是后续学习更复杂几何知识的基础。掌握等腰三角形的相关知识，不仅能够提升逻辑推理能力，也能为解决综合性几何问题提供有力工具。下面，我们将通过一系列专项练习，帮助同学们巩固所学，深化理解。一、知识回顾与要点提示在开始练习之前，让我们简要回顾一下等腰三角形的核心知识点，这将有助于你更顺利地完成后续题目：1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。2.性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。3.判定：*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。*三边都相等的三角形是等边三角形（特殊的等腰三角形），等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。4.重要辅助线：在解决等腰三角形问题时，作底边上的高（或底边上的中线、顶角平分线）是常用的辅助线方法，它可以利用“三线合一”的性质将问题简化。二、专项练习题（一）基础巩固选择题1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角的度数为（）A.20°B.50°C.80°D.100°2.等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（）A.9B.12C.15D.12或153.下列说法中，正确的是（）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角一定都是锐角C.三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是等腰三角形D.有一个角是60°的三角形是等边三角形填空题4.等腰三角形的一个底角是40°，则它的顶角是______度。5.已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则底边上的高为______。6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，则∠BAC=______度，∠B=______度。（*此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，AD为底边BC上的中线*）（二）能力提升解答题7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数。（*此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，点D在AC上，连接BD，形成BD=BC=AD的关系*）8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的高，DE⊥AB于点E。求证：AE=EB。（*此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，顶角∠BAC为120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E*）9.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。（*此处应有示意图：三角形ABC，∠B=∠C，点D在AB上，点E在AC上，AD=AE，连接DE*）10.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在BA的延长线上，且ED⊥BC，交BC的延长线于点D，交AC的延长线于点F。求证：AE=AF。（*此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，BA延长至E，ED⊥BC的延长线于D，ED交AC延长线于F*）三、解题思路与参考答案（一）基础巩固选择题1.B思路：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。底角=(180°-80°)/2=50°。2.C思路：三角形三边关系需满足任意两边之和大于第三边。若腰长为3，则3+3=6，不满足；故腰长只能为6，周长为6+6+3=15。3.B思路：A选项应强调“底边上的”高、中线、角平分线互相重合；C选项描述的是直角三角形斜边中线性质；D选项应是“有一个角是60°的等腰三角形”才是等边三角形。B选项，若底角为直角或钝角，则两底角之和≥180°，与三角形内角和矛盾，故正确。填空题4.100思路：顶角=180°-2×40°=100°。5.4思路：根据等腰三角形“三线合一”，底边上的高将底边平分。利用勾股定理，高=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4。6.60，60思路：AD是底边中线，也是顶角平分线，故∠BAC=2∠BAD=60°。∠B=(180°-60°)/2=60°。（二）能力提升7.解：设∠A=x。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x。∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x。（三角形外角性质）∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。8.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的高，∴∠BAD=1/2∠BAC=60°（等腰三角形三线合一），∠B=(180°-120°)/2=30°。∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=1/2AB。（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°。在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∴∠ADE=30°。∴AE=1/2AD。（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）∴AE=1/2AD=1/2(1/2AB)=1/4AB。∴EB=AB-AE=AB-1/4AB=3/4AB。（*此处原求证“AE=EB”似乎有误，根据上述推理，应为“AE=1/3EB”或“EB=3AE”。请同学们仔细核对题目条件或图形。若原题无误，可能是我在思路中出现偏差，欢迎一起探讨。*）（*注：若∠BAC=60°，则AB=AC=BC，AD=√3/2AB，AE=AD/2=√3/4AB，EB=AB-AE=AB-√3/4AB，也不相等。若∠BAC=90°，则AE=1/4AB，EB=3/4AB。原题120°下，AE=1/4AB，EB=3/4AB。请同学们留意，可能是题目图形或条件标注有细微差别，核心在于掌握含特殊角的等腰三角形中线段关系的推导方法。*）9.证明：∵AB=AC（已知∠B=∠C可推得，或题目隐含AB=AC？不，题目只给∠B=∠C，AD=AE）∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。（等边对等角）∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，∴在△ADE中，∠ADE=(180°-∠A)/2。在△ABC中，∠B=(180°-∠A)/2。∴∠ADE=∠B。∴DE∥BC。（同位角相等，两直线平行）10.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。（等边对等角）∵∠ACB=∠FCD。（对顶角相等）∴∠B=∠FCD。∵ED⊥BC，∴∠D=90°。∴在Rt△BDE中，∠E=90°-∠B。在Rt△FCD中，∠F=90°-∠FCD。∴∠E=∠F。∴AE=AF。（等角对等边）四、总结与学习建议等腰三角形的学习，关键在于对“等边对等角”、“等角对等边”以及“三线合一”这几个核心性质和判定定理的理解与灵活运用。在解题时，要善于观察图形特点，通过作辅